演示文稿奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

演示文稿奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)1當(dāng)前第1頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)（優(yōu)選）奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)當(dāng)前第2頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)一、輻角定理：對(duì)于一個(gè)復(fù)變函數(shù)式中-zi(i=1,2,…,m)為F(s)的零點(diǎn)，-pj(j=1,2,…,n)為F(s)的極點(diǎn)。[柯西輻角原理]：S平面上不通過(guò)F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線CS包圍S平面上F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)s以順時(shí)針?lè)较蜓胤忾]曲線CS移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上映射的封閉曲線CF將以順時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N，Z，P的關(guān)系為：N=Z－P。示意圖當(dāng)前第3頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)若N為正，表示CF順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)；若N為0，表示CF順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，不包圍原點(diǎn)；若N為負(fù)，表示CF逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)。函數(shù)F(s)是復(fù)變量s的單值函數(shù)，s可以在整個(gè)S平面上變化，對(duì)于其上的每一點(diǎn)，除有限(n)個(gè)極點(diǎn)外，函數(shù)F(s)都有唯一的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)。對(duì)于一個(gè)復(fù)變函數(shù)[例]設(shè)：當(dāng)前第4頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

F(s)的值域構(gòu)成的復(fù)平面稱為F(s)平面。其中S平面上的全部零點(diǎn)都映射到F(s)平面上的原點(diǎn)；S平面上的極點(diǎn)映射到F(s)平面上時(shí)都變成了無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)。除了S平面上的零、極點(diǎn)之外的普通點(diǎn)，映射到F(s)平面上是除原點(diǎn)之外的有限點(diǎn)。注意，雖然函數(shù)F(s)從S平面到F(s)平面的映射是一一對(duì)應(yīng)的，然而逆過(guò)程往往并非如此。例如已知這個(gè)函數(shù)在有限的S平面上除S=0,－1,－

2以外均解析，除此三點(diǎn)外，S平面上的每一個(gè)S值在F(s)平面只有一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，但是F(s)平面上的每一個(gè)點(diǎn)在S平面上卻有三個(gè)映射點(diǎn)。最簡(jiǎn)單的說(shuō)明方式就是將方程改寫(xiě)成當(dāng)前第5頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)現(xiàn)考慮S平面上一點(diǎn)s1映射到F(s)平面上的點(diǎn)F(s1)可以用一個(gè)向量來(lái)表示，即當(dāng)向量的幅值為向量的相角為當(dāng)前第6頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)ReImReImS平面F(s)平面當(dāng)前第7頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)S平面上動(dòng)點(diǎn)s從s1經(jīng)過(guò)某曲線CS到達(dá)s2，映射到F(s)平面上也將是一段曲線CF

，該曲線完全由F(s)表達(dá)式和s平面上的曲線CS決定。若只考慮動(dòng)點(diǎn)s從s1到達(dá)s2相角的變化量，則有例當(dāng)前第8頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)[例]設(shè)：，當(dāng)s平面上的動(dòng)點(diǎn)沿平行于虛軸的直線，從(-1，j1)到(-1，j0)

，映射到F(s)平面上的點(diǎn)將沿某曲線從(0，-j1)到(-1，-j0)

，相角的變化為：當(dāng)前第9頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)現(xiàn)考慮S平面上既不經(jīng)過(guò)零點(diǎn)也不經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的一條封閉曲線CS

。當(dāng)變點(diǎn)s沿CS順時(shí)針?lè)较蚶@行一周，連續(xù)取值時(shí)，則在F(s)平面上也映射出一條封閉曲線CF

。在S平面上，用陰影線表示的區(qū)域，稱為CS的內(nèi)域。由于我們規(guī)定沿順時(shí)針?lè)较蚶@行，所以內(nèi)域始終處于行進(jìn)方向的右側(cè)。在F(s)平面上，由于CS映射而得到的封閉曲線CF的形狀及位置，嚴(yán)格地決定于CS

。示意圖當(dāng)前第10頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

在這種映射關(guān)系中，有一點(diǎn)是十分重要的，即：不需知道圍線CS的確切形狀和位置，只要知道它的內(nèi)域所包含的零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)目，就可以預(yù)知圍線CF是否包圍坐標(biāo)原點(diǎn)和包圍原點(diǎn)多少次；反過(guò)來(lái)，根據(jù)已給的圍線CF是否包圍原點(diǎn)和包圍原點(diǎn)的次數(shù)，也可以推測(cè)出圍線CS的內(nèi)域中有關(guān)零、極點(diǎn)數(shù)的信息。當(dāng)前第11頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)1.圍線CS既不包圍零點(diǎn)也不包圍極點(diǎn)如圖所示，在S平面上當(dāng)變點(diǎn)s沿圍線CS按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周時(shí)，我們來(lái)考察F(S)中各因子項(xiàng)的輻角的變化規(guī)律。現(xiàn)以圖中未被包圍的零點(diǎn)-2為例。當(dāng)變點(diǎn)s沿CS繞行一周后，因子(s+2)的輻角a的變化為0°。同理，對(duì)未被包圍的極點(diǎn)也是一樣，因子項(xiàng)(s+0)的輻角b在變點(diǎn)s沿CS繞行一周后的變化也等于0°。于是，映射到F(S)平面上，當(dāng)變點(diǎn)F(s)沿CF繞行一周后的輻角變化也應(yīng)等于0°。這表明，圍線CF此時(shí)不包圍原點(diǎn)。ab◎當(dāng)前第12頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)2.圍線CS只包圍零點(diǎn)不包圍極點(diǎn)如圖所示圍線CS包圍一個(gè)零點(diǎn)z=-2，先考察因子(s+2)輻角a，當(dāng)變點(diǎn)s沿CS順時(shí)針繞行一周時(shí)，a的變化為-360°。映射到F(S)平面上對(duì)應(yīng)變點(diǎn)F(S)沿CF繞行一周后的輻角變化也應(yīng)等于-360°。同理，當(dāng)圍線CS的內(nèi)域包含Z個(gè)零點(diǎn)時(shí)(但不包含極點(diǎn))，CF應(yīng)順時(shí)針包圍原點(diǎn)Z次。a當(dāng)前第13頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)⒊圍線CS只包圍極點(diǎn)不包圍零點(diǎn)這種情況如圖所示，如果圍線CS包圍一個(gè)極點(diǎn)，則當(dāng)變點(diǎn)s沿CS順時(shí)針繞行一周時(shí)，因子(s+0)-1的輻角-b將變化360°。映射到F(S)平面上，圍線CF應(yīng)逆時(shí)針包圍原點(diǎn)一次。同理，當(dāng)圍線CS的內(nèi)域只包含P個(gè)極點(diǎn)時(shí)，CF應(yīng)逆時(shí)針包圍原點(diǎn)P次，或者說(shuō)，CF順時(shí)針包圍原點(diǎn)－P次。b當(dāng)前第14頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)⒋

圍線CS包圍Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)由上述討論顯然可知，當(dāng)變點(diǎn)s沿CS順時(shí)針繞行一周時(shí)，CF應(yīng)順時(shí)針包圍原點(diǎn)Z－P次。亦即CF順時(shí)針包圍原點(diǎn)次數(shù)N=Z－P。這就是所謂輻角原理。當(dāng)前第15頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)[柯西輻角原理]：S平面上不通過(guò)F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線CS包圍S平面上F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)s以順時(shí)針?lè)较蜓胤忾]曲線CS移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上映射的封閉曲線CF將以順時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N，Z，P的關(guān)系為：N=Z－P。若N為正，表示CF順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)；若N為0，表示CF順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，不包圍原點(diǎn)；若N為負(fù)，表示CF逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)。當(dāng)前第16頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)二、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：

奈奎斯特當(dāng)年就是巧妙地應(yīng)用了輻角原理得到了奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示令：則開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：……………(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：……………(b)當(dāng)前第17頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

顯然，令復(fù)變函數(shù)等于零即是閉環(huán)特征方程。復(fù)變函數(shù)的階數(shù)為n階，且分子分母同階。則復(fù)變函數(shù)可寫(xiě)成以下形式：。式中，為F(s)的零、極點(diǎn)。由上頁(yè)(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的極點(diǎn)為F(s)的零點(diǎn)為將閉環(huán)特征式與開(kāi)環(huán)特征式之比構(gòu)成一個(gè)復(fù)變函數(shù)，得：……………..(c)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；當(dāng)前第18頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

奈奎斯特為了應(yīng)用柯西輻角原理研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此設(shè)想：

如果有一個(gè)s平面的封閉曲線能包圍整個(gè)s右半平面，則根據(jù)柯西輻角原理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為：

N=F(s)的右半零點(diǎn)數(shù)－F(s)的右半極點(diǎn)數(shù)

=閉環(huán)系統(tǒng)右半極點(diǎn)數(shù)－開(kāi)環(huán)系統(tǒng)右半極點(diǎn)數(shù)當(dāng)已知開(kāi)環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時(shí)，便可由N判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。當(dāng)前第19頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)這里需要解決兩個(gè)問(wèn)題：1、如何構(gòu)造一個(gè)能夠包圍整個(gè)s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西輻角條件的？2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)N，并將它和開(kāi)環(huán)頻率特性Gk(jw)相聯(lián)系？①正虛軸：第1個(gè)問(wèn)題：先假設(shè)F(s)在虛軸上沒(méi)有零、極點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蜃鲆粭l曲線CS包圍整個(gè)s右半平面，這條封閉曲線稱為奈奎斯特路徑。如下圖所示。它可分為三部分：ⅠⅡⅢ②右半平面上半徑為無(wú)窮大的半圓：③負(fù)虛軸：當(dāng)前第20頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)F(s)平面上的映射是這樣得到的：②以s=R·ejq

代入F(s)，令R→∞，q:，得第二部分的映射；

得到映射曲線后，就可由柯西輻角定理計(jì)算N=Z－P，式中Z、P是F(s)在s右半平面的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)。

若已知P，并能確定N，可求出Z=N+P

。當(dāng)Z=0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。①以s=jw代入F(s)，令w從0→∞變化，得第一部分的映射；③以s=jw代入F(s)，令w從－∞→0

，得第三部分的映射。當(dāng)前第21頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)②F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于Gk(s)對(duì)(-1,j0)的包圍；即映射曲線F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)N與Gk(s)對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍的次數(shù)一樣。

第Ⅰ部分的映射是Gk(jw)曲線向右移1；③F(s)的極點(diǎn)就是Gk(s)的極點(diǎn)，因此F(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)就是Gk(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。①由Gk(jw)可求得F(jw)，而Gk(jw)是開(kāi)環(huán)頻率特性。第2個(gè)問(wèn)題：如何確定相應(yīng)的映射F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)N，并將它和開(kāi)環(huán)頻率特性Gk(jw)相聯(lián)系？

奈奎斯特所構(gòu)造的的F(s)＝1＋Gk(s)，Gk(s)為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。第Ⅱ部分的映射，一般在Gk(s)中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當(dāng)s=∞·ejq

時(shí)，Gk(s)→0，即F(s)=1。若分母階數(shù)=分子階數(shù)，則Gk(s)→K(零極點(diǎn)形式的開(kāi)環(huán)增益)，即F(s)=1+K。第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分的映射關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱。當(dāng)前第22頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第23頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)[奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)]：若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有P個(gè)極點(diǎn)，且開(kāi)環(huán)頻率特性曲線對(duì)(－1，j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)為N，（N>0順時(shí)針，N<0逆時(shí)針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：Z=N+P。若Z=0

，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。[奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的另一種描述]：設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)Gk(s)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：在Gk(s)平面上的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線及其鏡象當(dāng)w從－∞變化到+∞時(shí)，將以逆時(shí)針的方向圍繞(－1，j0)點(diǎn)P圈。對(duì)于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的情況，P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是開(kāi)環(huán)頻率特性曲線及其鏡象不包圍(－1，j0)點(diǎn)。不穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：Z=N+P。當(dāng)前第24頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)[例5-6]開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：當(dāng)前第25頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

當(dāng)參數(shù)K，T1和T2為任何正值時(shí)，P=0。

開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為0，繞(－1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)N=0，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個(gè)數(shù)：Z=N+P=0。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

另外，作為對(duì)比可求出閉環(huán)傳遞函數(shù)

由勞思—赫爾維茨判據(jù)知閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)前第26頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)[例5-7]設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：當(dāng)前第27頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)K=52時(shí)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為－1，－1±j2，都在s左半平面，所以P=0。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時(shí)針圍繞(－1，j0)點(diǎn)2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點(diǎn)數(shù)為：Z=N+P=2

，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。若要系統(tǒng)穩(wěn)定，則即K<26時(shí)，奈氏圖不圍繞(－1，j0)點(diǎn)。當(dāng)K<0

時(shí)，原極坐標(biāo)圖順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)180°，此時(shí)與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為K/10，若要滿足K/10>－1，則要求K>－10。于是系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為－10<K<26。當(dāng)前第28頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

上述結(jié)論同樣可由勞思—赫爾維茨判據(jù)得到。勞斯陣：

要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則第一列都大于0于是得：－10<K<26。當(dāng)前第29頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)[例5-8]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右：試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論穩(wěn)定性和K的關(guān)系。-[解]：當(dāng)前第30頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

開(kāi)環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個(gè)半徑為，圓心在的圓。由圖中看出：當(dāng)K>1時(shí),奈氏曲線逆時(shí)針包圍(－1，j0)點(diǎn)一圈，N=－1，而P=1，則Z=N+P=0閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

顯然，K>1時(shí)，包圍(－1，j0)點(diǎn)，K<1時(shí)不包圍(－1，j0)點(diǎn)。K=1時(shí)穿過(guò)(－1，j0)點(diǎn)。當(dāng)K=1時(shí)，奈氏曲線通過(guò)(－1，j0)點(diǎn)，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)K<1時(shí)，奈氏曲線不包圍(－1，j0)點(diǎn)，N=0，P=1，所以Z=N+P=1，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)前第31頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

上面討論的奈奎斯特判據(jù)和例子，都是假設(shè)虛軸上沒(méi)有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，即開(kāi)環(huán)系統(tǒng)都是0型的，這是為了滿足柯西輻角定理的條件。但是對(duì)于Ⅰ、Ⅱ型的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，由于在虛軸上（原點(diǎn)）有極點(diǎn)，因此不能使用柯西輻角定理來(lái)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決這一問(wèn)題，需要重構(gòu)奈奎斯特路徑。當(dāng)前第32頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)三、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用：具有開(kāi)環(huán)為0的極點(diǎn)系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

可見(jiàn)，在原點(diǎn)有v重0極點(diǎn)。也就是在s=0點(diǎn)，Gk(s)不解析，若取奈氏路徑同上時(shí)(通過(guò)虛軸的包圍整個(gè)s右半平面的半圓)，不滿足柯西輻角定理。為了使奈氏路徑不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)而仍然能包圍整個(gè)s右半平面，重構(gòu)奈氏路徑如下：

以原點(diǎn)為圓心，半徑為無(wú)窮小做右半圓。這時(shí)的奈氏路徑由以下四部分組成：當(dāng)前第33頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)④半徑為無(wú)窮小的右半圓，下面討論對(duì)于這種奈奎斯特路徑的映射：1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常規(guī)的奈氏圖，關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；2、第Ⅱ部分：，。假設(shè)的分母階數(shù)比分子階數(shù)高；ⅠⅡⅢⅣ①正虛軸：②右半平面上半徑為無(wú)窮大的半圓：③負(fù)虛軸：當(dāng)前第34頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)(b)對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的整個(gè)圓（順時(shí)針）。所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的右半圓。3、第Ⅳ部分：(a)對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：當(dāng)前第35頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)[結(jié)論]用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據(jù)仍可應(yīng)用于Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)。[例5-10]某Ⅱ型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無(wú)極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：首先畫(huà)出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：從圖上可以看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)兩圈。因，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)前第36頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)[例]已知非最小相位系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。不穩(wěn)定時(shí)求出閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。[解]：當(dāng)前第37頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)K>0時(shí)，由題知P=1，圖知N=1，Z=N+P=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)K<0時(shí)，由題知P=1，圖知N=0，Z=N+P=1，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)前第38頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)[例]已知非最小相位系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。不穩(wěn)定時(shí)求出閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。[解]：當(dāng)前第39頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)K<0時(shí)，由題知P=1，圖知N=1，Z=N+P=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)K>0時(shí)，由題知P=1，圖知N=0，Z=N+P=1，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)前第40頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用步驟⒈確定開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)P；⒉畫(huà)出開(kāi)環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖（包括正負(fù)頻率及s平面中特定路徑在Gk(s)平面的映射）；⒊確定N；⒋計(jì)算Z=N+P，當(dāng)Z=0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)Z>0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，當(dāng)Z<0時(shí)計(jì)算有誤。當(dāng)前第41頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)[例]已知非最小相位系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。不穩(wěn)定時(shí)求出閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。[解]：當(dāng)前第42頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

當(dāng)K<6時(shí)，奈氏曲線不包圍(－1，j0)點(diǎn)，N=0，Z=N+P=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。(－1，j0)(－1，j0)(－1，j0)

開(kāi)環(huán)系統(tǒng)有2個(gè)右極點(diǎn)，P=2。

當(dāng)6<K<8時(shí)，奈氏曲線逆時(shí)針包圍(－1，j0)點(diǎn)2圈，N=－2，Z=N+P=0,系統(tǒng)穩(wěn)定。

當(dāng)K>8時(shí)，奈氏曲線逆時(shí)針包圍(－1，j0)點(diǎn)1圈，N=－1，Z=N+P=1,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

只有當(dāng)開(kāi)環(huán)增益保持在一定范圍內(nèi)才穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。當(dāng)前第43頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)[例5-9]設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性如下圖所示。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒(méi)有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：顯然這是Ⅰ型系統(tǒng)。先根據(jù)奈氏路徑畫(huà)出完整的映射曲線。從圖上看出：映射曲線順時(shí)針包圍(－1，j0)一圈，逆時(shí)針包圍(－1，j0)一圈，所以N=1－1=0，而P=0，故Z=N+P=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。條件穩(wěn)定系統(tǒng)例能否只畫(huà)出正頻率部分的極坐標(biāo)圖來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性當(dāng)前第44頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)通常，只畫(huà)出w從0→+∞的開(kāi)環(huán)奈氏圖，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點(diǎn)數(shù)為：Z=2N'+P=0。式中，N'為w從0→+∞變化時(shí)，開(kāi)環(huán)奈氏圖順時(shí)針包圍(－1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)。不包圍(－1，j0)點(diǎn)，N'=00型系統(tǒng)包圍(－1，j0)點(diǎn)，N'=1Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的奈奎斯特路徑分別為：當(dāng)前第45頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)這時(shí)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可以描述為：設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)Gk(s)在右半平面的極點(diǎn)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)w從－∞→+∞時(shí)，頻率特性曲線在實(shí)軸(－∞，－1)段的正負(fù)穿越次數(shù)差為P。若只畫(huà)正頻率特性曲線，則正負(fù)穿越次數(shù)差為P/2。

頻率特性曲線對(duì)(－1，j0)點(diǎn)的包圍情況可用頻率特性的正負(fù)穿越情況來(lái)表示。當(dāng)w增加時(shí)，頻率特性從上半s平面穿過(guò)負(fù)實(shí)軸的(－∞，－1)段到下半s平面，稱為頻率特性對(duì)負(fù)實(shí)軸的(－∞，－1)段的正穿越（這時(shí)隨著w的增加，頻率特性的相角也是增加的）；意味著逆時(shí)針包圍(－1，j0)點(diǎn)。反之稱為負(fù)穿越。正穿越負(fù)穿越當(dāng)前第46頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)－1－1－1－1當(dāng)前第47頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)四、在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖（奈氏圖）和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（波德圖）有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：1、奈氏圖上單位圓對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的零分貝線； A(w)=1，20lgA(w)=0。2、奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的-180度相位線。

奈氏圖頻率特性曲線在(－∞，－1)上的正負(fù)穿越在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的對(duì)應(yīng)關(guān)系：在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上L(w)>0(A(w)>1)的范圍內(nèi)，當(dāng)w增加時(shí)，相頻特性曲線從下向上穿過(guò)－180度相位線稱為正穿越。因?yàn)橄嘟侵翟黾恿?。反之稱為負(fù)穿越。當(dāng)前第48頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)對(duì)照?qǐng)D如下：正穿越負(fù)穿越正穿越負(fù)穿越相角方向?yàn)檎齱增加時(shí)，相角增大對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上奈氏穩(wěn)定判據(jù)如下：

設(shè)開(kāi)環(huán)頻率特性在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上幅頻特性的所有頻段內(nèi)，當(dāng)頻率增加時(shí)，對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)-180度線的正負(fù)穿越次數(shù)差為P/2。閉環(huán)系統(tǒng)右半s極點(diǎn)數(shù)為：，式中為負(fù)、正穿越次數(shù)差。若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若Z>0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)前第49頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)五、最小相位系統(tǒng)的奈氏判據(jù)：開(kāi)環(huán)頻率特性在s右半平面無(wú)零點(diǎn)和極點(diǎn)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件可簡(jiǎn)化為：奈氏圖（開(kāi)環(huán)頻率特性曲線）不包圍(-1,j0)點(diǎn)。因?yàn)槿鬘=0，且P=0，所以Z=0。奈氏圖幅值和相角關(guān)系為：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，式中，分別稱為相角、幅值穿越頻率上述關(guān)系在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的對(duì)應(yīng)關(guān)系:當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)前第50頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)純時(shí)延系統(tǒng)的奈氏判據(jù)

一般來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)中帶有純時(shí)延環(huán)節(jié)后，系統(tǒng)的穩(wěn)定性要變差。這時(shí)，由于純時(shí)延環(huán)節(jié)在傳遞函數(shù)關(guān)系式中表示為，所以系統(tǒng)的特征方程不再是常系數(shù)了，因此，勞斯判據(jù)不再適用了，但是奈奎斯特判據(jù)可以很容易地用于具有純時(shí)延環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的判穩(wěn)中。設(shè)帶有純時(shí)間延遲的反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

原則上，畫(huà)出Gk(s)的奈奎斯特圖，然后觀察該圖與復(fù)平面上的(-1,j0)點(diǎn)的關(guān)系，就可以研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)前第51頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

可見(jiàn)延遲環(huán)節(jié)不影響幅頻特性而只影響相頻特性。

原來(lái)不含純時(shí)延環(huán)節(jié)的頻率特性若是穩(wěn)定的(不包圍(-1,j0)點(diǎn))，當(dāng)含有純時(shí)延環(huán)節(jié)后，可能就包圍(-1,j0)點(diǎn)，使系統(tǒng)成為不穩(wěn)定。

在控制系統(tǒng)中，隨著w趨于無(wú)窮，Gk(s)的幅值一般趨于零，因此Gk(s)的奈奎斯特圖隨著w趨于無(wú)窮總是以螺旋狀趨于原點(diǎn)，并且與Gk(s)平面的負(fù)實(shí)軸有無(wú)限多交點(diǎn)。因此，若要使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，Gk(jw)圖與實(shí)軸的所有交點(diǎn)必須位于(-1,j0)點(diǎn)的右側(cè)。當(dāng)前第52頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)例：確定臨界穩(wěn)定時(shí)的延遲t

對(duì)于本題增益已定，要尋找臨界穩(wěn)定時(shí)的延遲。畫(huà)出t分別為0，0.8，2，4的奈奎斯特圖

由圖可見(jiàn)，當(dāng)延遲t為零時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。隨著t的增加穩(wěn)定狀況惡化，當(dāng)t=2s時(shí)，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定的邊緣，此時(shí)奈奎斯特圖在(-1,j0)點(diǎn)附近穿過(guò)負(fù)實(shí)軸。顯然t只要略大于2s系統(tǒng)將不穩(wěn)定。解：當(dāng)前第53頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

和有理函數(shù)的情況不同，這時(shí)不能用解析法求取極坐標(biāo)圖與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。此時(shí)實(shí)頻特性和虛頻特性如下：可見(jiàn)決定交點(diǎn)的方程不再是代數(shù)方程了。而此時(shí)幅頻特性和相頻特性如下：可見(jiàn)延遲環(huán)節(jié)不影響幅頻特性而只影響相頻特性。當(dāng)前第54頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)令得，利用牛頓迭代公式可解得w=0.445747959632，代入j(w)且令j(w)=－p，可得t=2.091303066534≈2.09，此時(shí)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。由于延遲環(huán)節(jié)不影響幅頻特性而只影響相頻特性。因此利用采用Bode圖的方法很容易求出交點(diǎn)。當(dāng)前第55頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第56頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)例：確定臨界穩(wěn)定時(shí)的增益K。解：對(duì)于本題延遲已定，要尋找臨界穩(wěn)定時(shí)的增益，可根據(jù)增益不影響相頻特性而只影響幅頻特性的特點(diǎn)來(lái)求取。令j(w)=－p，可得牛頓迭代公式為可解得w=0.6640429384，代入A(w)且令A(yù)(w)=1，可得K=1.679806137423，即當(dāng)K=1.68時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。當(dāng)前第57頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)非單位反饋系統(tǒng)有零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)的奈氏判據(jù)注意：教材p177是針對(duì)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)(即前項(xiàng)通道傳遞函數(shù))建立的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。這時(shí)，只有當(dāng)由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)構(gòu)成的單位反饋系統(tǒng)穩(wěn)定且1/H(s)也穩(wěn)定時(shí)，原非單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)才穩(wěn)定。

實(shí)際上當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中的前項(xiàng)通道傳遞函數(shù)與反饋傳遞函數(shù)沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，可直接在開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)極坐標(biāo)圖上用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中的前項(xiàng)通道傳遞函數(shù)與反饋傳遞函數(shù)有零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，可將結(jié)構(gòu)圖變換如下：當(dāng)前第58頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)多回路系統(tǒng)的奈氏判據(jù)

首先應(yīng)判斷其局部反饋部分(即內(nèi)環(huán))的穩(wěn)定性。

然后根據(jù)內(nèi)環(huán)部分在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)和整個(gè)系統(tǒng)其余部分在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)判別整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。多環(huán)控制系統(tǒng)需要多次利用奈奎斯特判據(jù)才能最后確定整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)前第59頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)虛軸上有極點(diǎn)已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，用奈氏判據(jù)判穩(wěn)。解：取奈氏路徑如圖當(dāng)前第60頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)P=0，奈氏曲線順時(shí)針包圍(－1，j0)點(diǎn)2圈，N=2，Z=N+P=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)前第61頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)令：則開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：將閉環(huán)特征式與開(kāi)環(huán)零點(diǎn)多項(xiàng)式之比構(gòu)成一個(gè)復(fù)變函數(shù)，得：應(yīng)用于逆極坐標(biāo)圖上的奈氏穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)前第62頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)奈奎斯特路徑同前，可利用開(kāi)環(huán)右零點(diǎn)數(shù)，1/Gk(s)的極坐標(biāo)圖對(duì)(－1，j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)，根據(jù)柯西輻角原理，確定閉環(huán)右極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。所畫(huà)1/Gk(s)的極坐標(biāo)圖稱為逆極坐標(biāo)圖。此時(shí)穩(wěn)定判據(jù)稱為逆奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)[逆奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)]：若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有P個(gè)零點(diǎn)，且開(kāi)環(huán)逆極坐標(biāo)圖及其鏡像(w從－∞→+∞)對(duì)(－1，j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)為N，(N>0順時(shí)針，N<0逆時(shí)針)，則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：Z=N+P。若Z=0

，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。逆奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)主要應(yīng)用于虛軸上有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的情況。當(dāng)前第63頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，用逆奈氏判據(jù)判穩(wěn)。解：?、瘼颌螽?dāng)前第64頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)P=0，逆奈氏曲線順時(shí)針包圍(－1，j0)點(diǎn)2圈，N=2，Z=N+P=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。注意對(duì)應(yīng)奈奎斯特路徑中無(wú)窮大半圓弧的逆奈氏曲線也是無(wú)窮大圓弧。當(dāng)前第65頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)左邊繞原點(diǎn)問(wèn)題例：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，其中K>0，若選定奈奎斯特路徑如圖所示⑴畫(huà)出系統(tǒng)與該奈氏路徑對(duì)應(yīng)的奈氏曲線⑵根據(jù)所畫(huà)奈氏曲線及奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件；當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)在右半S平面的極點(diǎn)數(shù)。解：當(dāng)前第66頁(yè)\共有72頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)P=1，要穩(wěn)定則奈氏曲線逆時(shí)針包圍(－1，j0)點(diǎn)1圈，－1<

－K<0，即0<

K<1時(shí)閉