三角形的內(nèi)切圓 名師獲獎(jiǎng)

2.3三角形的內(nèi)切圓

如圖是一塊三角形木料，木工師傅要從中裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？ABCABC和三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓三角形叫圓的外切三角形生活實(shí)例三角形的內(nèi)切圓怎樣作呢？作圖說(shuō)明比一比練習(xí)例1、作圓，使它和已知三角形的各邊都相切．（1）作圓的關(guān)鍵是什么?討論以下幾個(gè)問(wèn)題：（2）假設(shè)⊙I是所求作的圓，⊙I和三角形三邊都相切，圓心I應(yīng)滿(mǎn)足什么條件?（3）這樣的點(diǎn)I應(yīng)在什么位置?

（4）圓心I確定后半徑如何找？

結(jié)論：和三角形的各邊都相切的圓可以作一個(gè)且只可以作出一個(gè)．（確定圓心和半徑）（角平分線(xiàn)的交點(diǎn)）（過(guò)圓心作三角形一邊的垂線(xiàn)，垂線(xiàn)段的長(zhǎng)就是圓的半徑）到三角形三邊的距離相等3、以I為圓心，ID為半徑作⊙I，⊙I就是所求的圓.已知：△ABC（如圖）求作：和△ABC的各邊都相切的圓ABCMNID作法：1、作∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)BM和CN，交點(diǎn)為I.2、過(guò)點(diǎn)I作ID⊥BC，垂足為D.三角形內(nèi)切圓的圓心叫三角形的內(nèi)心②三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等①三角形的內(nèi)心是三角形角平分線(xiàn)的交點(diǎn)③三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部三角形內(nèi)心的性質(zhì)例1、作圓，使它和已知三角形的各邊都相切．名稱(chēng)確定方法圖形性質(zhì)外心內(nèi)心三角形三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)（三角形外接圓的圓心）（三角形內(nèi)切圓的圓心）1.OA=OB=OC；2.外心不一定在三角形的內(nèi)部．1.到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部．比一比

1.如圖1，△ABC是⊙O的

三角形?！袿是△ABC的

圓，點(diǎn)O叫△ABC的

，它是三角形

的交點(diǎn)。外接內(nèi)接外心三邊中垂線(xiàn)ABCO．圖1IDEF．圖2外切內(nèi)切內(nèi)三個(gè)角平分線(xiàn)2.如圖2，△DEF是⊙I的

三角形，⊙I是△DEF的

圓，點(diǎn)I是△DEF的

心，它是三角形

的交點(diǎn)。填一填1無(wú)數(shù)COBA?

140o4、如上圖，四邊形DEFG是⊙O的

四邊形，⊙O是四邊形DEFG的

圓.3、三角形的內(nèi)切圓能作____個(gè),圓的外切三角形有_____個(gè),三角形的內(nèi)心在圓的_______.2.如圖,O是△ABC的內(nèi)心,.若∠BAC=100o,則∠BOC=______.DEFG.O內(nèi)切外切填一填x0圓心CABOD例2、如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3cm，求△ABC的內(nèi)切圓⊙O的半徑。解：設(shè)⊙O且AB于點(diǎn)D，連結(jié)OA，OB，OD∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分線(xiàn)∵△ABC是正三角形∴∠OAB=∠OBA=300∵OD⊥AB，AB=3cm∴AD=BD=1/2AB=1.5cm∴OD=AD×tan300=cm答：圓柱底面半徑為cm。算一算：例3、如圖，設(shè)△ABC的邊BC=a，CA=b，AB=c，

設(shè)a+b+c=l，內(nèi)切圓O和各邊分別相切于D，E，F(xiàn)。

求證：AF+BC=l變一:在直角三角形中,若兩直角邊記為a,b,斜邊為c,三角形的內(nèi)切圓的半徑為r,r與a,b,c有怎樣的數(shù)量關(guān)系?abcrabcrrr變二:已知△ABC的三邊BC,AB,AC分別為a,b,c,I為內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑為r,求△ABC的面積S(用a,b,c,r表示）ABCI練習(xí)：⑴邊長(zhǎng)為３，４，５的三角形的內(nèi)切圓半徑是＿＿⑵邊長(zhǎng)為５，５，６的三角形的內(nèi)切圓半徑是＿＿（3）已知△ABC的面積為12cm2，周長(zhǎng)為24cm,則△ABC的內(nèi)切圓的半徑為_(kāi)________cm.11.511.三角形的內(nèi)心到三角形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等（）2.三角形的外心到三角形各邊的距離相等（）3.等邊三角形的內(nèi)心和外心重合；（）4.三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部（）5.菱形一定有內(nèi)切圓（）6.矩形一定有內(nèi)切圓（）錯(cuò)錯(cuò)對(duì)對(duì)

錯(cuò)

對(duì)判斷題：（1）如圖，如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,則BC=cm,AC=AB=（2）如圖，PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，DE分別交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切線(xiàn)長(zhǎng)為8CM，則ΔPDE的周長(zhǎng)為（）A16cmD8cmC12cmB14cmAPDCBEABDACFE274填一填11cm9cm6cm1.正三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比為（）（A）1∶∶（B）1∶2∶（C）1∶∶2（D）1∶2∶32、存在內(nèi)切圓和外接圓的四邊形一定是（）（A）矩形（B）菱形（C）正方形（D）平行四邊形DC選一選3、菱形ABCD中，周長(zhǎng)為40，∠ABC=120°，則內(nèi)切圓的半徑為（）（A）（B）（C）（D）

4、如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F是切點(diǎn)，∠A=50°，∠C=60°，則∠DOE=（）（A）70°（B）110°（C）120°（D）130°

DBACB1、三條公路AB、AC、BC兩兩相交與A、B、C三點(diǎn)（如圖所示）。已知AC⊥BC，BC=3千米，AC=4千米?，F(xiàn)想在△ABC內(nèi)建一加油站M，使它到三條公路的距離相等，請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，加油站M應(yīng)建在離公路多遠(yuǎn)的地方？解一解2、已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的內(nèi)切圓分別和BC、AC、AB切于點(diǎn)D、E、F，求AF、BD和CE的長(zhǎng)。ABCFDExx13-x13-x9-x9-x∴(13-x)+(9-x)=14解：設(shè)AF＝x，則BF=13-x因此，AE=AF=x,BD=BF=13-x,DC=EC=9-x,解得x=4答：AF=4，BD=9，CE=5。∴AF=4，BD=9，CE=5又∵BD+CD=14⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，分別切BA，BC,AC于點(diǎn)E,F,DP是弧ED上一點(diǎn)，若∠B=50°，求∠EPF的度數(shù)。ABCEFDPO4.如圖，花邊帶上正三角形的內(nèi)切圓半徑為1cm．如果這條花邊帶有100個(gè)圓和100個(gè)正三角形，則這條花邊的面積為_(kāi)_________5.如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°，AO的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC于D，AC=4，CD=1，則⊙O的半徑等于_________．1.5·CBAOI6、如圖,

ABC的內(nèi)心為I,外心為O.求證:(2)

BOC=4BIC360°

(1)

BIC=90°+A7.已知一塊等腰三角形鋼板的底邊長(zhǎng)為60cm，腰長(zhǎng)為50cm。（1）求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑（2）用一個(gè)圓完全覆蓋這塊鋼板，這個(gè)圓的最小半徑是多少？（3）求這個(gè)等腰三角形的內(nèi)心與外心的距離1.本節(jié)課從實(shí)際問(wèn)題入手，探索得出三角形內(nèi)切圓的作法.

2.通過(guò)類(lèi)比三角形的外接圓與圓的內(nèi)接三角形概念得出三角形的內(nèi)切圓、圓的外切三角形概念，并介紹了多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切多邊形的概念。3.學(xué)習(xí)時(shí)要明確“接”和“切”的含義、弄清“內(nèi)心”與“外心”的區(qū)別，4.利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)解題時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。課堂小結(jié)：

如圖，△ABC中，I是內(nèi)心，∠BAC的平分線(xiàn)和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)E，與BC交于點(diǎn)D.求證：（1）IE＝BECBAOIED2)5)3)4)1)拓展提