2023屆四川省涼山彝族自治州高三第三次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2023屆四川省涼山彝族自治州高三第三次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】把已知式兩邊同除，從而利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】由得.故選：C.2．設(shè)集合，，則（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)不等式的解法求得集合，結(jié)合集合交集的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】解：由集合，，根據(jù)集合交集的概念及運(yùn)算，可得.故選：B.3．在等差數(shù)列中，，，則（

）．A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】由等差中項(xiàng)性質(zhì)得，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量公差，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式，即可得.【詳解】由題設(shè)，則，而，若等差數(shù)列公差為，則，所以，通項(xiàng)公式為，故.故選：C4．在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，作出幾何圖形，求出點(diǎn)所在區(qū)域的面積，再利用幾何概型計(jì)算作答.【詳解】依題意，點(diǎn)在約束條件表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式組表示的平面區(qū)域是正方形內(nèi)部，其中，如圖，滿足的事件是正方形內(nèi)，直線右側(cè)的內(nèi)部的點(diǎn)形成的陰影區(qū)域，由得，即，則的面積，而，所以的概率.故選：A5．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由點(diǎn)坐標(biāo)作出終邊，根據(jù)三角函數(shù)定義求出和，把化簡(jiǎn)再求值即可.【詳解】由題意知，，所以，，因?yàn)?故選：C.6．在正方體中，點(diǎn)M是棱的中點(diǎn)，則異面直線BM與AC所成角的余弦值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，連，，，（或其補(bǔ)角）是異面直線BM與AC所成的角，解三角形可得解.【詳解】取的中點(diǎn)，連，，，則，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線BM與AC所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，則.所以異面直線BM與AC所成角的余弦值為.故選：C7．專家導(dǎo)航，聚焦課堂．四川省教育科學(xué)院5名專家到?jīng)錾侥晨h指導(dǎo)教育教學(xué)工作．現(xiàn)把5名專家全部分配到A，B，C三個(gè)學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少分配一名專家，每名專家只能到一個(gè)學(xué)校，其中甲專家不去A學(xué)校，則不同的分配方案種數(shù)為（

）．A．100 B．116 C．120 D．124【答案】A【分析】根據(jù)題意甲專家不去A學(xué)校，先分配甲專家；然后再對(duì)其余4名專家分配，有三種情況討論：沒人與甲同校，有一人與甲同校，有兩人與甲同校，易得其分配種數(shù)；最后利用分步計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意，先分配甲專家，有2種方法；再分其余的4名專家，分三種情況：沒有專家與甲在同一學(xué)校，也就是把4名專家分到其他兩所學(xué)校，先把4名專家分成2組，有種分組方法，再分到兩所學(xué)校，有種分法；有1名專家與甲在同一學(xué)校，其余3名專家分到其他兩所學(xué)校，有種分法；有2名專家與甲在同一學(xué)校，其余2名專家分到其他兩所學(xué)校，有種分法；則不同的分配方法有種.故選：A.8．已知以直線為漸近線的雙曲線，經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（

）．A．6 B． C． D．8【答案】C【分析】由題意可得雙曲線過(guò)點(diǎn)，分類討論，分別求解當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸、y軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合離心率的定義和實(shí)軸的概念計(jì)算，即可求解.【詳解】由，解得，則雙曲線過(guò)點(diǎn).若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸，設(shè)為，由雙曲線的漸近線方程為，得，即，將代入方程，得，有，無(wú)解，不符合題意；若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，設(shè)為，由雙曲線的漸近線方程為，得，即，將代入方程，得，有，解得，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為.故選：C.9．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若1不是函數(shù)的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）．A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義即可求解.【詳解】由題意可知，若1不是函數(shù)的極值點(diǎn)，則，即，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)，當(dāng)，因此是的極值點(diǎn)，1不是極值點(diǎn)，故滿足題意，故選：D10．在中，，，，點(diǎn)D在直線BC上，滿足，則（

）．A． B． C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，借助平面向量基本定理求出，再用表示，再求出即可.【詳解】在中，因?yàn)辄c(diǎn)D在直線BC上，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，又，且不共線，于是，因此，而，，，所以.故選：B11．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M是橢圓C上任意一點(diǎn)，且的取值范圍為．當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為m，外接圓半徑為n，則mn的最大值為（

）．A． B． C． D．1【答案】C【分析】由的取值范圍為可求出，由正弦定理可得，再由焦點(diǎn)三角形的等面積法可得，所以，求出即可得出答案.【詳解】，，所以，所以，解得：，設(shè)，由正弦定理可得：，，可得：，又因?yàn)?，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為A，所以，所以，所以，又因?yàn)楫?dāng)在短軸的端點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，，，所以，故當(dāng)時(shí)，mn取得最大值為.故選：C.12．設(shè)函數(shù)，若，則a的最小值為（

）．A．e B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，把，轉(zhuǎn)化為在恒成立，令，求得，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值，求得，即可求解.【詳解】由函數(shù)，因?yàn)椋?，即在恒成立，令，可得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，即為最大值，所以，即，所以實(shí)數(shù)的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．二、填空題13．的展開式中常數(shù)項(xiàng)是______．（用數(shù)字作答）【答案】240【分析】利用二項(xiàng)式定理設(shè)其通項(xiàng)待定系數(shù)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)的展開式的通項(xiàng)為：，化簡(jiǎn)得，令，計(jì)算得常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為240.故答案為：240.14．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則=___________.【答案】【分析】根據(jù)題中，利用和的關(guān)系式來(lái)求解，注意時(shí)要檢驗(yàn)是否符合時(shí)的表達(dá)式.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以所以；所以；所以?dāng)時(shí)，是以2為公比的等比數(shù)列；所以，當(dāng)時(shí)，所以，故答案為：15．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，若E為棱的中點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為______．【答案】【分析】作出截面截面，為的中點(diǎn)，則可得截面是邊長(zhǎng)為的菱形，求出其面積即可.【詳解】如圖，在正方體中，平面平面，平面與平面的交線必過(guò)且平行于，故平面經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，連接，得截面，易知截面是邊長(zhǎng)為的菱形，其對(duì)角線，，截面面積．故答案為：．16．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【分析】先由函數(shù)的定義域化簡(jiǎn)函數(shù)方程，再由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于則函數(shù)圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出圖像，由圖像可知當(dāng)直線在之間平移時(shí)滿足題意，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線的切線方程即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，所?令，由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)得函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn).由，得，左頂點(diǎn)為，則曲線表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓的上半部分，如圖，直線的斜率為1，當(dāng)直線在之間平移時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)直線為直線時(shí)，直線過(guò)點(diǎn),所以，解得；當(dāng)直線為直線時(shí)，與橢圓相切，設(shè)切點(diǎn)為，則，得切線的斜率為，解得，代入得，所以切線的方程為，令，得，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.三、解答題17．4月23日世界讀書日全稱“世界圖書與版權(quán)日”，又稱“世界圖書日”．最初的創(chuàng)意來(lái)自于國(guó)際出版商協(xié)會(huì)．由西班牙轉(zhuǎn)交方案給了聯(lián)合國(guó)教育、科學(xué)及文化組織．1995年11月15日正式確定每年4月23日為“世界圖書日”．其設(shè)立目的是推動(dòng)更多的人去閱讀和寫作，希望所有人都能尊重和感謝為人類文明做出過(guò)巨大貢獻(xiàn)的文學(xué)、文化、科學(xué)、思想大師們，保護(hù)知識(shí)產(chǎn)權(quán)．每年的這一天，世界一百多個(gè)國(guó)家都會(huì)舉辦各種各樣的慶祝和圖書宣傳活動(dòng)．在2023年世界讀書日來(lái)臨之際，某中學(xué)讀書協(xié)會(huì)為研究課外讀書時(shí)長(zhǎng)對(duì)語(yǔ)文成績(jī)的影響，隨機(jī)調(diào)查了高三年級(jí)100名學(xué)生每人每天課外閱讀的平均時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）及他們的語(yǔ)文成績(jī)，得到如下的統(tǒng)計(jì)表：讀書平均時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）人數(shù)1030401010語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀2203088(1)試估算該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)，中位數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）(2)以樣本頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該學(xué)校課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在，，的學(xué)生中各隨機(jī)選取一名學(xué)生成績(jī)進(jìn)行研究，記所選出的3名學(xué)生中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)平均數(shù)為46，中位數(shù)為(2)分布列見解析，【分析】（1）由頻數(shù)分布表中，平均數(shù)和中位數(shù)的定義求即即可；（2）先求出從課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在，，的學(xué)生中各隨機(jī)選取一名學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率，求出X的可能取值和每個(gè)X對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列，再由數(shù)學(xué)期望的公式求出.【詳解】（1）該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)為，設(shè)中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)為，所以，解得：，該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)為.（2）從課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在，，的學(xué)生中各隨機(jī)選取一名學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為，，，∴X的可能取值為0，1，2，3∴所以，X的分布列為X0123P∴.18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，，且直線PD與底面ABCD所成的角為．(1)求證：平面平面PAC；(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）由面面垂直的判定定理證明即可；（2）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【詳解】（1）證明：∵平面，且直線PD與平面ABCD所成的角為．∵平面，∴，，，又，∴∵底面ABCD為矩形，且，∴底面ABCD為正方形，∴而，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∵，∴，設(shè)平面MAC的法向量，則，∴又平面PAC的法向量，∴，∴二面角的余弦值為．19．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為．(1)求；(2)延長(zhǎng)至,使，若，求的最小值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由余弦定理和三角形的面積公式化簡(jiǎn)得到，求得，即可求解；（2）設(shè)，可得，由余弦定理化簡(jiǎn)得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）解：由余弦定理可得，因?yàn)榈拿娣e為，可得，又因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所?（2）解：如圖所示，因?yàn)?，設(shè)，則，由余弦定理可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．20．已知雙曲線T：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．若拋物線C：的焦點(diǎn)F與雙曲線T的右焦點(diǎn)相同．(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為正的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)（A在M，B之間），點(diǎn)N滿足：，求與面積之和的最小值，并求此時(shí)直線l的方程．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)條件先計(jì)算雙曲線方程，再根據(jù)焦點(diǎn)計(jì)算拋物線方程即可；（2）設(shè)l的方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及線段比例關(guān)系將兩個(gè)三角形的面積之和轉(zhuǎn)化為A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式，再利用基本不等式求最值即可得A、B坐標(biāo).【詳解】（1）由題意得：，解之得，即雙曲線的右焦點(diǎn)為，，所以；（2）根據(jù)題意不妨設(shè)直線l的方程為，，，，則由得∴∵，∴，又，同理，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，“＝”成立，即，此時(shí)，直線l的方程為．21．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)，若兩個(gè)不相等的正數(shù)m，n，滿足，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，討論和，判斷符號(hào)，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）不妨設(shè)，要證明，即證明，令，即證明，，求導(dǎo)，分析的單調(diào)性，可得，即可證明．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令，得（舍去）或，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．（2）當(dāng)時(shí)，，∴，且，∴函數(shù)在上為增函數(shù)，∵有兩個(gè)不相等的整數(shù)m，n滿足，∴不妨設(shè)，要證明，即證，即證，又∴即證，即證，即證，令，，則，即證，令，，則，∴函數(shù)在上為增函數(shù)，∴，得證．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想同構(gòu)的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.常用方法有如下四種：方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常見方法，其中利用的對(duì)稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題必備的知識(shí)和技能.方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問(wèn)題化為單變量問(wèn)題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線交于點(diǎn)A，B，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化，結(jié)合余弦二倍角公式即可求解，（2）聯(lián)立直線與曲線的方程，由