九年級數(shù)學(xué)-正多邊形與圓、弧長和扇形的面積

第17講正多邊形與圓、弧長和扇形的面積【板塊一】正多邊形與圓⑴如圖，設(shè)正n邊形A1A2A「?An的邊長為S．

n)2;②an=360。an,半徑為Rn，邊心距為乙，中心角為an，周長為Cn，面積為③Cn=n4；?Sn=n.2an?rn=2Cn?rn；n(2)與正多邊形相關(guān)的計算和證明問題常常轉(zhuǎn)化為三角形的問題解決；(3)外接圓的半徑(正多邊形的半徑)往往是解決問題的“中間量”,面積法是方程思想運用中常見的方法．【例1】如圖，正方形ABCD和正三角形AEF都內(nèi)接于。。，EF與BC,CD分別相交于點G,H,EFGH的值．求【解析】連接CA交EF于點尸，則CA是。O的直徑，.'AC垂直平分EF,設(shè)。O的半徑為R,則OP=2R,EF=2EP=√3R,ΛCP=OC—OP=2R,EF 3RR -??∠GCP=∠HCP=45°,.'GH=2CP=R,Λ—=^RR=%3.【例2】如圖，正方形ABCD的邊長為1,中心為點O,有一邊長大小不定的正六邊形EFGHIJ可繞點O任意旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，這個正六邊形始終在正方形ABCD內(nèi)(包括正方形的邊)，當(dāng)這個正六邊形的邊長最大時，求AE的最小值.【解析】當(dāng)正六邊形EFGHIJ的外接圓。O與正方形ABCD的各邊都相切時，這個正六邊形的邊長最大，… √2連接OA,則OA=拳,???當(dāng)點E旋轉(zhuǎn)至UOA上時，AE最小，且最小值為OA—OE,又???當(dāng)。O與正方形各邊相切時，OE=1AB=2,??.AE的最小值為W—2=與1.【例3】如圖，正五邊形ABCDE的邊心距OG=√2,AH⊥BC于點H，求AH+1AG的值.2【解析】由正多邊形的軸對稱性知:點O在AG上，連接AC,AD,OC,OD,設(shè)正五邊形的邊長為a，則SCm=1a?OG=旦a,?S干=5SeCD=巨2a,△OCD2 2 五△OCD2易證△ABC/△AED,ΛSδrγ,+Sδm=a?AH,△ABC△AED??S五一S△ABC+S^AED+S△ACD一a?AH+1a?AG=a(AH+1AG),22??立a=a

2?(AH+1AG),.?.AH+1AG=逗.22針對練習(xí)12.以半徑為2的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積是一答案：—2.如圖，正六邊形ABCDEF中，點P是邊ED的中點，連接AP,則AP的值是

AB．ABCAyrd√13答案：—2解：連接AE，則∠FEA=∠FAE=30°,Λ∠AEP=90°,設(shè)正六邊形的邊長為2。，則EP?AP=AEE2+EP2=√13a,=a,AE=V3EF=2√3a

aAP_√13a_√13AB 2a 23．如圖,正八邊形ABCDEFGH的半徑為2,求該正八邊形的面積.B，．解:連接OB,OC,則∠BOC=360。一 …=45°,過點C作CM⊥OB于點M,8則CM=222OC=<2'..?S△OBC=2OBCM=<2,二S正八邊形=8?S`OBrD.4.如圖，有一個。O和兩個正六邊形T1,T2，其中T1的6個頂點都在。O上，T2的6條邊都與。O相切（T1,T2分別為。O的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形），則正六邊形T1與T2的面積之比為.D3答案：74解:設(shè)。O的半徑為R,TI的一條邊為AB,T2的一條邊為CD連接OA,OB,OC,OD,易求AB=R,CD2√3c,.v _、回RQ?3*(2√3R、 33p.S 6S&— 3= R,??S R2,SrC八=——×( )2=——R2,..f=—=S-=3 △AOB4 △COD4 3 3 S 6SA 4T2 CoD5.如圖，正△ABC的邊長為12,剪去三個角后成為一個正六邊形，求這個正六邊形的內(nèi)部任意一點到各邊的距離之和．BC解：由題意知正六邊形的邊長為4,面積S=6×（×42=24%?'3,設(shè)這個正六邊形的內(nèi)部任意一點P到各邊的距離分別為d1,d2,d3,d4,d5,d6,.—×4×（d+d+d+d+d+d）=S,Λd+d+d+d+d+d=12v3.2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6【板塊二】弧長和扇形面積（1）靈活運用弧長和扇形面積公式解決問題；（2）利用“割補(bǔ)法”求不規(guī)則圖形面積時,常常運用同底（等底）同高（等高）進(jìn)行等積轉(zhuǎn)化；（3）解決與圓錐相關(guān)的問題時,“化曲面為平面”（側(cè)面展開圖）的轉(zhuǎn)化思想是核心．題型一與弧有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積【例1】點A是半徑為2的。O的直徑MN的延長線上一點，點B,C在。O上，且BC〃0A.（1）如圖1,若OA=4,且AB與。O相切于點B,求圖中陰影部分的面積；（2）如圖2,若點B是MN的一個三等分點，求圖中陰影部分的面積?！窘馕觥?(1)連接OB,OC,則OB⊥AB,?「OB=2=1OA,Λ∠B0A=60°,.△OCB是正三角形，2?BC//OA,???S*=S△Obc'???S陰影=S扇形Obc=6°π6022=2n；(2)連接OB,OC,?點B是MN的一個三等分點，?∠BON=60°,又:BC//OA,.?.∠CBO=∠BON=∠BCO=∠COB=60°,2???bc〃OA,???S△ABC=S△OBC,???S陰影=S扇形OBC=?∏.題型二與圓錐有關(guān)的計算【例2】小華同學(xué)在一塊邊長為16的正方形紙片上剪出一個扇形和一個圓,使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時,圓恰好是圓錐的底面.他設(shè)計了兩個方案，方案一：如圖1,ΘO1與BC,CD,BD都相切；方案二：如圖2,。O2與BC,CD,EF都相切（點E,F分別在AB,AD上，且不與B,D重合）.（1）方案一可行嗎？請說明理由；（2）判斷方案二是否可行？若可行,請確定圓錐的母線長及底面圓的半徑；若不可行,請說明理由.AC圖2D【解析】（1）方案一不可行．90πX16理由如下：?l= =8∏,BD180f=8π,ΛΘO的半徑r=4,

BD 1"。O1=I當(dāng)r=4時，CO1=22r=4J2^,OA=4+16=20,1???AC=20+4%①≠16√2,???方案一不可行.（2）方案二可行，設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，圓錐的母線長為凡連接AC,則(1+√2)r+R=AC=16、2①，2∏r=坐②，由①，②可得:216√'2 80√2—323Zl 320Y2—128 32042—128R=4r= ，，所求圓錐的母線長為 ，底面圓的半徑為2323針對練習(xí)22380Y2-32-23-r=57√2,．.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,∠B=∠C,以點A為圓心，AD為半徑的圓與BC相切于點M,與AB交于點E，若AD=2BC=6,則DE的長為,.答案：I兀解：易求∠DAE=135°,.?.DE的長為135X>=3π.180 2.小紅同學(xué)要用紙板制作一個高4cm,底面周長是6∏cm的圓錐形漏斗模型（不計接縫和損耗），則她所需紙板的面積是cm2.答案：15n解：:底面周長是6∏,?.底面半徑r=3,?高為4,?母線長R=5,?S=πrR=15π.3.如圖，在菱形ABCD中，∠A=60,AB=2,扇形BEF的半徑為2,圓心角/EBF=60則圖中陰,影部分的面積為C答案：—π一?√33解：?/DB=AB=2,?,.點D在EF上，設(shè)BE,BF分別與AD,DC相交于點M,乂則4ABD/△BCN,.?.S =SRCn=—×22=V3,?S=S,-%3=一π—Y3?四BMDN△BCD4 陰影 扇形BEF 3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AB=1,把4ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△AB1C1,，則線段BC所掃過的面積為.．答案：?π4