線性代數(shù)第一章節(jié)演示文稿

線性代數(shù)第一章節(jié)演示文稿當(dāng)前第1頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)（優(yōu)選）線性代數(shù)第一章節(jié)當(dāng)前第2頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論1

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．推論2如果行列式中有一行(列)元素全為零，則此行列式的值為零.當(dāng)前第3頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)推論3

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明當(dāng)前第4頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)性質(zhì)4

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個(gè)行列式之和：例如當(dāng)前第5頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)性質(zhì)5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如當(dāng)前第6頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)二、應(yīng)用舉例我們將應(yīng)用行列式性質(zhì)來計(jì)算行列式，我們約定：當(dāng)前第7頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)例１計(jì)算例2計(jì)算當(dāng)前第8頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)例3

計(jì)算階行列式解將第都加到第一列得當(dāng)前第9頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第10頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)例4證明當(dāng)前第11頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)證明當(dāng)前第12頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第13頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)同理：當(dāng)前第14頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)例5反對(duì)稱行列式的形式為：由性質(zhì)1當(dāng)前第15頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)1.5行列式按行（列）展開定義1：在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．1.5.1余子式，代數(shù)余子式定義例如當(dāng)前第16頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)1.5.2行列式按行（列）展開法則定理1行列式D等于其任意一行（列）的元素與它的代數(shù)余子式的乘積之和，即

推論

行列式的某一行（列）的各元素與另外一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零。當(dāng)前第17頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)綜上所述，可得到代數(shù)余子式的一個(gè)重要結(jié)論：例1設(shè)當(dāng)前第18頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)例2證明范德蒙（Vandermonde）行列式

證用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)前第19頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第20頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)n-1階范德蒙德行列式當(dāng)前第21頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)1.5.3拉普拉斯定理定義2當(dāng)前第22頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)第1行第3行第2列第4列當(dāng)前第23頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)定理2

拉普拉斯(Laplace)定理注：行列式按行（列）展開就是拉普拉斯定理k=1時(shí)的特殊情形。當(dāng)前第24頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)例3

用拉普拉斯定理計(jì)算行列式解：選取第1，2行，只有三個(gè)非零二階子式，對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式為當(dāng)前第25頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)例4證明當(dāng)前第26頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)例5

計(jì)算2n階行列式當(dāng)前第27頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)設(shè)線性方程組則稱此方程組為非

齊次線性方程組;此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組.1.非齊次與齊次線性方程組的概念1.6克萊姆法則當(dāng)前第28頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)定理1(Cramer法則)如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即當(dāng)前第29頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為當(dāng)前第30頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)證明在把個(gè)方程依次相加，得當(dāng)前第31頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,于是當(dāng)時(shí),方程組有唯一的一個(gè)解當(dāng)前第32頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)由于方程組與方程組等價(jià),故也是方程組的解.當(dāng)前第33頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)二、重要推論定理1

如果線性方程組的系數(shù)行列式則一定有解,且解是唯一的.定理2

如果線性方程組無解或有無窮多個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.當(dāng)前第34頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)齊次線性方程組的相關(guān)定理定理3

如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式

,則齊次線性方程組只有零解.當(dāng)前第35頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)定理4

如果齊次線性方程組

有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零.有非零解.系數(shù)行列式當(dāng)前第36頁\共有40頁\編于星期二\12點(diǎn)例1

用