2022清華大學強基計劃

2022清華大學強基計劃1.關于方程在燈而直角坐標系中所確定的曲線,下列說法正確的有().A.曲線關丁坐標軸軸對稱,也關丁原點中心對稱B.曲線只過一個整點 C.曲線上的動點與原點的距離不超過2D.曲線所圍區(qū)域的面積大于 2.已知,求的最大值和最小值分別為()A. B.9,1 C. D.10,1 3.定義為一個由確定的二元函數(shù),且對任意實數(shù)成立,則A.20 B.22 C.-20 D.-22 4.已知一個正整數(shù)在十進制表示下的數(shù)位個數(shù)為的數(shù)位個數(shù)為,求可能為()A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 5.已知實數(shù)滿足,則的最大值為().A.2 B.3 C.4 D. 6.圓上不一個十邊形,任意兩點連成線段,求從中任取兩條線段,沒有交點的概率為（）A. B. C. D. 9.,則所在的區(qū)間為().A. B. C. D. 10.已知拋物線為拋物線外一點,、與拋物線相切且、為切點,則下列說法中匡確的有().A.若的方程為,則 B.若叢標為,則的方程為 C.若,則的最小值為 D.若,則的最人值為11.中,平分交于平分交于,已知,則A. B. C. D. 12.求13.為正整數(shù),當為三個連續(xù)自然數(shù)時,求最小值(）14.一條路上順次有10蒀燈,每藍燈的顏色可以為黃色或監(jiān)色,且要求不能出現(xiàn)連續(xù)三踃監(jiān)燈,求點燈方案的總數(shù)().15.、為兩個正方形,二面角為、在、上運動,且,已知邊長,求長度的取值范圍()16.已知復數(shù)滿足,求的最大值()17.在復平面內(nèi),復數(shù)在和兩點連線段上運動,復數(shù)滿足,若在復平面上表示的點用成的面積為,則的可能俻為()18.對于任意實數(shù),H對于,恒有,則.19.已知陽邊形中,,則(用表示).20.已知數(shù)列、滿足,求21.已知為實數(shù)滿足,則這樣的有()組A.0 B.2 C.4 D.6參考答案1.【答案】對于:選項,方程的替換為或替換為,方程均不改變,故曲線關于坐標抽軸對稱,也關于原點中心對稱,A正確;對于選項,利用均值不等式,,解得,從而的取值僅可能為.經(jīng)檢驗得,方程僅一個整數(shù)解,B正確;對于選項,利用均值不等式,,解得,故選項也正確;對丁:選項,由于:選項正確,曲線所圍區(qū)域的盃積不超過以原點為圓心,2為半徑的圓的面積,從而曲線所圍區(qū)域的面積小于錯誤.2.【答案】B汔意而由均值不等式,,解得,故(1)式,等號什吋可取.午是的最小值為1.再由均值不等式,,解得,故(1)式,等號在時可取.于是的最大值為9.3.【答案】D利用和,得到.在中,令得到,故.故.4.【答案】ACD由于:正整數(shù)在十進制表示下的數(shù)位個數(shù)為,故,從而,也就說朋的數(shù)位個數(shù),故,模4不能余1,B選項錯誤.對于A選項,構(gòu)造,則,此時,得到滿足要求.對于C選項,構(gòu)追,則,故,得到滿足要求.對于D選項,構(gòu)造,則,故,得到滿足要求.5.【答案】C(1)先證師下述結(jié)論:中必存在連續(xù)三項(和也算連續(xù)三項),大小單調(diào)不增或者單調(diào)不減.利用反證法,若不存佉這樣的連續(xù)三項.不妢設中的最人數(shù)為,則且.由反證假設,且.故無論大小關系如何,或者按照大小不增關系排序,或者,按照大小不減排序,矛盾!6.【答案】D不妨設這個十邊形是正十邊形,并將十邊形放到圓上考慮,則十個項點在圓等分為10段弧.順次記十邊形的頂點為,任選兩點連線穴有條.一方面,從中任選兩條線段(考慮順序),具有種選法.另一方面,對于線段,這兩點在圓上距離段弧.(1)如果兩點距離1段抓(即這兩點相鄰):則從余下8點中任選兩點連線,均與沒有父點,從而兩條線段沒有交點的情況數(shù)為種.注意距離1段弧的兩點本身有10種情況,故第一類無交線段的情況數(shù)為280種.(2)如果兩點距離2段弧:則從余下7點中任選兩點連線,均與沒有交點,從而兩條線段沒有交點的情況數(shù)為種.注意距離2段弧的兩點樸身有10種情況,故第一類無交線段的情況數(shù)為210種.(3)如果兩點距離3段孤:注意此時將整個圓裁成兩塊,一塊有2兩個頂點,一塊有6個頂點,從每塊頂點中任選兩點連線,均與沒有交點,從而沒有交點的情況數(shù)為種.注意距離3段弧的兩點本身有10種情況,故第一類無父線段的情況數(shù)為160種.(4)如果兩點距離4段弧:注意此時將整個圓裁成兩塊,一塊有3兩個頂點,一塊有5個頂點,從每塊頂點巾任選兩點連線,均與沒有交點,從而沒有交點的情況數(shù)為種.泂意距離4段弧的兩點本身有10種情況,故第一類無交線段的情況數(shù)為130種.(5)如果兩點距離5段弧:注意此時將整個圓裁成兩塊,一塊有4兩個頂點;另一塊也是4個頂點,從每塊頂點中任選兩點連線,均與沒付交點,從而沒有交點的情況數(shù)為種.注意距離5段弧的兩點本身有10種情況,故第一類無父線段的情況數(shù)為120種.綜上所述,所求概率為.7.略8.略9.【答案】D按照進行分類計數(shù),注意.(1),即,則是的任意非空子集即可,這樣的共個;(2),則是剩下5個元素的集合的任意子集即可,這樣的共個;(3),則是剩下4個元素的集合的任意子集即可,這樣的共個:…此類推,直至,則只能是空集,這樣的共個.綜上.所述,.10.【答案】使用切點弦方程,得到的方程為,即.對于選項,由切點弦方程得到錯誤.對于:選項,將代入切點弦方程,得到的方程為,B錯誤.對于選項,聯(lián)立方程和拋物線分程,得到.,由弦長公式得到 1利用點到直線距離公式,到直線的距離.于是記,則,于是.兩個最值分別在和取到,均正確.11.【答案】A設.在中