2021-2022學(xué)年廣東省汕頭市澄海職工業(yè)余中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年廣東省汕頭市澄海職工業(yè)余中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一位母親記錄了兒子3～7歲時(shí)的身高，并根據(jù)記錄數(shù)據(jù)求得身高（單位：cm）與年齡的回歸模型為．若用這個(gè)模型預(yù)測(cè)這個(gè)孩子10歲時(shí)的身高，則下列敘述正確的是（）A．身高一定是145cm B．身高在145cm以上C．身高在145cm左右 D．身高在145cm以下參考答案：C【考點(diǎn)】回歸分析的初步應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)回歸模型為，將x=10代入即可得到預(yù)測(cè)值．【解答】解：根據(jù)回歸模型為，可得x=10時(shí)，=145cm故可預(yù)測(cè)10歲時(shí)的身高在145cm左右故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查回歸模型的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是理解回歸模型的含義，從而合理預(yù)測(cè)．2.已知函數(shù)，則在[0,2π]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：3.下圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為（

）A.5，5

B.3，5

C.3，7

D.5，7參考答案：B4.某學(xué)校高中部組織赴美游學(xué)活動(dòng)，其中高一240人，高二260人，高三300人，現(xiàn)需按年級(jí)抽樣分配參加名額40人，高二參加人數(shù)為A.12

B.13

C.14

D.15參考答案：B5.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知C=，a=2，b=1，則c等于（）A． B． C． D．1參考答案：B【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】利用余弦定理列出關(guān)系式，將cosC，a與b的值代入，得到關(guān)于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．【解答】解：∵C=，a=2，b=1，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=4+1﹣2=3，又c為三角形的邊長(zhǎng)，則c=．故選B6.已知正整數(shù)滿足條件，若，則的最小值和最大值分別是（

）A．2，6

B．2，5

C．3，6

D．3，5參考答案：C略7.復(fù)數(shù)z=(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為(

)（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限參考答案：D8.若是兩個(gè)非零向量，且，則與的夾角為（

）A.30° B.45° C.60° D.90°參考答案：A【分析】畫出圖像：根據(jù)計(jì)算夾角為，再通過夾角公式計(jì)算與的夾角.【詳解】形成一個(gè)等邊三角形，如圖形成一個(gè)菱形.與的夾角為30°故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加減和夾角，通過圖形可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.9.若，則tan2α等于（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：B略10.

（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)成立，可得，由此推得

．參考答案：12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上，且PF2⊥x軸，則F2到直線PF1的距離為．參考答案：略13.若直線與曲線有公共點(diǎn)，則b的取值范圍為

。參考答案：略14.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在常?shù)，使對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立，則稱為F函數(shù)，給出下列函數(shù)：①；②；③；④，其中是F函數(shù)的序號(hào)為

參考答案：①③15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則

；參考答案：716.若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則常數(shù)a=___.參考答案：-2【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得在點(diǎn)處的切線斜率為，再根據(jù)兩直線的位置關(guān)系，即可求解．【詳解】由題意，函數(shù)，可得，所以，即在點(diǎn)處的切線斜率為，又由在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解參數(shù)問題，其中解答中利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，再根據(jù)兩直線的位置關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．17.曲線y=x3﹣x+3在點(diǎn)（1，3）處的切線方程為

．參考答案：2x﹣y+1=0【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，然后將x=1代入求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，最后化成一般式即可．【解答】解：y′=3x2﹣1，令x=1，得切線斜率2，所以切線方程為y﹣3=2（x﹣1），即2x﹣y+1=0．故答案為：2x﹣y+1=0．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx；g（x）=．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）求證：若a=e（e是自然常數(shù)），當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f（x）≥e﹣g（x）恒成立；（3）若h（x）=x2[1+g（x）]，當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)于?x1∈[1，e]，?x0∈[1，e]，使f（x1）=h（x0），求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）推導(dǎo)出，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．（2）當(dāng)a=e時(shí)，f（x）=ex﹣lnx，，由此利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明a=e（e是自然常數(shù)），當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f（x）≥e﹣g（x）恒成立．（3）由，a＞1時(shí)，求出f（x）的值域是[a，ae﹣1]，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）=ax﹣lnx，∴x＞0，，∵x＞0，∴當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，若x＞，則f′（x）＞0，∴f（x）在（，+∞）上是增函數(shù)，若0＜x＜，則f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上是減函數(shù)．綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（，+∞）上是增函數(shù)，在（0，）上是減函數(shù)．證明：（2）當(dāng)a=e時(shí)，f（x）=ex﹣lnx，∴，∴x∈[1，e]時(shí)，f′（x）＞0恒成立．f（x）=ex﹣lnx在[1，e]上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴f（x）min=f（1）=e，令H（x）=e﹣g（x）=e﹣，則H′（x）=，x∈[1，e]時(shí)，H′（x）≤0，∴H（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，H（x）max=H（1）=e，∴f（x）≥H（x），即f（x）≥e﹣g（x）．故a=e（e是自然常數(shù)），當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f（x）≥e﹣g（x）恒成立．解：（3）∵，a＞1時(shí)，由x∈[1，e]，得f′（x）＞0，∴f（x）=ax﹣lnx在[1，e]上單調(diào)遞增，f（x）min=f（1）=a，f（x）max=f（e）=ae﹣1，即f（x）的值域是[a，ae﹣1]，由h（x）=x2+1﹣lnx，得，∴x∈[1，e]時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，∴h（x）min=h（1）=2，h（x）max=h（e）=e2，即h（x）的值域是[2，e2]，?x1∈[1，e]，?x0∈[1，e]，有f（x1）=h（x0），∴f（x）的值域是h（x）的值域的子集，∴，∴．∴a的取值范圍是[2，e+]．19.已知等差數(shù)列中，

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和，求的值.參考答案：略20.（本題滿分12分）如圖，在正方體中，、分別為棱和的中點(diǎn)，（1）求證：∥平面；（2）求證：平面⊥平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值。參考答案：解：（1）連接交于，連接,

因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以∥,--------------------------------------------------------------2分平面,平面所以∥平面----------------------------------------------------4分（2）因?yàn)闉檎襟w所以平面，平面，所以又因?yàn)樵谡叫沃?，，所以平?--------------------------------------------------6分又因?yàn)槠矫嫠云矫?--------------------------------------------------8分（3）因?yàn)闉檎襟w，所以平面所以平面平面平面∩平面=，作于，所以平面，連接,所以是在平面上的射影，所以是直線與平面所成角--------------------------------10分設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，在⊿中，，在⊿中，，所以即直線與平面所成角的正弦值為-----------------------12分21.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若解不等式；

（Ⅱ）如果,,求的取值范圍.參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，，由得：，（法一）由絕對(duì)值的幾何意義知不等式的解集為.（法二）不等式可化為或或，∴不等式的解集為.····················································································5分（2）若，，不滿足題設(shè)條件；若，，的最小值為；若，，的最小值為.所以對(duì)于，的充要條件是，從而的取值范圍.10分（2）另解：由題，解得

10分22.（本小題滿分12分）函數(shù).（I）若在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；（II）若，若函數(shù)在[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（Ⅰ），則：恒成立，………