2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 8-9 拋物線及其性質(zhì) 學(xué)案

第九節(jié)拋物線及其性質(zhì)【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.掌握拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)).3.了解拋物線的簡單應(yīng)用．必備知識·夯實(shí)雙基知識梳理1.拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離________的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的________，直線l叫做拋物線的________.2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0，0)對稱軸x軸y軸范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點(diǎn)________________________________離心率e＝1準(zhǔn)線方程________________________________夯實(shí)雙基1.思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．()(2)拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)，一條對稱軸，無對稱中心.()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．()(4)拋物線的方程都是二次函數(shù)．()2．(教材改編)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，12)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(A．y2＝2x B．y2＝xC．x2＝2y D．x2＝－2y3．(教材改編)拋物線y2＝12x上與焦點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．4．(易錯(cuò))拋物線y＝－14x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(A．(0，－116) B．(－116，C．(0，－1) D．(－1，0)5．(易錯(cuò))頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)P(－2，3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．關(guān)鍵能力·題型突破題型一拋物線的定義及其應(yīng)用例1(1)動(dòng)圓與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直線x＝1相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是()A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線(2)[2023·河南鄭州模擬]拋物線C：y2＝16x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝12，則M到y(tǒng)軸的距離是()A．4B．8C．10D．12(3)[2023·江西贛州模擬]已知直線mx－y＋1－2m＝0恒過定點(diǎn)A，拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1，0)，P為拋物線E上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA|＋|PF|的最小值為()A．1B．2C．3D．4[聽課記錄]題后師說拋物線定義的應(yīng)用策略鞏固訓(xùn)練1(1)[2023·河北張家口期末]已知M(x0，y0)是拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，y0＝|MF|＝6，則p＝()A．2B．3C．6D．9(2)[2023·廣東廣州模擬]已知點(diǎn)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)M(0，3)的距離與P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為________．題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2分別根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)準(zhǔn)線方程是4y＋1＝0；(2)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點(diǎn)；(3)拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點(diǎn)A，|AF|＝5.[聽課記錄]題后師說求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法鞏固訓(xùn)練2(1)[2023·安徽蚌埠期末]設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(2，m)到y(tǒng)軸的距離是到焦點(diǎn)距離的一半，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝8x D．y2＝16x(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)為直線3x－4y－12＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2＝－12y或y2＝16xB．x2＝12y或y2＝－16xC．x2＝9y或y2＝12xD．x2＝－9y或y2＝－12x(3)一個(gè)正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2＝ax上，另一個(gè)頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，如果這個(gè)三角形的面積為363，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.題型三拋物線的幾何性質(zhì)例3(1)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，A為C上一點(diǎn)，且|AF|＝5，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAF的面積為()A．2 B．5C．23 D．4(2)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，垂足為A，如果△APF是邊長為4的正三角形，那么此拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xp＝________．[聽課記錄]題后師說(1)涉及拋物線上的點(diǎn)到直線的距離或到準(zhǔn)線的距離時(shí)，?？上嗷マD(zhuǎn)化．(2)應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了用數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．鞏固訓(xùn)練3(1)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線PF與y軸交于點(diǎn)M，且PF＝2FM，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為()A．3 B．4C．5 D．6(2)[2023·廣東佛山模擬]已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x＝－12，若C上有一點(diǎn)A位于第一象限，且點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離為52，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為真題展臺1.[2022·全國乙卷]設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B(3，0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|＝()A．2 B．22C．3 D．322．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為____________.3．[2021·新高考Ⅱ卷]拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)到直線y＝x＋1的距離為2，則p＝()A．1 B．2C．22 D．4第九節(jié)拋物線及其性質(zhì)必備知識·夯實(shí)雙基知識梳理1．相等焦點(diǎn)準(zhǔn)線2．F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)x＝－p2x＝p2y夯實(shí)雙基1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：由題意可設(shè)拋物線方程為x2＝2py(p＞0)，則p2＝12，得p∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2y.故選C.答案：C3．解析：拋物線y2＝12x的準(zhǔn)線方程為x＝－3.∵拋物線y2＝12x上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，∴根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，可得所求點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，代入拋物線方程，可得y2＝36，∴y＝±6，即所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，6)或(3，－6)．故答案為(3，6)或(3，－6)．答案：(3，6)或(3，－6)4．解析：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－4y，故拋物線開口向下，焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－1)．故選C.答案：C5．解析：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝kx或x2＝my，代入點(diǎn)P(－2，3)，解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝答案：y2＝－92x或x2＝4關(guān)鍵能力·題型突破例1解析：(1)設(shè)動(dòng)圓的圓心為C，則C到定圓A：(x＋2)2＋y2＝1的圓心的距離等于動(dòng)圓的半徑r＋1，而動(dòng)圓的圓心到直線x＝1的距離等于r，所以動(dòng)圓圓心到直線x＝2的距離為r＋1，根據(jù)拋物線的定義知，動(dòng)圓的圓心軌跡為拋物線．故選D.(2)拋物線C：y2＝16x的準(zhǔn)線方程為x＝－4.設(shè)M(x0，y0)，由拋物線的定義知：|MF|＝12，即x0＋4＝12，即x0＝8，所以M到y(tǒng)軸的距離是8.故選B.(3)方程mx－y＋1－2m＝0可化為y－1＝m(x－2)，所以直線mx－y＋1－2m＝0恒過定點(diǎn)A(2，1).因?yàn)閽佄锞€E：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1，0)，所以p2＝1，即p＝2所以y2＝4x.過點(diǎn)P作PP1⊥準(zhǔn)線x＝－1，垂足為P1，則|PP1|＝|PF|，過點(diǎn)A作AA1⊥準(zhǔn)線x＝－1，垂足為A1，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PP1|≥|AA1|＝3，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，A1三點(diǎn)共線時(shí)取等號，所以|PA|＋|PF|的最小值為3.故選C.答案：(1)D(2)B(3)C鞏固訓(xùn)練1解析：(1)由定義|MF|＝x0＋p2＝y(tǒng)0＝6，又y02＝36＝2所以36＝2p(6－p2)，解得p＝故選C.(2)由拋物線y2＝4x可知其焦點(diǎn)為F(1，0)，由拋物線的定義可知|PF|＝xP＋1，故點(diǎn)P到點(diǎn)M(0，3)的距離與P到y(tǒng)軸的距離之和為|PM|＋xP＝|PM|＋|PF|－1≥|MF|－1＝1+32－1＝即點(diǎn)P到點(diǎn)(0，3)的距離與P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為1.答案：(1)C(2)1例2解析：(1)準(zhǔn)線方程為y＝－14，所以拋物線開口向上，且p2＝得p＝12，所以拋物線方程是x2＝y(tǒng)(2)雙曲線方程x29-y216＝1，左頂點(diǎn)為(所以拋物線的焦點(diǎn)為(－3，0)，拋物線的開口向左，p2＝3，p＝6所以拋物線方程是y2＝－12x.(3)設(shè)拋物線方程y2＝2px(p>0)，當(dāng)y＝－3時(shí)，x＝92p|AF|＝92p+p2＝5，即p2－10p＋9＝0，解得p＝1或拋物線方程為y2＝2x或y2＝18x.設(shè)拋物線方程y2＝－2px(p>0)，當(dāng)y＝－3時(shí)，x＝－92p|AF|＝92p+p2＝5，解得p＝1或拋物線方程為y2＝－2x或y2＝－18x.綜上可知，拋物線方程為y2＝±2x或y2＝±18x.鞏固訓(xùn)練2解析：(1)點(diǎn)P(2，m)到y(tǒng)軸的距離是到焦點(diǎn)距離的一半，因?yàn)辄c(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離為4，由拋物線的定義得2＋p2＝4，所以p＝4，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x故選C.(2)對于直線方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以拋物線的焦點(diǎn)為(0，－3)或(4，0)．當(dāng)焦點(diǎn)為(0，－3)時(shí)，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則p2＝3，所以p＝6此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y.當(dāng)焦點(diǎn)為(4，0)時(shí)，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則p2＝4，所以p＝8此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y或y2＝16x.故選A.(3)設(shè)正三角形邊長為x.由三角形的面積公式得363＝12x2sin60°，解得：x＝由拋物線的對稱性可知，正三角形在拋物線上的兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，則當(dāng)a>0時(shí)，三角形的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(63，6)，代入y2＝ax得a＝23；當(dāng)a<0時(shí)，三角形的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－63，6)，代入y2＝ax得a＝－23.綜上，a＝±23.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝±23x.答案：(1)C(2)A(3)y2＝±23x例3解析：(1)F(1，0)，設(shè)A(m，n)，則|AF|＝m＋1＝5，∴m＝4，∴n＝±4，∴S△AOF＝12×1×4＝故選A.(2)如圖所示：設(shè)P(y022p，y0)，則|PA|＝又在Rt△AMF中，∠AFM＝∠FAP＝60°，故tan∠AFM＝AMMF＝y(tǒng)0p＝3聯(lián)立①②式，得p＝2，|y0|＝23.故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xp＝y(tǒng)02答案：(1)A(2)(1，0)3鞏固訓(xùn)練3解析：(1)由拋物線C：y2＝4x，可知F(1，0)，即|OF|＝1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為N，由三角形相似可知OFPN＝FMPM＝所以|PN|＝3|FO|＝3.所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為4.故選B.(2)因?yàn)閽佄锞€C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x＝－12∴－p2＝－12，即p＝∴C：y2＝2x，又點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離為52∴xA＋12＝52，即xA＝2，又點(diǎn)A∴yA2＝2×2，yA＝2，即A(2，答案：(1)B(2)(2，2)真題展臺——知道高考考什么？1．解析：由已知條件，易知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為