線性代數(shù)行列式與克拉默法則詳解演示文稿

線性代數(shù)行列式與克拉默法則詳解演示文稿當(dāng)前第1頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)（優(yōu)選）線性代數(shù)行列式與克拉默法則當(dāng)前第2頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)前第3頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)定義1.二階行列式定義為主對(duì)角線副對(duì)角線對(duì)角線法則二階行列式的計(jì)算當(dāng)前第4頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)定義2.三階行列式定義為三階行列式的計(jì)算---對(duì)角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)．當(dāng)前第5頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)說明1.

對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式．

2.

三階行列式包括3!項(xiàng),每一項(xiàng)都是位于不同行,不同列的三個(gè)元素的乘積,其中三項(xiàng)為正,三項(xiàng)為負(fù).考察三階行列式如下：當(dāng)前第6頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)前第7頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)定義3.代數(shù)余子式剩下的元素按原來的排法構(gòu)成一個(gè)新的行列式當(dāng)前第8頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)定義4.

是一個(gè)算式，且當(dāng)前第9頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)注意：行列式是一些乘積的代數(shù)和，每一項(xiàng)乘積都是由行列式中位于不同行不同列的元素構(gòu)成的.(3)定義4中行列式按第一行展開，同樣也可按第一列展開，甚至按行列式中任意行或列展開.由此可計(jì)算一些行列式.Example1.當(dāng)前第10頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)Proof.（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)前第11頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)不是對(duì)角行列式，當(dāng)前第12頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).說明

行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.當(dāng)前第13頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)例如推論如果行列式有兩行(列)完全相同,則行列式為零.證明互換相同的兩行，有性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.當(dāng)前第14頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．性質(zhì)４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明注意與矩陣數(shù)乘運(yùn)算的區(qū)別,當(dāng)前第15頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)性質(zhì)5

若行列式D的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和:則D等于下列兩個(gè)行列式之和：例如當(dāng)前第16頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)性質(zhì)６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如當(dāng)前第17頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)性質(zhì)7.行列式按行（列）展開法則下面證明:證當(dāng)前第18頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)前第19頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)相同同理當(dāng)前第20頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)前第21頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)性質(zhì)8.Laplace定理(2)

Laplace定理當(dāng)前第22頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)前第23頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)為方便起見，引用以下符號(hào)：其一、利用行列式的性質(zhì)，或通過將行列式化為三角行列式來計(jì)算行列式的值.當(dāng)前第24頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)Solution.當(dāng)前第25頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)ex3.已知204,527,255三數(shù)都能被17整除，不計(jì)算行列式的值，證明三階行列式也能被17整除.Solution.當(dāng)前第26頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)Solution.當(dāng)前第27頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)前第28頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)Solution.當(dāng)前第29頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)Solution.其二、當(dāng)行列式各行(列)元素之和相同時(shí)，應(yīng)先把各列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再考慮.當(dāng)前第30頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)Solution.當(dāng)前第31頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)故原方程的解為當(dāng)前第32頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)思考其三、根據(jù)行列式的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)，將行列式的某一行(列)化出盡量多的0元素，然后由定義按該行(列)展開.當(dāng)前第33頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)Solution.當(dāng)前第34頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)Solution.當(dāng)前第35頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)前第36頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)前第37頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)其四、當(dāng)各階行列式具有同一結(jié)構(gòu)形式時(shí)，可利用數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算或證明行列式的值.當(dāng)前第38頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)Solution.（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)前第39頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)前第40頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)這個(gè)行列式稱為Vandermonde（范德蒙）行列式，可見Vandermonde（范德蒙）行列式為零的充要條件是注意不是Vandermonde行列式當(dāng)前第41頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)解法1其五、先用展開或拆項(xiàng)等方法，將原行列式表成低階同型行列式的線性關(guān)系，再由遞推法得出結(jié)果.當(dāng)前第42頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)前第43頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)解法2當(dāng)前第44頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)其六.當(dāng)行列式為三線非0行列式時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為三角行列式來計(jì)算.

當(dāng)前第45頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)其七、加邊法，即在行列式值不變的情況下，加上一行一列.用于主對(duì)角線上元素不同，其余元素相同(或各行其余元素成比例)的行列式.Solution.當(dāng)前第46頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)前第47頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)前第48頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)Solution.當(dāng)前第49頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)五.分塊矩陣的行列式①②③當(dāng)前第50頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)定義1.如2431是一個(gè)4級(jí)排列.定義2.在一個(gè)排列中,如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反,即前面的數(shù)大于后面的數(shù),那么它們就稱為一個(gè)逆序,一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).當(dāng)前第51頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)例如排列32514中，32514逆序逆序逆序32514逆序數(shù)為31故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.當(dāng)前第52頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)定義3.逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列;逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列.定義4.在一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置調(diào)換，而其余的數(shù)不動(dòng)，從而構(gòu)成一個(gè)新的排列，這種調(diào)換叫做對(duì)換.將相鄰兩個(gè)數(shù)字對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換.結(jié)論1.對(duì)換改變排列的奇偶性.當(dāng)前第53頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)結(jié)論2.關(guān)于n階行列式的另一定義當(dāng)前第54頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)ex14.已知Solution.含的項(xiàng)有兩項(xiàng),即在中對(duì)應(yīng)于當(dāng)前第55頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)前第56頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)1.線性方程組當(dāng)方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相同時(shí),線性方程組的形式為:則稱此方程組為非

齊次線性方程組;此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組.當(dāng)前第57頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)2.Gramer法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即當(dāng)前