湖南省懷化市楠木坪鄉(xiāng)中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

湖南省懷化市楠木坪鄉(xiāng)中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，若△BCD為等邊三角形（A，D兩點(diǎn)在BC兩側(cè)），則當(dāng)四邊形ABDC的面積最大時(shí)，（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】求出三角形的面積，求出四邊形的面積，運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換和正弦函數(shù)的值域，求出滿足條件的角的值即可．【詳解】設(shè)，，，是正三角形，，由余弦定理得：，，時(shí)，四邊形的面積最大，此時(shí)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理和三角形的面積公式，考查兩角的和差公式和正弦函數(shù)的值域，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．2.（3分）一個(gè)學(xué)校高三年級共有學(xué)生200人，其中男生有120人，女生有80人，為了調(diào)查高三復(fù)習(xí)狀況，用分層抽樣的方法從全體高三學(xué)生中抽取一個(gè)容量為25的樣本，應(yīng)抽取女生的人數(shù)為（） A． 20 B． 15 C． 12 D． 10參考答案：D考點(diǎn)： 分層抽樣方法．專題： 計(jì)算題．分析： 根據(jù)在總體與樣本中的比例相同的原理，比例乘以樣本容量即得結(jié)果．解答： 各層在樣本和總體中的比例不變∴25×=10故選D點(diǎn)評： 本題主要考查分層抽樣，要注意各層在樣本和總體中的比例不變，屬于基礎(chǔ)題．3.已知，，則（

）A.(－1,4) B.(1,－4) C.(－1,－4) D.(1,4)參考答案：D【分析】利用公式可得到答案.【詳解】已知，，則故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題.4.（5分）圓（x+1）2+（y﹣2）2=1與圓x2+y2=9的位置關(guān)系是（） A． 相交 B． 外切 C． 相離 D． 內(nèi)切參考答案：A考點(diǎn)： 圓與圓的位置關(guān)系及其判定．專題： 直線與圓．分析： 求出兩圓的圓心，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系的判斷即可得到結(jié)論．解答： （x+1）2+（y﹣2）2=1的圓心A（﹣1，2），半徑R=1，x2+y2=9的圓心O（0，0），半徑r=3，則|AB|=，∵3﹣1＜|AB|＜3+1，∴圓（x+1）2+（y﹣2）2=1與圓x2+y2=9的位置關(guān)系是相交，故選：A．點(diǎn)評： 本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的判斷，求出兩圓的圓心和半徑是解決本題的關(guān)鍵．5.設(shè)函數(shù)，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fg（x）=，若對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，恒有fg（x）=f（x），則（）A．K的最小值為1 B．K的最大值為1C．K的最小值為 D．K的最大值為參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【分析】若對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，恒有fg（x）=f（x），則f（x）≥K恒成立，求出f（x）的最小值，即為K的最大值．【解答】解：若對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，恒有fg（x）=f（x），則f（x）≥K恒成立，∵≥20=1，故K≤1，即K的最大值為1，故選：B．6.已知直線是圓的對稱軸，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（

）． A． B． C． D．參考答案：C圓，，圓心在直線上，∴代入解出，直線為，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，∵．．∴．故選．7.函數(shù)的定義域是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.已知是上的增函數(shù)，那么a取值范圍是（

）A.[，3）

B.(0，3)

C.（1，3）

D.(1，+∞)參考答案：A略9.下列函數(shù)中，在（﹣∞，0）內(nèi)是減函數(shù)的是（）A．y=1﹣x2 B．y=x2+x C．y=﹣ D．y=參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】A．函數(shù)y=1﹣x2利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出在（﹣∞，0）內(nèi)單調(diào)性；B．y=x2+x=利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷在（﹣∞，0）內(nèi)不具有單調(diào)性；C.利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法“同增異減”可知在（﹣∞，0）內(nèi)的單調(diào)性；D.=，利用反比例函數(shù)即可判斷出在（﹣∞，1）內(nèi)是減函數(shù)，進(jìn)而判斷出在（﹣∞，0）內(nèi)單調(diào)性．【解答】解：A．函數(shù)y=1﹣x2在（﹣∞，0）內(nèi)是增函數(shù)；B．y=x2+x=在（﹣∞，0）內(nèi)不具有單調(diào)性；C.利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法“同增異減”可知在（﹣∞，0）內(nèi)是增函數(shù)；D.=，在（﹣∞，1）內(nèi)是減函數(shù)，即在（﹣∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減．綜上可知：只有D正確．故選D．【點(diǎn)評】熟練掌握二次函數(shù)的單調(diào)性、反比例函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法是解題的關(guān)鍵．10.已知六邊形是邊長為1的正六邊形，則的值為A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若sinα＞0，cosα＜0，則角α在第象限．參考答案：二【考點(diǎn)】三角函數(shù)值的符號．【分析】利用三角函數(shù)在各個(gè)象限的三角函數(shù)的符號，判斷α的象限即可．【解答】解：sinα＞0，說明α在一、二象限，cosα＜0，說明α在二、三象限，所以α在第二象限．故答案為：二．12.空間不共線的四個(gè)點(diǎn)可確定

個(gè)平面；參考答案：一個(gè)或四個(gè)略13.定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且f(x)在(0,+∞)是增函數(shù),則不等式的解集為__.參考答案：在上是奇函數(shù)，且在是增函數(shù)在上也是增函數(shù)等價(jià)于，或或或則不等式的解集為14.（5分）函數(shù)y=+的定義域?yàn)?/p>

．參考答案：{x|x≥﹣3且x≠1}考點(diǎn)： 函數(shù)的定義域及其求法．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0且分式的分母不等于0聯(lián)立不等式組求解x的取值集合得答案．解答： 由，得x≥﹣3且x≠1．∴函數(shù)y=+的定義域?yàn)閧x|x≥﹣3且x≠1}．故答案為：{x|x≥﹣1且x≠3}．點(diǎn)評： 本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題．15.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為

．參考答案：1216.長為10cm的線段AB上有一點(diǎn)C，則C與A、B距離均大于2cm的概率為_________．參考答案：略17.在△ABC中，，則的值為

▲

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)（a＞0，a≠1）．（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明；（3）當(dāng)x∈（n，a﹣2）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實(shí)數(shù)a與n的值．參考答案：【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）先求函數(shù)的定義域看是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后在用奇偶函數(shù)的定義判斷，要注意到代入﹣x時(shí)，真數(shù)是原來的倒數(shù)，這樣就不難并判斷奇偶性．（2）用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，首先在所給的區(qū)間上任取兩個(gè)自變量看真數(shù)的大小關(guān)系，然后在根據(jù)底的不同判斷函數(shù)單調(diào)性．（3）要根據(jù)第二問的結(jié)論，進(jìn)行分類討論，解出兩種情況下的實(shí)數(shù)a與n的值．【解答】解：（1）由得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）∪（﹣∞，﹣1），…又所以f（x）為奇函數(shù)．

…（2）由（1）及題設(shè)知：，設(shè)，∴當(dāng)x1＞x2＞1時(shí)，∴t1＜t2．…當(dāng)a＞1時(shí)，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．同理當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．…（3）①當(dāng)n＜a﹣2≤﹣1時(shí)，有0＜a＜1．由（2）可知：f（x）在（n，a﹣2）為增函數(shù)，…由其值域?yàn)椋?，+∞）知，無解

…②當(dāng)1≤n＜a﹣2時(shí)，有a＞3．由（2）知：f（x）在（n，a﹣2）為減函數(shù)，由其值域?yàn)椋?，+∞）知…得，n=1．…19.（1）若cos=，π＜x＜π，求的值．（2）已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R），若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．【分析】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化法求出cosx、sinx和tanx的值，再計(jì)算所求的算式；（2）利用三角恒等變換化簡f（x），根據(jù)f（x0）=求出sin（2x0+）和cos（2x0+）的值，再計(jì)算cos2x0的值．【解答】解：（1）由π＜x＜π，得π＜x+＜2π，又cos=，∴sin=﹣；∴cosx=cos=coscos+sinsin=﹣，從而sinx=﹣，tanx=7；故原式=；（2）f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），當(dāng)f（x0）=時(shí)，sin（2x0+）=，又x0∈[，]，∴2x0+∈[，]，∴cos（2x0+）=﹣，∴cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=﹣×+×=．20.已知二次函數(shù)，有兩個(gè)零點(diǎn)為－1和n．（1）求m、n的值；（2）證明：；（3）用單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù)；（4）求f(x)在區(qū)間上的最小值．參考答案：（1），；（2）證明見解析；（3）證明見解析；（4）.【分析】（1）利用韋達(dá)定理可得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的方程組，即可求出這兩個(gè)未知數(shù)的值；（2）直接計(jì)算和f1?x，可證明出；（3）任取，作差，因式分解后判斷差值的符號，即可證明出函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；（4）分和兩種情況討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可得出函數(shù)在區(qū)間上的最小值的表達(dá)式.【詳解】（1）由韋達(dá)定理得，解得；（2）由（1）知，，，因此，；（3）任取，則，，，，，即，因此，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；（4）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，此時(shí).綜上所述，.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)相關(guān)的問題，涉及利用韋達(dá)定理求參數(shù)、二次函數(shù)對稱性、單調(diào)性的證明、以及二次函數(shù)在區(qū)間上最值的求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.21.（本小題滿分13分）數(shù)列的前項(xiàng)和為，。（1）求證：數(shù)列成等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請求出一組適合條件的三項(xiàng)；若不存在，請說明理由．參考答案：解：（1）由及，∴成等比數(shù)列

（2）由（1）知，，故．

（3）假設(shè)存在，使得成等差數(shù)列，則

即因，所以，∴不存在中的連續(xù)三項(xiàng)使得它們可以構(gòu)成等差數(shù)略22.