平面幾何中的向量方法向量在物理中的應(yīng)用舉例

6.4.1

平面幾何中的向量方法

6.4.2

向量在物理中的應(yīng)用舉例課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.能運(yùn)用平面向量的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題和物理問(wèn)題.(邏輯推理、直觀想象)2.掌握用向量法解決平面幾何問(wèn)題的兩種基本方法——選擇基底法和建系坐標(biāo)法.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.通過(guò)具體問(wèn)題的解決,理解用向量知識(shí)研究物理問(wèn)題的一般思路與方法,培養(yǎng)探究意識(shí)和應(yīng)用意識(shí),體會(huì)向量的工具作用.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥英國(guó)科學(xué)家赫胥黎應(yīng)邀到都柏林演講,由于時(shí)間緊迫,他一跳上出租車,就急著說(shuō):“快!快!來(lái)不及了!”司機(jī)遵照指示,猛開(kāi)了好幾分鐘,赫胥黎才發(fā)現(xiàn)不太對(duì)勁,問(wèn)道:“我沒(méi)有說(shuō)要去哪里嗎?”司機(jī)回答:“沒(méi)有啊!你只叫我快開(kāi)啊!”赫胥黎于是說(shuō):“對(duì)不起,請(qǐng)掉頭,我要去都柏林.”由此可見(jiàn),速度不僅有大小,而且有方向.在我們的生活中,有太多的事物不僅與表示它的量的大小有關(guān),而且也與方向有關(guān).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)一、向量在平面幾何中的應(yīng)用1.由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質(zhì),如全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái),因此平面幾何中的許多問(wèn)題都可用向量運(yùn)算的方法加以解決.2.用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”,即(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;(2)通過(guò)向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問(wèn)題;(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.3.平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于兩條鄰邊長(zhǎng)的平方和的兩倍.這一結(jié)論,可以用向量表示為:(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)(1)已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),則△ABC的形狀是(

)A.直角三角形

B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是

,

.

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)二、向量在物理中的應(yīng)用1.物理學(xué)中的許多量,如力、速度、加速度、位移都是向量.2.物理學(xué)中的力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加減法.3.利用向量方法解決物理問(wèn)題的基本步驟:(1)問(wèn)題轉(zhuǎn)化,即把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題;(2)建立模型,即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型;(3)求解參數(shù),即求向量的模、夾角、數(shù)量積等;(4)回答問(wèn)題,即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問(wèn)題.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)(1)已知三個(gè)力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn),為使物體保持平衡,現(xiàn)加上一個(gè)力F4,則F4等于(

)A.(-1,-2)

B.(1,-2)

C.(-1,2)

D.(1,2)(2)已知速度v1,v2的大小分別為|v1|=10m/s,|v2|=12m/s,且v1與v2的夾角為60°,則v1與v2的合速度v的大小是(

)A.2m/s B.10m/sC.12m/s D.2m/s激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥解析:(1)由已知F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2).(2)∵|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1·v2+|v2|2=100+2×10×12cos

60°+144=364,∴|v|=2(m/s).答案:(1)D

(2)D探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)向量在平面幾何中的應(yīng)用角度1

平行或共線問(wèn)題探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

證明A,B,C三點(diǎn)共線的步驟(1)證明其中兩點(diǎn)組成的向量與另外兩點(diǎn)組成的向量共線.(2)說(shuō)明兩向量有公共點(diǎn).(3)下結(jié)論,即A,B,C三點(diǎn)共線.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1如圖,已知AD,BE,CF是△ABC的三條高,且交于點(diǎn)O,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求證:HG∥EF.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)角度2

垂直問(wèn)題例2如圖,在正方形ABCD中,P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn),四邊形PECF是矩形,用向量證明:PA⊥EF.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(方法二)以D為原點(diǎn),DC,DA所在直線分別為x軸、y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,由于P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn),設(shè)DP=λDB=λa(0<λ<1),則A(0,a),P(λa,λa),E(a,λa),F(λa,0),探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

向量法證明平面幾何中AB⊥CD的方法

探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2如圖所示,在正方形ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),求證:AF⊥DE.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)角度3

長(zhǎng)度問(wèn)題例3如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AD=1,AB=2,對(duì)角線BD=2,求對(duì)角線AC的長(zhǎng).分析本題是求線段長(zhǎng)度的問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為求向量的模來(lái)解決.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3已知△ABC,∠BAC=60°,AB=2,AC=3,則BC的長(zhǎng)為(

)答案:B探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)角度4

夾角問(wèn)題例4已知矩形ABCD,AB=,AD=1,E為DC上靠近D的三等分點(diǎn),求∠EAC的大小.分析可建立平面直角坐標(biāo)系,通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算運(yùn)用夾角公式求解.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

平面幾何中夾角問(wèn)題的求解策略利用平面向量解決幾何中的夾角問(wèn)題時(shí),本質(zhì)是將平面圖形中的角視為兩個(gè)向量的夾角,借助夾角公式進(jìn)行求解,這類問(wèn)題也有兩種方向,一是利用基底法,二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.在求解過(guò)程中,務(wù)必注意向量的方向.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究

本例中,條件不變,試問(wèn):在BC上是否存在點(diǎn)M,使得∠EAM=45°?若存在,求出點(diǎn)M的位置;若不存在,說(shuō)明理由.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)向量在物理中的應(yīng)用角度1

用向量解決力學(xué)問(wèn)題例5如圖所示,在細(xì)繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體,繩子與鉛垂方向的夾角為θ,繩子所受到的拉力為F1.(1)求|F1|,|F2|隨θ角的變化而變化的情況;(2)當(dāng)|F1|≤2|G|時(shí),求θ角的取值范圍.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

力的合成與分解的向量解法運(yùn)用向量解決力的合成與分解時(shí),實(shí)質(zhì)就是向量的線性運(yùn)算,因此可借助向量運(yùn)算的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行求解.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練4一個(gè)物體受到平面上的三個(gè)力F1,F2,F3的作用處于平衡狀態(tài),已知F1,F2成60°角,且|F1|=3N,|F2|=4N,則F1與F3夾角的余弦值是

.

探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)角度2

用向量解決速度問(wèn)題例6在風(fēng)速為km/h的西風(fēng)中,飛機(jī)以150km/h的航速向西北方向飛行,求沒(méi)有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速和航向.分析解本題首先根據(jù)題意作圖,再把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的有關(guān)運(yùn)算求解.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

速度問(wèn)題的向量解法運(yùn)用向量解決物理中的速度問(wèn)題時(shí),一般涉及速度的合成與分解,因此應(yīng)充分利用三角形法則與平行四邊形法則將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的向量問(wèn)題,正確地作出圖形解決問(wèn)題.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練5一船以8km/h的速度向東航行,船上的人測(cè)得風(fēng)自北方來(lái);若船速加倍,則測(cè)得風(fēng)自東北方向來(lái),求風(fēng)速的大小及方向.解:分別取正東、正北方向上的單位向量i,j為基底,設(shè)風(fēng)速為xi+yj.依題意第一次船速為8i,第二次船速為16i.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)物理學(xué)中力的向量解法典例(1)一物體在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下從點(diǎn)A(1,1)移動(dòng)到點(diǎn)B(0,5).在這個(gè)過(guò)程中三個(gè)力的合力所做的功等于

.

(2)設(shè)作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力F1,F2,F3處于平衡狀態(tài),若|F1|=1,|F2|=2,且F1與F2的夾角為

π,如圖所示.①求F3的大小;②求F2與F3的夾角.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(1)解析:因?yàn)镕1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1),所以合力F=F1+F2+F3=(8,-8),=(-1,4),則F·=-1×8-8×4=-40,即三個(gè)力的合力所做的功為-40.答案:-40探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛向量在物理中的應(yīng)用(1)求力向量,速度向量常用的方法:一般是向量幾何化,借助于向量求和的平行四邊形法則求解.(2)用向量方法解決物理問(wèn)題的步驟:①把物理問(wèn)題中的相關(guān)量用向量表示;②轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題的模型,通過(guò)向量運(yùn)算使問(wèn)題解決;③結(jié)果還原為物理問(wèn)題.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:D探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:(-3,1)或(-1,-3)探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)3.如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足為E,則ED=

.

探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解析