線性代數(shù)矩陣及其運(yùn)算

（優(yōu)選）線性代數(shù)矩陣及其運(yùn)算當(dāng)前第1頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)某班級同學(xué)早餐情況這個(gè)數(shù)表反映了學(xué)生的早餐情況.姓名饅頭包子雞蛋稀飯周星馳4221張曼玉0000陳水扁4986為了方便，常用下面右邊的數(shù)表表示§2.1矩陣的概念2.1.1矩陣的引入當(dāng)前第2頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)1.定義2.1由m×n個(gè)aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的數(shù)表稱m行n列矩陣，簡稱m×n矩陣。記作2.1.2矩陣的定義當(dāng)前第3頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)2.說明:矩陣與行列式不同

形式不同矩陣的行列數(shù)可不同，但行列式必須行列數(shù)同.內(nèi)容不同矩陣是一個(gè)數(shù)表，但行列式必是一個(gè)數(shù).

3.實(shí)矩陣、復(fù)矩陣當(dāng)前第4頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)5.矩陣相等充要條件是:4.同型矩陣兩矩陣的行列數(shù)分別相等稱它們是同型矩陣當(dāng)前第5頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)2.1.2一些特殊矩陣1.方陣若A為n行n列的矩陣，稱A為n階方陣。2.

行矩陣、列矩陣行矩陣只有一行的矩陣。列矩陣只有一列的矩矩陣3.零矩陣、單位矩陣當(dāng)前第6頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)n階單位矩陣當(dāng)前第7頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)4.對角矩陣與數(shù)量矩陣5.上（下）三角形矩陣當(dāng)前第8頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)§2.2矩陣的運(yùn)算2.2.1.矩陣的加法與數(shù)乘:

注：矩陣的加法只能在兩個(gè)同型矩陣之間進(jìn)行；兩個(gè)矩陣相加時(shí)，對應(yīng)元素進(jìn)行相加。1.矩陣的加法（定義2.2）:

A=(aij)

、B=(bij)當(dāng)前第9頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)2.矩陣的數(shù)乘定義2.3

數(shù)λ與矩陣Ａ的乘積記為λA或Aλ，并規(guī)定：負(fù)矩陣:

A=(

aij)

減法：Ａ

B=Ａ+(

B)當(dāng)前第10頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)3.矩陣線性運(yùn)算律：

(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+(A)=O(4)1A=A(5)(kl)A=k(lA)(6)(k+l)A=kA+lA(7)k(A+B)=kA+kB

當(dāng)前第11頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)例1．若X滿足其中求X.解X=當(dāng)前第12頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)

2.2.2.矩陣的乘法：1.矩陣的乘法定義（定義2.5）設(shè)矩陣A為m×s

階矩陣、矩陣B為s×n

階矩陣，A=(aij)

m×s

、B=(bij)

s×n，則矩陣A與B的乘積為一m×n

階矩陣C=(cij)

m×n，記C=AB，且當(dāng)前第13頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)就是說，矩陣C的第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行的所有元素與矩陣B的第j列的對應(yīng)元素的乘積之和。當(dāng)前第14頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)例2計(jì)算

當(dāng)前第15頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)例3.非齊次線性方程組的矩陣表示記則非齊次線性方程組可簡記為當(dāng)前第16頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)關(guān)于矩陣乘法的注意事項(xiàng)：（1）矩陣A

與矩陣B

做乘法必須是左矩陣的列數(shù)與右

矩陣的行數(shù)相等；（2）矩陣的乘法中，必須注意矩陣相乘的順序，AB是A左乘B的乘積，BA是A右乘B的乘積；2.矩陣乘法與加法滿足的運(yùn)算規(guī)律當(dāng)前第17頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)（3）AB與BA不一定同時(shí)會有意義；即是有意義，也

不一定相等；（4）AB=O不一定有A=O或B=O；

A(XY)=O且A≠O也不可能一定有X=Y例4當(dāng)前第18頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)定理2.1

若矩陣A的第i行是零行，則乘積AB的第i行也是零；若矩陣B的第j行是零列，則乘積AB的第j列也是零。若A(或B)是零矩陣，則乘積AB也是零矩陣。例5設(shè)求AB與BA解當(dāng)前第19頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)只有方陣，它的乘冪才有意義。由于矩陣的乘法滿足結(jié)合律，而不滿足交換律，因而有下面的式子：

(1)AnAm=An+m(2)(An)m=Anm

(3)(AB)k≠AkBk3.矩陣的乘冪：設(shè)A是n階方陣，定義：當(dāng)前第20頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)例6

解

當(dāng)前第21頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)4.方陣A的n次多項(xiàng)式當(dāng)前第22頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)5.矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.6A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT，是將A的行列互換后所得矩陣如果A是一個(gè)m×n階矩陣，AT是一個(gè)n×m階矩陣。矩陣的轉(zhuǎn)置的性質(zhì)當(dāng)前第23頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)證明（1）、（2）、（3）易證，下證明(4).設(shè)矩陣A為m×s階矩陣，矩陣B為s×n階矩陣，那么：(AB)T與BTAT是同型矩陣；又設(shè)C=AB，因?yàn)镃T的第i行第j列的元素正好是C的cji

，即cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs而b1i，b2i，…，bsi正好是BT的第i行，aj1,aj2,…,ajs正好是AT的第j列，因此cji是BTAT的第i行第j列的元素。故

(AB)T=ATBT當(dāng)前第24頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)6.對稱矩陣與反對稱矩陣設(shè)A為n階方陣，若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，稱矩陣A為對稱矩陣；若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，稱矩陣A為反對稱矩陣。如右邊的矩陣A為對稱矩陣當(dāng)前第25頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)7.方陣的行列式（1）方陣A的行列式，記為|A|或detA。注意：行列式與方陣是兩個(gè)不同的概念，且它們的記號也是不同的。（2）方陣的行列式滿足以下運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A、B為n階方陣，λ為實(shí)數(shù))當(dāng)前第26頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)1)伴隨矩陣：設(shè)A=(aij)n×n，矩陣A中元素aij的代數(shù)余子式Aij構(gòu)成的如下矩陣8、再講幾類特殊的矩陣稱矩陣A的伴隨矩陣，記為A＊當(dāng)前第27頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)矩陣運(yùn)算舉例當(dāng)前第28頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第29頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第30頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第31頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第32頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)

設(shè)對于n階方陣A，若存在n階方陣B使得

AB=BA=E恒成立，則稱矩陣A可逆或滿秩矩陣,或非奇異矩陣；B稱為A的逆矩陣，記為A－1=B

。1）.若矩陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的。證明：設(shè)A有兩個(gè)逆矩陣B1、B2，則

B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B21、可逆矩陣的定義（定義2.8）2、可逆矩陣的唯一性、存在性及性質(zhì)§2.3逆矩陣當(dāng)前第33頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)證明：充分性由行列式的代數(shù)余子式的性質(zhì)及矩陣乘法的定義有：AA*=A*A=|A|E，又|A|≠02）.定理2.2A可逆的充要條件是|A|≠0，且A可逆時(shí)有當(dāng)前第34頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)3）.對于n階方陣A、B若有AB=E則：A、B均可逆，且它們互為可逆矩陣。證明：∵AB=E∴|A||B|=1

故

|A|≠0且|B|≠0，A、B均可逆，又BA=BABB－1=BB－1=E,故

A－1=B

必要性證明：∵A可逆∴AA－1=A－1

A=E故|A||A－1|=1，即|A|≠0

，A可逆，同時(shí)還有奇異矩陣與非奇異矩陣：若n方陣Ａ的行列式|A|≠0，稱矩陣A為非奇異矩陣，否則矩陣A稱為奇異矩陣。當(dāng)前第35頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)4）.逆矩陣的性質(zhì)

如果A、B均可逆，那么AT與AB都可逆，且

(A－1)－1＝A(AT)－1＝(A－1)T(AB)－1＝B－1A－1

(kB)－1＝k－1A－1(k為非零）

|A－1|=|A|－1

證明：∵A、B均可逆∴AA－1=A－1A＝E

故(AA－1)T=(A－1)TAT＝ET=E∴(AT)－1=(A－1)T

同理(AB)(B－1A－1)＝(B－1A－1)(AB)＝E

∴(AＢ)－1=Ｂ－1A－1當(dāng)前第36頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)有關(guān)逆矩陣?yán)}當(dāng)前第37頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第38頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第39頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第40頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第41頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第42頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)

本節(jié)來介紹一個(gè)在處理高階矩陣時(shí)常用的方法，即矩陣的分塊。將矩陣A用若干條橫線與若干條縱線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為矩陣A的子塊。以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。特別在運(yùn)算中，把這些小矩陣當(dāng)做一個(gè)數(shù)來處理?！?.4分塊矩陣當(dāng)前第43頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第44頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)即Aij與Bij有相同的列數(shù)與行數(shù)，則：A與B的和就是以Aij與Bij為元素的形式矩陣相加。2.4.1分塊矩陣的加法：設(shè)矩陣A,矩陣B為：當(dāng)前第45頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)2.4.2分塊矩陣的乘法：設(shè)矩陣Am×n、Bn×p且矩陣A列的分法與矩陣B的行的分法相同。當(dāng)前第46頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第47頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)2.4.3分塊矩陣的轉(zhuǎn)置當(dāng)前第48頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)

它的特點(diǎn)是不在主對角線上的子塊全為零矩陣，而在主對角線上的矩陣均為不全為零的方陣，則稱A為準(zhǔn)對角矩陣（或?qū)菈K矩陣）。

對于準(zhǔn)對角矩陣，有以下運(yùn)算性質(zhì)：若A與B是具有相同分塊的準(zhǔn)對角矩陣，且設(shè)2.4.4準(zhǔn)對角矩陣

若矩陣A的分塊矩陣具有以下形式當(dāng)前第49頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)則：當(dāng)前第50頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)?若準(zhǔn)對角矩陣A的主對角線上的每一個(gè)方陣均可逆，則矩陣A也可逆，且?當(dāng)前第51頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)2.4.5矩陣分塊的應(yīng)用當(dāng)前第52頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第53頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第54頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第55頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)2.4.6矩陣按列分塊1.矩陣按列分塊當(dāng)前第56頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)2.線性方程組的系數(shù)矩陣按列分塊后線性方程組的等價(jià)形式當(dāng)前第57頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)如果把系數(shù)矩陣A按列分成n塊，則線性方程組可記作當(dāng)前第58頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)§2.5初等變換與初等矩陣矩陣的初等變換(Elementaryoperation)1

初等變換定義定下面的三種變換稱為矩陣的初等變換

：(i).

對調(diào)兩行(ii).以非0數(shù)乘以某一行的所有元素；(iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行對應(yīng)的元素上去

把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義。矩陣的初等行變換和初等列變換，統(tǒng)稱為初等變換。顯然，每一種初等變換都是可逆的，并且其逆變換也是同一種初等變換。

當(dāng)前第59頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)例18設(shè)（1）用行初等變換把A化為階梯形，進(jìn)一步化為行標(biāo)準(zhǔn)形（2）再用列初等變換把A化為標(biāo)準(zhǔn)形解（1）當(dāng)前第60頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)（行階梯形）當(dāng)前第61頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第62頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第63頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)2行階梯形矩陣定義2.11一個(gè)矩陣稱為行階梯形矩陣，如果從第一行起，每行第一個(gè)非零元素前面零的個(gè)數(shù)逐行增加，一旦出現(xiàn)零行，則后面各行（如果有的話）都是零行

如下面的階梯形矩陣當(dāng)前第64頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)行標(biāo)準(zhǔn)型下面形式的矩陣稱為行標(biāo)準(zhǔn)型下面形式的矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)型當(dāng)前第65頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)3.定理2.3設(shè)A是一個(gè)m行n列矩陣，通過行初等變換可以把A化為如下行標(biāo)準(zhǔn)型當(dāng)前第66頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)

4

定理矩陣A可經(jīng)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形:當(dāng)前第67頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)

（1）.已知分別將A的第一、二行互換和將A的第一列的2倍加到第二列，求出相應(yīng)的初等矩陣,并用矩陣乘法將這兩種變換表示出來。當(dāng)前第68頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)解交換A的第一、二行，可用二階初等矩陣

左乘A：當(dāng)前第69頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)將A的第一列的2倍加到第二列，即用三階初等矩陣右乘A：

當(dāng)前第70頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)2.5.2初等矩陣1.初等矩陣的定義（定義2.12）由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。對應(yīng)于三種行初等變換，可以得到三種行初等矩陣。人們從大量的實(shí)際計(jì)算中發(fā)現(xiàn)：對經(jīng)過一次初等變換等同于對矩陣左乘或右乘一個(gè)適當(dāng)?shù)木仃嚕司仃嚲褪窍旅娴乃^初等矩陣。當(dāng)前第71頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)對于n階單位矩陣I，交換E的第

行，得到的初等矩陣記作：

當(dāng)前第72頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)(2)用非零數(shù)k乘以I的第

行，得到的初等矩陣記作

:當(dāng)前第73頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)(3)將I的第

行的

倍加到第

行，得到的初等矩陣記作：當(dāng)前第74頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)(4)同樣用列初等變換可以得到相應(yīng)的的初等矩陣2.初等矩陣之間的關(guān)系當(dāng)前第75頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)3.可以直接驗(yàn)證，初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為初等矩陣；4.初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系；1）.先看下面的例題當(dāng)前第76頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)1）行初等矩陣左乘矩陣（3）.列初等矩陣右乘矩陣當(dāng)前第77頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)2）.結(jié)論定理2.4A為矩陣,對A進(jìn)行初等行變換等同于用相應(yīng)的行初等矩陣左乘A，對A進(jìn)列變換等同于用相應(yīng)的列初等矩陣右乘A。

5.矩陣等價(jià)定義2.13若矩陣A經(jīng)過行（列）初等變換可化為B則稱A與B行（列）等價(jià)。若矩陣A經(jīng)過初等變換可化為B則稱A與B等價(jià)當(dāng)前第78頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)6.初等矩陣可逆性初等矩陣是可逆的，且有當(dāng)前第79頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)7.結(jié)論定理2.6可逆矩陣A可表示為有限個(gè)初等矩陣的積，進(jìn)一步可以表示為有限個(gè)行初等矩陣的積；也可以表示為有限個(gè)列初等矩陣的積。證明：因?yàn)槿我饩仃嘇，有行、列初等矩陣使得當(dāng)前第80頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)因A可逆，所以A的標(biāo)準(zhǔn)形中不可能有零行，從而r=n,即有于是有當(dāng)前第81頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)證畢初等矩陣的逆還是初等矩陣，故A初等矩陣的積。又行初等矩陣與列初等矩陣可以互換，故A可以是行初等矩陣的積或列初等矩陣的積。當(dāng)前第82頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)定理2.5矩陣A與B等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆的P與Q，使得PAQ=B.特別地，矩陣A等價(jià)于A的標(biāo)準(zhǔn)形。證明：初等矩陣的積是可逆；任何矩陣一定可以經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形；可逆矩陣一定可以表成有限初等矩陣的積當(dāng)前第83頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)8.

可逆矩陣的逆的求法A可逆,則有行初等行矩陣使得則有記當(dāng)前第84頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)則有行初等矩陣使得上面的推導(dǎo)，提供了一種新的求矩陣的簡單方法，舉例如下：當(dāng)前第85頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)例4求A的逆矩陣當(dāng)前第86頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)例5求A的逆矩陣解當(dāng)前第87頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)§2.6矩陣的秩2.6.1矩陣的秩的概念(Rankofamatrix)1.定義在mn矩陣A中，任取k行k列（km，kn），位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。2.定義2.14

如果矩陣A有一個(gè)不等于零的r階子式D，并且所有的r+1階子式（如果有的話）全為零，則稱D為矩陣A的最高階非零子式，稱r為矩陣A的秩，記為R(A)=r，并規(guī)定零矩陣的秩等于零。當(dāng)前第88頁\共有98頁\編于星期二\12點(diǎn)4.由矩陣的秩的定義易得：（1）矩陣A的秩既不超過行數(shù)也不超過列數(shù)（2）矩陣A的秩等于矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣的秩。不為零的常數(shù)k與矩陣A的積的秩等于矩陣A的秩。（3）n階矩陣A的秩