初中數(shù)學(xué)-專題復(fù)習(xí)最短路徑的探索教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

《最短路徑的探索》教學(xué)設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情景相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬問(wèn)題”．你能用所學(xué)的知識(shí)解決這個(gè)問(wèn)題嗎？BBAl【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生思考教師展示問(wèn)題，并觀察圖片，獲得感性認(rèn)識(shí).【設(shè)計(jì)意圖】從生活中問(wèn)題出發(fā)，喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及探索欲望.（二）知識(shí)回顧1.如圖所示：從A地到B地有三條路可供選擇，選擇哪條路距離最短？你的理由是什么？2.你能說(shuō)出軸對(duì)稱的性質(zhì)嗎？3.勾股定理?！緦W(xué)生活動(dòng)】在教師的引導(dǎo)下回顧舊知識(shí)?！驹O(shè)計(jì)意圖】為本節(jié)課的學(xué)習(xí)掃清知識(shí)障礙。（三）模型建構(gòu)1.如圖，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)一個(gè)很簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，服務(wù)與生活，曾慶學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。2.你能解決“將軍飲馬問(wèn)題”嗎？活動(dòng)1：觀察思考，抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．BB。。Al活動(dòng)2：你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生嘗試回答，并互相補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)：（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；（3）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)P為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在l的什么位置時(shí)，PA+PB最??？BB。。Al強(qiáng)調(diào)：將最短路徑問(wèn)題抽象為“線段和最小問(wèn)題”【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、敘述、畫(huà)圖等過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生把生活問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力?；顒?dòng)3：嘗試解決數(shù)學(xué)問(wèn)題你能利用軸對(duì)稱的知識(shí)解決這個(gè)問(wèn)題嗎？【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，畫(huà)圖分析，并嘗試回答，互相補(bǔ)充。教師適當(dāng)提示。作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)P。則點(diǎn)P即為所求．如圖所示：llCAB【學(xué)生活動(dòng)】在教師的引導(dǎo)下，積極思考，同伴交流，嘗試解決實(shí)際問(wèn)題?！驹O(shè)計(jì)意圖】學(xué)以致用，利用軸對(duì)稱知識(shí)解決問(wèn)題，及時(shí)進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法規(guī)律的提煉總結(jié)。3.模型分析已知直線l和A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在l的什么位置時(shí)，PA+PB最??？（1）A、B兩點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)： ll·AB·（2）A、B兩點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)：BB·lA·【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生梳理總結(jié)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)從復(fù)雜問(wèn)題中找出基本圖形的能力。（四）模型應(yīng)用典型例題（一）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．【設(shè)計(jì)意圖】（1）幫助學(xué)生靈活的從復(fù)雜的圖形中抽出基本模型（2）引導(dǎo)學(xué)生找出模型中已知直線L和A、B兩點(diǎn)，提高學(xué)生分析題目的能力，提升思維的層次。題組（一）1.如圖1,在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),AE⊥BC，點(diǎn)P是AE上任一點(diǎn),則PC+PD的最小值為。2.如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，DN＋MN的最小值為。ABCABC·DE圖1圖2典型例題（二）如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為_(kāi)_______cm．【學(xué)生活動(dòng)】（1）將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形。（2）在教師的引導(dǎo)下從問(wèn)題的情境中逐步得出問(wèn)題的本質(zhì)：點(diǎn)A，C在直線L的同側(cè)，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在l的什么位置時(shí)，PA+PB最??？（3）綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)模型和勾股定理解決問(wèn)題?！驹O(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，利用“最短路徑”數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題。訓(xùn)練學(xué)生的思維，提高分析問(wèn)題的能力，培養(yǎng)模型思想。題組（二）1.如圖，在棱長(zhǎng)為1的立方體的右下角A處有一只螞蟻，欲從立方體的側(cè)面爬行去吃右上角B處的食物，問(wèn)怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？2.如圖,圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為4,一只螞蟻要從底面圓周上一點(diǎn)B出發(fā),沿圓錐側(cè)面爬行一周再回到點(diǎn)B,問(wèn)它爬行的最短路線是多少?BABAABC（五）反思小結(jié)本節(jié)課我學(xué)會(huì)了……【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)思想方面進(jìn)行歸納總結(jié)：1、解決上述問(wèn)題運(yùn)用了什么知識(shí)？（知識(shí)）2、在解決問(wèn)題的過(guò)程中運(yùn)用了什么方法？（方法）3、運(yùn)用上述方法的目的是什么？體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？（數(shù)學(xué)思想）（六）拓展提升如圖，在長(zhǎng)為5、寬為3、高為4的長(zhǎng)方體的右下角A處有一只螞蟻，欲從長(zhǎng)方體的外表面爬行去吃右上角B處的食物，問(wèn)怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？5543AB【設(shè)計(jì)意圖】思維變式訓(xùn)練，提升學(xué)生的思維層次，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)提問(wèn)。（新城中學(xué)劉金鳳）《最短路徑的探索》學(xué)情分析對(duì)于九年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，已學(xué)過(guò)一些關(guān)于空間與圖形的簡(jiǎn)單推理知識(shí)，具備了一定的合情推理能力，能應(yīng)用勾股定理、線段公理、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但演繹推理的意識(shí)和能力還有待加強(qiáng)，思維缺乏靈活性．最短路徑問(wèn)題，學(xué)生在八年級(jí)已經(jīng)有所接觸。對(duì)于直線異側(cè)的兩點(diǎn)，怎樣在直線上找到一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到這兩點(diǎn)的距離之和最小，學(xué)生很容易想到連接這兩點(diǎn)，所連線段與直線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn).但對(duì)于直線同側(cè)的兩點(diǎn)，如何在直線上找到一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到這兩點(diǎn)的距離之和最小，受已有經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)的影響，部分學(xué)生在八年級(jí)學(xué)習(xí)時(shí)很茫然，找不到解決問(wèn)題的思路。進(jìn)入中考復(fù)習(xí)階段，隨著一些以三角形、四邊形、圓、函數(shù)、立體圖形為背景的最短路徑問(wèn)題的出現(xiàn)，更是讓學(xué)生感到陌生，無(wú)從下手。從平時(shí)教學(xué)反映出學(xué)生不重視學(xué)習(xí)方法，不注意歸納總結(jié)，不會(huì)思考，更不善于思考，學(xué)生學(xué)得累。所以想通過(guò)本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)思考，從而使其感受到學(xué)習(xí)的快樂(lè)，提高學(xué)習(xí)的興趣，避免死做題，以達(dá)到提高學(xué)習(xí)能力的目的．（新城中學(xué)劉金鳳）《最短路徑的探索》效果分析本節(jié)課的活動(dòng)設(shè)計(jì)與評(píng)測(cè)練習(xí)有利于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，很好的突出了重點(diǎn)，突破了難點(diǎn)。具體做法如下：1.學(xué)生能夠把“將軍飲馬”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)、線”問(wèn)題，并利用軸對(duì)稱的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”的問(wèn)題。2.能夠抽象出“最短路徑問(wèn)題”數(shù)學(xué)模型，在探索最算路徑的過(guò)程中，體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想.3、能從一些以三角形、四邊形、函數(shù)、立體圖形為背景的復(fù)雜題目中抽象出“最短路徑”問(wèn)題的基本數(shù)學(xué)模型。（新城中學(xué)劉金鳳）《最短路徑的探索》教材分析本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了基本事實(shí)：“兩點(diǎn)之間線段最短”和軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探究如何綜合運(yùn)用知識(shí)解決最短路徑問(wèn)題。它既是軸對(duì)稱、勾股定理知識(shí)運(yùn)用的延續(xù)，又能培養(yǎng)學(xué)生自主探究，學(xué)會(huì)思考，在知識(shí)與能力轉(zhuǎn)化上起到橋梁作用．對(duì)于本節(jié)課的內(nèi)容，青島版教材沒(méi)有獨(dú)立編排，只是隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷推進(jìn)，逐步添加了部分題目來(lái)逐步滲透，這也使大部分學(xué)生忽視了這一知識(shí)點(diǎn)。設(shè)計(jì)整合了一些以三角形、四邊形、圓、函數(shù)、立體圖形為背景的最短路徑問(wèn)題，讓學(xué)生直面數(shù)學(xué)模型，體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，有利于學(xué)生系統(tǒng)的學(xué)習(xí)知識(shí)。學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能夠利用基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”和“軸對(duì)稱的性質(zhì)”，從復(fù)雜的圖形中抽象出“最短路徑”問(wèn)題的基本數(shù)學(xué)模型，體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用。2.能將立體圖形中的“最短路徑問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為平面圖形來(lái)解決，感悟轉(zhuǎn)化思想.教學(xué)重點(diǎn)：通過(guò)利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題，學(xué)會(huì)從知識(shí)內(nèi)容中提煉出數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法。教學(xué)難點(diǎn)：從復(fù)雜的圖形中抽象出“最短路徑”問(wèn)題的基本數(shù)學(xué)模型。突破難點(diǎn)的方法：對(duì)應(yīng)模型,找出本質(zhì)問(wèn)題。突出重點(diǎn)的方法：通過(guò)設(shè)置問(wèn)題、引導(dǎo)思考、探究討論、例題講解方式突出重點(diǎn)。突破難點(diǎn)的方法：勾股定理、線段公理和軸對(duì)稱性質(zhì)的靈活運(yùn)用和提升是個(gè)難點(diǎn)，加上指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考還在培養(yǎng)之中，僅靠學(xué)生是不能完成的，所以在教學(xué)中要充分運(yùn)用多媒體教學(xué)手段，通過(guò)啟發(fā)引導(dǎo)，小組討論，例題講解，變式提升、歸納總結(jié)來(lái)幫助學(xué)生理解知識(shí)的應(yīng)用和方法的提升，層層深入，逐一突破難點(diǎn)。（新城中學(xué)劉金鳳）《最短路徑問(wèn)題》評(píng)測(cè)練習(xí)題組一（平面圖形）1.如圖1,在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),AE⊥BC，點(diǎn)P是AE上任一點(diǎn),則PC+PD的最小值為。2.如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，DN＋MN的最小值為。ABCABC·DE圖1圖2題組二（側(cè)面展開(kāi)圖）1.如圖，在棱長(zhǎng)為1的立方體的右下角A處有一只螞蟻，欲從立方體的側(cè)面爬行去吃右上角B處的食物，問(wèn)怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？BBA2如圖,圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為4,一只螞蟻要從底面圓周上一點(diǎn)B出發(fā),沿圓錐側(cè)面爬行一周再回到點(diǎn)B,問(wèn)它爬行的最短路線是多少?AABC題組三（表面展開(kāi)圖）1.如圖，在長(zhǎng)為5、寬為3、高為4的長(zhǎng)方體的右下角A處有一只螞蟻，欲從長(zhǎng)方體的外表面爬行去吃右上角B處的食物，問(wèn)怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？5543AB題組四（備用題組）1.如圖1，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PD的最小值為。2.如圖2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4cm，AB=5cm，BC=6cm，點(diǎn)P是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PD的和最小時(shí)，PB的長(zhǎng)為．圖1圖24.如圖，在底面半徑為1、高為2的圓柱體的左下角A處有一只螞蟻，欲從圓柱體的側(cè)面爬行去吃右上角B處的食物，問(wèn)怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？AAB（變式）如圖，在底面半徑為1、高為2的圓柱體的左下角A處有一只螞蟻，欲爬行去吃右上角B處的食物，問(wèn)怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？（新城中學(xué)劉金鳳）《最短路徑的探索》課后反思本節(jié)課我用數(shù)學(xué)故事“將軍飲馬”引入課題，引導(dǎo)學(xué)生“兩點(diǎn)之間線段最短”和軸對(duì)稱的性質(zhì)逐步從生活問(wèn)題中抽象概括出“最短路徑問(wèn)題”數(shù)學(xué)模型。讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的線段和最小問(wèn)題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題。在建構(gòu)模型的過(guò)程中，我注重學(xué)生學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)方法的而培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透；在抽象出數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析模型，增強(qiáng)了學(xué)生的模型思想；接下來(lái)通過(guò)兩個(gè)典型例題及兩個(gè)對(duì)應(yīng)題組的聯(lián)系，更是有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，增強(qiáng)了學(xué)生從復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)基本圖形的能力?？傊竟?jié)課的教學(xué)注重模型歸類，多題一模，訓(xùn)練學(xué)生歸納能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。在本節(jié)課的教學(xué)中，我設(shè)計(jì)整合了一些以三角形、四邊形、函數(shù)、立體圖形為背景的最短路徑問(wèn)題，有利于學(xué)生知識(shí)的整體建構(gòu)，大大提高了復(fù)習(xí)效率。在設(shè)計(jì)題組時(shí)，專門設(shè)計(jì)了備用題組，充分考慮到不同層次學(xué)生的需要，既讓學(xué)有余力的學(xué)生得到充分的發(fā)展，又給解題慢的學(xué)生留下了充足的思考空間。在本節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下認(rèn)真傾聽(tīng)、積極思考、同伴互助，很好的完成了本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。（新城中學(xué)劉金鳳）《最短路徑的探索》課標(biāo)分析模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。”隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，極大地推進(jìn)了應(yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)應(yīng)用的發(fā)展，使得數(shù)學(xué)幾乎滲透到每一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域及人們生活的方方面面。為了適應(yīng)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要和培養(yǎng)高質(zhì)量、高層次科技人才，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)在大學(xué)教育中逐步開(kāi)展，國(guó)內(nèi)外越來(lái)越多的大學(xué)正在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)和參加開(kāi)放性的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，將數(shù)學(xué)建模教學(xué)和競(jìng)賽作為高等院校的教學(xué)改革和培養(yǎng)高層次的科技人才的個(gè)重要方面，數(shù)學(xué)建模難度大、涉及面廣，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)本身是一個(gè)不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過(guò)程。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)從生產(chǎn)、生活等實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，去解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)與能力。因此，數(shù)學(xué)建模是初中數(shù)學(xué)的重要任