高中數(shù)學(xué)-2.3.1平面向量基本定理 2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

課標(biāo)分析：發(fā)揮數(shù)學(xué)課程的育人功能，促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)的整體提高．建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為“學(xué)習(xí)是一種積極主動的建構(gòu)過程，學(xué)習(xí)者并不是把知識從外界搬到記憶中，而是以已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，通過與外界的相互作用來建構(gòu)新的理解”．如果學(xué)生能夠通過自主學(xué)習(xí)或者合作學(xué)習(xí)獲得的知識，教師決不包辦代替、以自己教的過程代替學(xué)生學(xué)的過程；對于學(xué)生深入學(xué)習(xí)有困難的內(nèi)容，教師可以創(chuàng)設(shè)情境，搭建平臺，讓學(xué)生試著學(xué)或者通過小組討論，用集體的智慧攻克難關(guān)；對于更難的內(nèi)容，教師可以與學(xué)生共同完成，盡管如此，也要建立在學(xué)生先前經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，以減少學(xué)習(xí)的難度。學(xué)情分析：前面學(xué)生已經(jīng)掌握了平面向量的線性運(yùn)算,本節(jié)課的目的是要幫助學(xué)生建立向量的坐標(biāo).這中間實際上有兩個問題,先是運(yùn)用已有的知識去研究一個問題(向量的基本定理),然后以這個定理為基礎(chǔ)建立一個新的研究體系(建立平面向量的坐標(biāo))本節(jié)的內(nèi)容是圍繞向量在兩個基底上的唯一分解展開的，對于基底的認(rèn)識和理解是學(xué)生在學(xué)習(xí)中已在運(yùn)用的,在物理中已有了將力、速度（向量）進(jìn)行分解合成的經(jīng)驗，在前面的向量學(xué)習(xí)中已有向量線性運(yùn)算的經(jīng)驗，只是沒有專門提出而已,所以引入基底這一概念應(yīng)該是比較自然的，但相當(dāng)一部分學(xué)生在學(xué)習(xí)中只是依樣畫葫蘆，并不清楚引入基底這個概念的意義，當(dāng)然更不能很好地選擇、運(yùn)用基底進(jìn)行運(yùn)算求解,有了平面向量基本定理教師可以運(yùn)用定理說理，讓學(xué)生理解基底的作用及意義.所以在這一點(diǎn)上教師應(yīng)注意在教學(xué)中進(jìn)行設(shè)計引導(dǎo).評測練習(xí)：A組1.設(shè)是平行四邊形兩對角線與的交點(diǎn)，下列向量組，其中可作為這個平行四邊形所在平面表示所有向量的基底的是（）①與②與③與④與A.①②B.③④C.①③D.①④2.已知向量、不共線，實數(shù)、滿足，則的值等于（）A.B.C.D.3.若、、為平面上三點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則（）A.B.C.D.4.已知是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，且＝２+，＝+３，＝２－，如果、、三點(diǎn)共線，則的值為B組1、已知是的邊上的中線，若＝，＝，則＝（）Ａ．（－）Ｂ．－（－）Ｃ．－（＋）Ｄ．（＋）已知點(diǎn)（2，2），（-2，2），（4，6），（-5，6），（-2，-2），（-5，-6），在平面直角坐標(biāo)系中，分別作出向量、、，并求出向量、、的坐標(biāo)。觀課記錄：1.本節(jié)課的亮點(diǎn)是用心設(shè)置思考題，在學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)上得到要學(xué)習(xí)的問題，水到渠成．自主探究講練結(jié)合，學(xué)生在獨(dú)立或小組討論中解決問題，很好的調(diào)動學(xué)生的積極性與主動性，提高了學(xué)生的解題能力．2.建議教師在使用本教案時靈活掌握，但必須以學(xué)生為主體，加強(qiáng)互動探究．3.本節(jié)課的弱項是如果課堂駕馭不好的化，時間上會有些緊張，學(xué)生在討論的時候思維較寬泛，注意引導(dǎo)．教材分析：2．3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示這一節(jié)內(nèi)容有4個小節(jié)內(nèi)容，2.3.1平面向量基本定理，2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示,2.2.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示.根據(jù)教師教學(xué)參考用書的要求,這四小節(jié)內(nèi)容分兩個課時完成.從教學(xué)內(nèi)容來看,前兩小節(jié)的內(nèi)容主要是坐標(biāo)向量概念的構(gòu)建,而其核心的內(nèi)容是平面向量基本定理;后兩小節(jié)的內(nèi)容以運(yùn)用概念計算計算為主.基于教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)及讓學(xué)生對平面向量基本定理能有個完整的認(rèn)識,建議將本節(jié)的前兩個小節(jié)內(nèi)容作為一個整體用一個課時進(jìn)行教學(xué).

本節(jié)內(nèi)容是平面向量章節(jié)中的承前啟后的內(nèi)容，本節(jié)內(nèi)容以前的教材是由實際問題引入向量概念，然后研究向量的線性運(yùn)算，它集中地反映了向量的幾何特征，通過本節(jié)的學(xué)習(xí)將有助于回顧前面的知識,更好地運(yùn)用自由向量來解決幾何問題;本節(jié)之后的教材主要是研究向量的代數(shù)運(yùn)算，向量的優(yōu)勢更多地體現(xiàn)在于溝通幾何與代數(shù)的聯(lián)系，進(jìn)而通過代數(shù)運(yùn)算來研究幾何和其它的問題,連接前后兩者之間的一個關(guān)節(jié)是向量基本定理,因為只有確定了任意一個向量在兩個不共線的基底上能進(jìn)行唯一分解才能建立坐標(biāo)系、進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算.所以在向量知識體系中這個定理具有核心地位，另外就學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，這一內(nèi)容也能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)化的過程，并且它充分地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，這有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)的思維方式和方法，幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和數(shù)學(xué)的說理，這在學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的發(fā)展上也是十分重要的一個環(huán)節(jié)，教學(xué)過程的落實展開除了數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)以外，還應(yīng)關(guān)心學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，讓學(xué)生充分地體會這節(jié)內(nèi)容在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很有意義.教學(xué)設(shè)計：（一）復(fù)習(xí)引入1．實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：a（1）|a|=|||a|；（2）時a與a方向相同；時a與a方向相反；時a=02．運(yùn)算定律結(jié)合律：(a)=()a；分配律：(+)a=a+a，(a+b)=a+b3.向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使b=a.問題1：向量與數(shù)量有什么聯(lián)系和區(qū)別？向量有哪幾種表示？問題2：什么叫向量的模？零向量、單位向量、平行向量分別是什么概念？GF2F1如圖，光滑斜面上一個木塊受到的重力為G，下滑力為FGF2F15.在物理中，力是一個向量，力的合成就是向量的加法運(yùn)算.力也可以分解，任何一個大小不為零的力，都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來，就會形成一個新的數(shù)學(xué)理論.【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)回顧，設(shè)置物理情境，便于學(xué)習(xí)新知．【設(shè)計說明】學(xué)生探究回答．（二）探究新知探究一：平面向量基本定理思考1：給定平面內(nèi)任意兩個向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？【設(shè)計意圖】使學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上，探索新知，引出本課題．【設(shè)計說明】教師引導(dǎo)大家回答演示．思考2：如圖，設(shè)OA，OB，OC為三條共點(diǎn)射線，P為OC上一點(diǎn)，能否在OA、OB上分別找一點(diǎn)M、N，使四邊形OMPN為平行四邊形？OOAMBCPNABCMNOAABCMNOAOBCCMN【設(shè)計意圖】從兩個角度讓學(xué)生感知體會任意向量可以在給定的方向上分解．【設(shè)計說明】教師引導(dǎo)同學(xué)回答并演示．思考4：若上述向量e1，e2，a都為定向量，且e1，e2不共線，則實數(shù)λ1，λ2是否存在？是否唯一？思考5：若向量a與e1或e2共線，a還能用λ1e1＋λ2e2表示嗎？a=a=λ1e1+0e2a1e1+0e2e1e2aa=0e1+λ2e2【設(shè)計意圖】體會感知唯一性及普遍性．【設(shè)計說明】師生互動探究，由淺入深，逐步引出主題．思考6：根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向量a都可以由這個平面內(nèi)兩個不共線的向量e1，e2表示出來，從而可形成一個定理.你能完整地描述這個定理的內(nèi)容嗎？若e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)規(guī)律與特點(diǎn)，并能做到言簡意賅．【設(shè)計說明】教師引導(dǎo)，大家各抒己見，找同學(xué)發(fā)言．思考7：上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.那么同一平面內(nèi)可以作基底的向量有多少組？不同基底對應(yīng)向量a的表示式是否相同？【設(shè)計意圖】進(jìn)一步探究幾個關(guān)鍵點(diǎn)：(1)我們把不共線向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量a在給出基底e1,e2的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.1,2是被a,e1,e2唯一確定的數(shù)量．．【設(shè)計說明】注意引導(dǎo)鼓勵大家去發(fā)現(xiàn)，大家可能探究不是很全面，可以小組討論．探究(二):平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示思考1：不共線的向量有不同的方向，對于兩個非零向量a和b，作a，b，如圖.為了反映這兩個向量的位置關(guān)系，稱∠AOB為向量a與b的夾角.你認(rèn)為向量的夾角的取值范圍應(yīng)如何約定為宜？思考2：如果向量a與b的夾角是90°，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b.互相垂直的兩個向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？思考3：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如圖，向量i、j是兩個互相垂直的單位向量，向量a與i的夾角是30°，且|a|=4，以向量i、j為基底，向量a如何表示？iiOABPjaa=i+2j【設(shè)計意圖】通過思考，逐步引導(dǎo)大家體會平面向量基本定理的應(yīng)用．在不共線的兩個向量中，垂直是一種重要的特殊情形，體會這樣給問題研究帶來的方便．【設(shè)計說明】引導(dǎo)大家自主探究．思考4：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a＝xi＋yj.我們把有序數(shù)對（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y).其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，上式叫做向量a的坐標(biāo)表示.那么x、y的幾何意義如何？xxOyjayx思考5：相等向量的坐標(biāo)必然相等，作向量a，則(x，y)，此時點(diǎn)A是坐標(biāo)是什么？【設(shè)計意圖】通過思考，體會平面內(nèi)的向量與坐標(biāo)建立一一對應(yīng)，從而實現(xiàn)向量的“量化”，使我們在使用向量工具時得以實現(xiàn)“有效能算”的思想．【設(shè)計說明】充分運(yùn)用圖形之間的幾何關(guān)系，求向量的坐標(biāo).．（三）理解新知平面向量基本定理幾個關(guān)鍵點(diǎn)：(1)我們把不共線向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量a在給出基底e1,e2的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.1,2是被a,e1,e2唯一確定的數(shù)量．平面向量坐標(biāo)表示給解決問題帶來的一些方便，幾何問題代數(shù)化，注意體會其中的思想與方法．【設(shè)計意圖】進(jìn)一步理解平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示．【設(shè)計說明】組織學(xué)生進(jìn)行思考、交流，得到結(jié)論．（四）運(yùn)用新知例1：如圖，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.CCOBAe1e2 【設(shè)計意圖】讓學(xué)生鞏固對平面向量基本定理的理解．【設(shè)計說明】培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和良好的解題習(xí)慣．例2：如圖2.3-9，分別用基底i、j表示向量a，b，c，d并求出它們的坐標(biāo).解：由圖可知a=2i+3j所以a=（2，3）.同理，b=-2i+3j=（-2，3）;c=-2i-3j=（-2，-3）;d=2i-3j=（2，-3）.【設(shè)計意圖】設(shè)置提問：引導(dǎo)學(xué)生看圖分析，讓學(xué)生能夠通過這些問題，弄清向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用．【設(shè)計說明】師生共同分析，抓住關(guān)鍵，提問學(xué)生看圖回答．（五）課堂小結(jié)1.平面向量基本定理是建立在向量加法和數(shù)乘運(yùn)算基礎(chǔ)上的向量分解原理，同時又是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù)，是一個承前起后的重要知識點(diǎn).2.向量的夾角是反映兩個向量相對位置關(guān)系的一個幾何量，平行向量的夾角是0°或180°，垂直向量的夾角是90°.3.向量的坐標(biāo)表示是一種向量與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，它使得向量具有代數(shù)意義.將向量的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，則平移后向量的終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo).教師總結(jié):平面向量基本定理既是本節(jié)的重點(diǎn)又是本節(jié)的難點(diǎn)，告訴我們同一平面內(nèi)任意向量都可以表示成兩個不共線的向量的線性組合，注意理解體會．體會平面向量坐標(biāo)表示給問題解決帶來的方便，體會其中轉(zhuǎn)化的思想。提醒學(xué)生：在學(xué)習(xí)新知時，也要經(jīng)常復(fù)習(xí)前面學(xué)過的內(nèi)容,“溫故而知新”．在應(yīng)用中增強(qiáng)對知識的理解，及時查缺補(bǔ)漏，從而更好地運(yùn)用知識，解題要有目的性，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)知識、思想方法的認(rèn)識與自覺運(yùn)用．【設(shè)計意圖】進(jìn)行適時小結(jié)，讓學(xué)生對這次課的學(xué)習(xí)有個系統(tǒng)的認(rèn)識，加深學(xué)習(xí)印象．效果分析：對于平面向量的基本定理,有些學(xué)生只是從形式上加以記憶,缺乏對問題本質(zhì)的理解,從卷面上看學(xué)生可能不會有什么大的問題,但學(xué)生對于數(shù)學(xué)的理解肯定會產(chǎn)生影響,所以在這一內(nèi)容的教學(xué)中教師要不斷地幫助學(xué)生進(jìn)行反思,通過對教學(xué)過程的反思來幫助學(xué)生改進(jìn)學(xué)習(xí)方法,這也是改善學(xué)生的思維品質(zhì),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的一個途徑,這一過程是隱性的、長期的，但這也是必須的.學(xué)生在向量的學(xué)習(xí)中存在的一個困難是學(xué)生在理解始點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)表示時會出現(xiàn)障礙，其原因是在直角坐標(biāo)系中點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是一一對應(yīng)的,到了向量時,向量的坐標(biāo)只是和從原點(diǎn)出發(fā)的向量一一對應(yīng),但只要結(jié)合向量相等的條件學(xué)生應(yīng)該容易克服這一難點(diǎn),不過值得注意的是在后面學(xué)生用向量求點(diǎn)的坐標(biāo)時還會產(chǎn)生問題,如已知了向量及點(diǎn)的坐標(biāo)求點(diǎn)的坐標(biāo),有些學(xué)生還會發(fā)生錯誤,這時還必須結(jié)合圖形及向量的坐標(biāo)幫助學(xué)生進(jìn)行理解,必須使學(xué)生在這種特定的場合中明白:要求點(diǎn)的坐標(biāo)就是要求向量的坐標(biāo).同樣一個問題也需要學(xué)生從不同的側(cè)面來幫助理解.教后反思：1.本節(jié)課內(nèi)容是為了研究向量方便而引入的一個新定理——平面向量基本定理.教科書首先通過“思考”:讓學(xué)生思考對于平面內(nèi)給定的任