演示文稿等比數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)

（優(yōu)選）等比數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)ppt講解當前第1頁\共有86頁\編于星期二\11點復(fù)習(xí)等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項公式性質(zhì)Sn當前第2頁\共有86頁\編于星期二\11點預(yù)備知識：

Sn=a1+a2+…+an

Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>2)an=Sn–Sn-1(n》2)你能得出嗎?當前第3頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第4頁\共有86頁\編于星期二\11點問題：如何來求麥子的總量？得:2S64=2+22+23+······+263+264錯位相減得：S64=264–1>1.8×1019即求：1，2，22，······，263的和；令：S64=1+2+22+······+262+263，

以小麥千粒重為40麥子質(zhì)量超過7000億噸！麥粒總質(zhì)量達7000億噸——國王是拿不出的。當前第5頁\共有86頁\編于星期二\11點⑴×q, 得⑵⑴－⑵，得由此得q≠1時，等比數(shù)列的前n項和設(shè)等比數(shù)列它的前n項和是⑴即說明：這種求和方法稱為錯位相減法當前第6頁\共有86頁\編于星期二\11點當q≠1時，∵∴顯然，當q=1時，當前第7頁\共有86頁\編于星期二\11點(q=1).(q≠1).等比數(shù)列的前n項和表述為：當前第8頁\共有86頁\編于星期二\11點已知a1

、n、q時已知a1

、an、q時等比數(shù)列的前n項和公式當前第9頁\共有86頁\編于星期二\11點

(1)

等比數(shù)列前n項和公式：等比數(shù)列前n項和公式你了解多少？Sn={1-q(q=1)(q=1)Sn={1-q(q=1)(q=1)

(2)

等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用：1.在使用公式時.注意q的取值是利用公式的前提；２.在使用公式時，要根據(jù)題意，適當選擇公式。利用“錯位相減法”推導(dǎo)當前第10頁\共有86頁\編于星期二\11點例1、求下列等比數(shù)列前8項的和當前第11頁\共有86頁\編于星期二\11點說明：２.１.當前第12頁\共有86頁\編于星期二\11點1．數(shù)列{2n－1}的前99項和為(

)A．2100－1

B．1－2100C．299－1 D．1－299答案：C當前第13頁\共有86頁\編于星期二\11點2．在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，則n的值為(

)A．4 B．5C．6 D．7答案：C當前第14頁\共有86頁\編于星期二\11點3．已知等比數(shù)列{an}中，an>0，n＝1,2,3，…，a2＝2，a4＝8，則前5項和S5的值為________．答案：31當前第15頁\共有86頁\編于星期二\11點4．求Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．當前第16頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第17頁\共有86頁\編于星期二\11點(一)用等比定理推導(dǎo)當q=1時Sn=na1因為所以

合比定理：當前第18頁\共有86頁\編于星期二\11點Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)Sn=a1(1–qn)1–q

遞推公式：當前第19頁\共有86頁\編于星期二\11點答案：

B當前第20頁\共有86頁\編于星期二\11點2．在等比數(shù)列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，則a1的值為(

)A．4 B．－4C．2 D．－2答案：

A當前第21頁\共有86頁\編于星期二\11點3．在等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則a12＋a22＋…＋an2等于________．當前第22頁\共有86頁\編于星期二\11點4．設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且S3＝3a3，求公比q的值．當前第23頁\共有86頁\編于星期二\11點分析：第1年產(chǎn)量為5000臺第2年產(chǎn)量為5000×(1+10%)=5000×1.1臺第3年產(chǎn)量為5000×(1+10%)×(1+10%)……第n年產(chǎn)量為則n年內(nèi)的總產(chǎn)量為：當前第24頁\共有86頁\編于星期二\11點解：當前第25頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第26頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第27頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第28頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第29頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第30頁\共有86頁\編于星期二\11點[分析]

由題目可獲取以下主要信息：已知等比數(shù)列的前3項和前6項的和，求其通項．解答本題可直接利用前n項和公式，列方程求解．當前第31頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第32頁\共有86頁\編于星期二\11點[點評]

在等比數(shù)列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，在條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時，均可以用a1與q列方程組求解．當前第33頁\共有86頁\編于星期二\11點遷移變式2設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＋S6＝2S9，求公比q的值．當前第34頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第35頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第36頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第37頁\共有86頁\編于星期二\11點[點評]

在求含有參數(shù)的等比數(shù)列的前n項和時，容易忽略對a＝1和q＝1的討論，從而丟掉一種情況．當前第38頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第39頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第40頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第41頁\共有86頁\編于星期二\11點如圖1，一個熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%.這個熱氣球上升的高度能超過125m嗎？當前第42頁\共有86頁\編于星期二\11點[分析]

通過仔細審題，抓住“在以后每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%”這一“題眼”，從而構(gòu)造出等比數(shù)列模型——熱氣球在每分鐘里上升的高度組成一個等比數(shù)列，于是熱氣球上升的總高度便是該等比數(shù)列的前n項和，利用公式即可．當前第43頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第44頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第45頁\共有86頁\編于星期二\11點遷移變式4如果某人在聽到喜訊后的1h后將這一喜訊傳給2個人，這2個人又以同樣的速度各傳給未聽到喜訊的另2個人，……，如果每人只傳2人，這樣繼續(xù)下去，要把喜訊傳遍一個有2047人(包括第一個人)的小鎮(zhèn)，所需時間為(

)A．8h B．9hC．10h D．11h當前第46頁\共有86頁\編于星期二\11點解析：設(shè)第n個小時后知道喜訊的總?cè)藬?shù)為Sn，Sn＝1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1＝2047，n＝10，故選C.答案：C當前第47頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第48頁\共有86頁\編于星期二\11點2．因為公比為1和不為1時等比數(shù)列前n項和有不同的公式，所以若公比為字母時，應(yīng)進行分類討論．這也是由公式的適用范圍引發(fā)的分類討論的典型例子之一．當前第49頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第50頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第51頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第52頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第53頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第54頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第55頁\共有86頁\編于星期二\11點[題后感悟]在等比數(shù)列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，在條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時，均可以用a1與q列方程組求解．,當前第56頁\共有86頁\編于星期二\11點1.在等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n項和Sn＝126，求n和q.當前第57頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第58頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第59頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第60頁\共有86頁\編于星期二\11點

已知等比數(shù)列{an}中，前10項和S10＝10，前20項和S20＝30，求S30.當前第61頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第62頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第63頁\共有86頁\編于星期二\11點[題后感悟]等比數(shù)列前n項和的常用性質(zhì)：(1)“片斷和”性質(zhì)：等比數(shù)列{an}中，公比為q，前m項和為Sm(Sm≠0)，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…構(gòu)成公比為qm的等比數(shù)列，即等比數(shù)列的前m項的和與以后依次m項的和構(gòu)成等比數(shù)列．當前第64頁\共有86頁\編于星期二\11點3.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于(

)A．80

B．30C．26

D．16當前第65頁\共有86頁\編于星期二\11點解析：

∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比數(shù)列∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n)∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)∴S4n＝30.故選B.答案：

B當前第66頁\共有86頁\編于星期二\11點

已知等比數(shù)列的首項為1，項數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求這個數(shù)列的公比與項數(shù)．由題目可獲取以下主要信息：①等比數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別依次構(gòu)成等比數(shù)列；②當項數(shù)為2n時，S偶∶S奇＝q.解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出項數(shù)與公比，然后建立方程組求解．當前第67頁\共有86頁\編于星期二\11點②÷①，得q＝2，代入①得22n＝256，解得2n＝8，所以這個數(shù)列共8項，公比為2.當前第68頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第69頁\共有86頁\編于星期二\11點4.等比數(shù)列{an}共2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，求該數(shù)列的公比q.當前第70頁\共有86頁\編于星期二\11點

求數(shù)列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n項和(a≠0)．由題目可獲取以下主要信息：①數(shù)列的通項公式an＝(2n－1)·an－1.②每一項可分成兩個因式，由前一個因式可構(gòu)成等差數(shù)列，后一因式可構(gòu)成等比數(shù)列．解答本題可選用錯位相減法求數(shù)列的和．當前第71頁\共有86頁\編于星期二\11點當前第72頁\共有86頁\編于星期二\11點[題后感悟]錯位相減法一般來說，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為d；數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，公比為q，則求數(shù)列{anbn}的前n項和就可以運用錯位相減法．當前第73頁\共有86頁\編于星期二\11點在運用錯位相減法求數(shù)列的和時，要注意以下四個問題：(1)注意對q的討論，在前面的討論中，我們已知q是等比數(shù)列{bn}的公比，所以q≠0，但求和Sn＝1