余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例

第4課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.掌握基線、坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等測量問題中的常用概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.能夠運(yùn)用正弦定理和余弦定理解決與距離、高度、角度有關(guān)的實(shí)際問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)激趣誘思知識點(diǎn)撥解三角形在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用,例如在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向,并保持一定的航速和航向呢?這就需要用到解三角形中關(guān)于角度測量這方面的問題.再如喜馬拉雅山,我們怎樣測出它的高度?這就需要用到解三角形中關(guān)于高度測量這方面的問題.由此可見學(xué)好解三角形知識,還能在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)揮“一技之長”.激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一、測量問題中的常用概念1.基線(1)定義:在測量過程中,我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線.(2)性質(zhì):為使測量具有較高的精確度,應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長度.一般來說,基線越長,測量的精確度越高.2.坡角與坡度坡面的鉛直高度與水平寬度之比叫做坡度,如圖所示,α為坡角,坡比激趣誘思知識點(diǎn)撥3.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角中,目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫做仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫做俯角(如圖所示).激趣誘思知識點(diǎn)撥4.視角觀察物體的兩端,視線張開的夾角叫做視角,如圖所示.激趣誘思知識點(diǎn)撥5.方位角與方向角(1)方位角從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角.如點(diǎn)B的方位角為α,如圖①所示.(2)方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角.如南偏西60°,指以正南方向?yàn)槭歼?順時(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60°,如圖②所示.圖①

圖②激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)(1)從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系是(

)A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°(2)若P在Q的北偏東37°方向上,則Q在P的(

)A.東偏北53°方向上B.北偏東37°方向上C.南偏西37°方向上D.南偏西53°方向上激趣誘思知識點(diǎn)撥(3)下圖中,兩個(gè)方向?qū)?yīng)的方位角分別等于

.

激趣誘思知識點(diǎn)撥解析:(1)如圖,從A處望B處的仰角α與從B處望A處的俯角β是內(nèi)錯(cuò)角,由水平線平行,得α=β.(2)如圖所示,Q在P的南偏西37°的方向上.(3)左題圖中方向?qū)?yīng)的方位角等于30°,右題圖中方向?qū)?yīng)的方位角等于240°.答案:(1)B

(2)C

(3)30°,240°激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)二、解決實(shí)際測量問題的思路和步驟1.基本思路激趣誘思知識點(diǎn)撥2.一般步驟(1)分析:理解題意,弄清已知與未知,畫出示意圖;(2)建模:根據(jù)已知條件與求解目標(biāo),把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中,建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型;(3)求解利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解;(4)檢驗(yàn):檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際問題,從而得出實(shí)際問題的解.激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)海上有A,B兩個(gè)小島相距10海里,從A島望C島和B島成60°的視角,從B島望C島和A島成75°的視角,則B,C島間的距離是(

)答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測測量距離問題例1如圖,一名學(xué)生在河岸緊靠岸邊筆直行走,開始在A處,經(jīng)觀察,在河的對岸有一參照物C,與學(xué)生前進(jìn)方向成30°角,學(xué)生前進(jìn)200m后到達(dá)點(diǎn)B,測得該參照物與前進(jìn)方向成75°角.(1)求點(diǎn)A與參照物C的距離;(2)求河的寬度.分析根據(jù)圖形,先由已知求出∠ACB,再利用正弦定理求得AC的長度,最后在直角三角形中求出河的寬度.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

三角形中與距離有關(guān)的問題的求解策略(1)解決與距離有關(guān)的問題,若所求的線段在一個(gè)三角形中,則直接利用正弦定理、余弦定理求解即可;若所求的線段在多個(gè)三角形中,要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切?再利用正弦定理、余弦定理求解.(2)解決與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊,分析所解三角形中已知哪些元素,還需要求出哪些元素,靈活應(yīng)用正弦定理、余弦定理來解決.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1如圖所示,為了測定河的寬度,在一岸邊選定兩點(diǎn)A,B,望對岸標(biāo)記物C,測得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,則河的寬度為

m.

解析:作CD⊥AB,垂足為D,則CD即為河的寬度.在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC,所以AC=AB=120

m.答案:60探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測測量高度問題例2如圖,為了測量河對岸的塔高AB,選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C和D,測得CD=200m,在點(diǎn)C和點(diǎn)D測得塔頂A的仰角分別是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.分析先在Rt△ABC和Rt△ABD中,用AB表示BC和BD,再在△BCD中,由余弦定理建立方程,求得AB.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

測量高度問題的求解策略(1)在測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度時(shí),可以借助正弦定理或余弦定理,構(gòu)造兩角(兩個(gè)仰角或兩個(gè)俯角)和一邊或三角(兩個(gè)方向角和仰角)和一邊,如圖所示.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)解決測量高度問題的一般步驟是:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2如圖,在山頂鐵塔上B處測得一點(diǎn)A的俯角為α,在塔底C處測得A處的俯角為β.若鐵塔高為m米,則山高CD為

米.

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測測量角度問題角度1

實(shí)際測量中的角度問題例3地圖測繪人員在點(diǎn)A測得某一目標(biāo)參照物P在他的北偏東30°的方向,且距離他40m,之后該測繪人員沿正北方向行走了40m,達(dá)到點(diǎn)B.試確定此時(shí)目標(biāo)參照物P相對于他的方位角以及他與目標(biāo)參照物P的距離.分析畫出圖形,在三角形中,利用余弦定理求出內(nèi)角的大小以及邊的長度,從而確定相應(yīng)的方位角以及距離.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測因?yàn)锳B=40

m,所以AB=PB,所以∠APB=∠PAB=30°,所以∠PBA=120°.因此測繪人員到達(dá)點(diǎn)B時(shí),目標(biāo)參照物P相對于該測繪人員的方位角為180°-120°=60°,且目標(biāo)參照物P與他的距離為40

m.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3如圖所示,從A到B,方位角是50°,距離是470m;從B到C,方位角是80°,距離是860m;從C到D,方位角是150°,距離是640m,試計(jì)算從A到D的方位角和距離.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測角度2

航海與追及中的角度問題例4某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn),發(fā)出呼救信號,我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測出該漁輪在方位角為45°,距離為10nmile的C處,并測得漁輪正沿方位角為105°的方向,以9nmile/h的速度向某小島靠攏,我海軍艦艇立即以21nmile/h的速度前去營救,求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間.分析本題中所涉及的路程在不斷變化,但艦艇和漁輪相遇時(shí)所用時(shí)間相等,先設(shè)出所用時(shí)間t,找出等量關(guān)系,再解三角形.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

測量角度問題畫示意圖的基本步驟

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究

本題中其他條件不變,將“漁輪向小島靠攏的速度”改為“10nmile/h”,將“我海軍艦艇的速度”改為“10nmile/h”,求艦艇的航向和靠近漁輪所需要的時(shí)間.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測函數(shù)與方程思想在解三角形應(yīng)用舉例中的應(yīng)用典例如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1min后,再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為130m/min,山路AC長為1260m,經(jīng)測量,(1)求索道AB的長;(2)問:乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?分析(1)利用正弦定理求出AB的長.(2)先設(shè)出乙出發(fā)后所用的時(shí)間t,再建立時(shí)間t與甲、乙間距離d的函數(shù)關(guān)系式,利用關(guān)系式求最值.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點(diǎn)睛與函數(shù)思想相聯(lián)系的就是方程思想.所謂方程思想,就是在解決問題時(shí),用事先設(shè)定的未知數(shù)溝通問題所涉及的各量間的制約關(guān)系,列出方程(組),從而求出未知數(shù)及各量的值,使問題獲得解決,所設(shè)的未知數(shù)溝通了變量之間的聯(lián)系.方程可以看做未知量與已知量相互制約的條件,它架設(shè)了由已知探索未知的橋梁.函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,本章在利用正弦定理、余弦定理求角或邊長時(shí),往往滲透著函數(shù)與方程思想.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.如圖,從山頂A望地面上C,D兩點(diǎn),測得它們的俯角分別為45°和30°,已知CD=100m,點(diǎn)C位于BD上,則山高AB等于(

)答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.從某電視塔的正東方向的A處,測得塔頂仰角是60°,從電視塔的西偏南30°的B處,測得塔頂仰角為45°,A,B間距離為35m,則此電視塔的高度是(

)答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.一艘輪船從A出發(fā),沿南偏東70°的方向航行40nmile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東35°的方向航行了40nmile到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到C,那么此船航行的方向和路程分別為(

)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.在某次軍事演習(xí)中,紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場形勢,在兩個(gè)相距為a的軍事基地C和D處測得藍(lán)方兩支精銳部隊(duì)分別在A處和B處,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如圖所示,求藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)之間的距離.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.如圖,漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處,且與島嶼A相距12nmile,漁船乙以10nmile/h的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行,若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙,剛好