圖形的旋轉(zhuǎn) 市賽獲獎(jiǎng)

3.2圖形的旋轉(zhuǎn)

浙教版九年級(jí)上新知導(dǎo)入

情境引入上面的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象中，有哪些共同的特點(diǎn)?繞同一個(gè)固定的點(diǎn)，按同一個(gè)方向，旋轉(zhuǎn)同一個(gè)角度。

合作學(xué)習(xí)

在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)（如點(diǎn)O）按照一定的方向旋轉(zhuǎn)一定的角度θ，得到另一個(gè)圖形的變換，叫做旋轉(zhuǎn)。定點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，θ叫做旋轉(zhuǎn)角。原圖形上的一點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后成為點(diǎn)A’，這樣的兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn).平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)既可按逆時(shí)針?lè)较蛞部砂错槙r(shí)針?lè)较?.下圖是風(fēng)車(chē)風(fēng)輪中的兩張葉片，葉片B能由葉片A軸對(duì)稱(chēng)變換得到嗎？2.你有什么辦法使這兩張葉片A和B重合呢？不能旋轉(zhuǎn)：繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900BO提煉概念

怎樣來(lái)描述旋轉(zhuǎn)呢？

旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角

旋轉(zhuǎn)方向必須明確

確定一個(gè)圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí),溫馨提示：①旋轉(zhuǎn)的范圍是“平面內(nèi)”，其中“旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角度”稱(chēng)之為旋轉(zhuǎn)的三要素；②旋轉(zhuǎn)變換同樣屬于全等變換.OPQ答：以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針?lè)较?，旋轉(zhuǎn)90°如圖，經(jīng)過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)變換，可由射線(xiàn)OP得到射線(xiàn)OQ？oAB如圖，以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，作出旋轉(zhuǎn)變換后的像．ABO如圖：點(diǎn)O是線(xiàn)段AB外一點(diǎn)，以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將線(xiàn)段AB按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°,作出旋轉(zhuǎn)變換后的像.典例精講

新知講解

例1、如圖，O是△ABC外一點(diǎn).以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)80°，作出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的圖形.1.以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，分別把點(diǎn)A,B,C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)80°，得到點(diǎn)A’,B’,C’.2.連結(jié)A’B’,B’C’,C’A’,△A’B’C’就是所求作的經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的圖形.探究：1.在圖形的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,哪些發(fā)生了改變?哪些沒(méi)有發(fā)生改變?2.分別連結(jié)對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、A/與旋轉(zhuǎn)中心O，量一量線(xiàn)段OA與線(xiàn)段OA/,它們有什么關(guān)系?任意找一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn),量一下對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?3.量一下∠AOA/的度數(shù)，再任意找?guī)讓?duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，分別量一下對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角的度數(shù)，你又能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)所成的角彼此相等歸納概念

是不是所有圖形的旋轉(zhuǎn)變換都存在：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線(xiàn)所成的角度等于旋轉(zhuǎn)的角度？一般地，圖形的旋轉(zhuǎn)變換有下面的性質(zhì)：一、旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀和大小．二、對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．三、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線(xiàn)所成的角度等于旋轉(zhuǎn)的角度．BAOCBAOCBACOEFG平移：

.旋轉(zhuǎn)：

.平移、軸對(duì)稱(chēng)和旋轉(zhuǎn)的異同：

不同：運(yùn)動(dòng)方式沿某一條直線(xiàn)繞著一個(gè)點(diǎn)

都是一種圖形運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)前后不改變圖形的形狀和大小，只改變位置，因而也叫做圖形的全等變換.軸對(duì)稱(chēng)：

.沿某一條直線(xiàn)例2如圖,矩形AB’C’D’是矩形ABCD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°所得的圖形.求證：對(duì)角線(xiàn)BD與對(duì)角線(xiàn)B’D’所在的直線(xiàn)互相垂直.證明如圖，線(xiàn)段D'B'由對(duì)角線(xiàn)DB經(jīng)旋轉(zhuǎn)得到，延長(zhǎng)D'B'，交DB于點(diǎn)E.又∵∠D'AD=90°(一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線(xiàn)所成的角度等于旋轉(zhuǎn)的角度)，在矩形ABCD中，∠BAD=90°，∴點(diǎn)D',A,B在同一條直線(xiàn)上.∵Rt△D'AB'≌Rt△DAB(圖形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得的圖形和原圖形全等)，∴∠AD'B'+∠ADB=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠AD'B'+∠ADB=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠D'EB=180°-(∠AD'B'+∠ABD)=180°-90°=90°，即BD⊥B'D'.課堂練習(xí)1．一個(gè)圖形無(wú)論經(jīng)過(guò)平移還是旋轉(zhuǎn)，有以下說(shuō)法：①對(duì)應(yīng)線(xiàn)段平行；②對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等；③對(duì)應(yīng)角相等；④圖形的形狀和大小都沒(méi)有發(fā)生變化．其中正確的是 (

)A．①②③B．①②④C．①③④ D．②③④D2．如圖所示，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A′OB′可以看作是由△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度得到的．若點(diǎn)A′在AB上，則旋轉(zhuǎn)角α的大小可以是

(

)CA．30° B．45°C．60° D．90°【解析】∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°.∵△A′OB′可以看作是由△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度得到的，∴OA＝OA′.∴△OAA′是等邊三角形．∴∠AOA′＝60°，即旋轉(zhuǎn)角α的大小可以是60°.3．如圖所示，兩個(gè)全等的正方形ABCD與CDEF，旋轉(zhuǎn)正方形ABCD能和正方形CDEF重合，則可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)有______個(gè)．3【解析】①以C為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可得到正方形CDEF；②以D為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可得到正方形CDEF；③以CD的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD旋轉(zhuǎn)180°，可得到正方形CDEF.綜上所述，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)有3個(gè)；4.如圖所示，已知四邊形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，試作出旋轉(zhuǎn)后的圖形．解：圖略．作法：(1)連結(jié)OA，OA′.(2)連結(jié)OB，OC，OD，分別以O(shè)B，OC，OD為始邊，點(diǎn)O為頂點(diǎn)順時(shí)針作∠BOB′，∠COC′，∠DOD′，并使得∠BOB′＝∠COC′＝∠DOD′＝∠AOA′，OB′＝OB，OC′＝OC，OD′＝OD.(3)順次連結(jié)A′，B′，C′，D′四點(diǎn)．則四邊形A′B′C′D′就是所要作的圖形．【點(diǎn)悟】旋轉(zhuǎn)作圖的依據(jù)是圖形上每一點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，這是旋轉(zhuǎn)的基本規(guī)律，也是我們作圖的依據(jù)，對(duì)于旋轉(zhuǎn)作圖，應(yīng)先確定圖形的“關(guān)鍵點(diǎn)”，以局部帶動(dòng)整體進(jìn)行旋轉(zhuǎn)．5.如圖所示，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，將△OAB繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△OA1B1.(1)線(xiàn)段OA1的長(zhǎng)是______.∠AOB1的度數(shù)是________；(2)連結(jié)AA1，求證：四邊形OAA1B1是平行四邊形；(3)求四邊形OAA1B1的面積．解：(1)OA1＝OA＝6，∠AOB1＝∠A1OB1＋∠AOA＝45°＋90°＝135°(2)證明：∵∠AOA1＝∠OA1B1＝90°，∴OA∥A1B1，又OA＝AB＝A1B1，∴四邊形OAA1B1是平行四邊形；(3)四邊形OAA1B1的面積＝OA·OA1＝6×6＝36.【點(diǎn)悟】(1)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線(xiàn)所成的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．課堂小結(jié)1．旋轉(zhuǎn)的概念旋轉(zhuǎn)：一般地，一個(gè)圖形變?yōu)榱硪粋€(gè)圖形，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中原圖形上所有的點(diǎn)都繞一個(gè)固定的點(diǎn)，按同一個(gè)方向，轉(zhuǎn)動(dòng)同一個(gè)角度，這樣圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)．固定的點(diǎn)叫做_____________，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做___________．旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角注意：(1)旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)，而不是直線(xiàn)，如生活中的開(kāi)門(mén)、關(guān)門(mén)是繞軸旋轉(zhuǎn)一定的角度．不屬于我們研究的繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)；(2)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后，圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)所成的角都是旋轉(zhuǎn)角．2．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)性質(zhì)：