2023年湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡教育集團(tuán)中考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

2023年湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡教育集團(tuán)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的.本題共io個(gè)小題，每小

題3分，共30分）

1.比較實(shí)數(shù)0，.朝，2,-1.7的大小,其中最小的實(shí)數(shù)為()

A.0B.一輛C.2D.-1.7

2.人體中紅細(xì)胞的直徑約為0.0000077，”,用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的結(jié)果是()

A.7.7X106”？B.0.77X10-6/?C.7.7X105加D.7.7X10-66

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.（-3〃）2=6層B.(〃2)2=a5

C.a2*a3=a（）D.(-a)3-r(-a)=a2

4.下列生活垃圾分類標(biāo)志中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

5.將不等式X-2V1與4x2-8的解集表示在同一數(shù)軸上正確的是（)

A.

B.□

C.

D.

3

6.某籃球代表隊(duì)16名隊(duì)員的年情況如下表:

年齡/歲3536384044

人數(shù)53332

則這些隊(duì)員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.36,36B.35,38C.35,37D.5,38

7.已知一次函數(shù).y=ax-1（aW0）的函數(shù)值），隨x值的增大而增大，則一次函數(shù)y=-or+2

)

,NB=30°,根據(jù)尺規(guī)作圖保留的痕跡，下列結(jié)論錯(cuò)誤

的是（)

B.AD=BD

C.AC=2CDD.S〉A(chǔ)BD=2SMCD

9.如圖，48為。。的弦，點(diǎn)P在弦A8上，BP=9,AP=3,點(diǎn)。到A8的C距離為5,

B.8D.741

10.二次函數(shù)y=ox2+6x+c.的圖象如圖所示，下列結(jié)論中：①b2V4ac；②abcVO；③2a+b

<0；④（a+c）2<b2；其中正確的個(gè)數(shù)是（

二、填空題（本題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11.分解因式：x2y-4y—.

12.若式子乂運(yùn)■在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

x

13.如圖，直線，"〃〃，ZVIBC的頂點(diǎn)8,C分別在直線"，，"上，且/AC8=90°,若N1

=40°,則/2等于度.

14.一個(gè)不透明的箱子中有4個(gè)紅球和若干個(gè)黃球，若任意摸出一個(gè)球，摸出紅球的概率是

春，則黃球個(gè)數(shù)是_______個(gè).

5

15.如圖，在矩形A8C。中，E在邊上，將AABE沿BE折疊，點(diǎn)A恰好落在矩形ABC。

的對(duì)稱中心。處，若A8=3,則BC的長(zhǎng)為.

16.如圖，在RtZ\ABC中，/ACB=90°,ZABC=30°,AB=2百，將RtZxABC繞直角

頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4首次落在A8邊上時(shí)即停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則點(diǎn)8經(jīng)過(guò)的

路徑長(zhǎng)為

Br

三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分,

第22、23每小題6分，第24、25每小題6分，共72分，解答需寫出必要的文字說(shuō)明、證

明過(guò)程或演算步驟）

17.計(jì)算：|正-2|-2tan60。+(K-2023)0+727?

’6(x+2)>8x+9①

18.解不等式組：x-1

+2>苧②.

2

19.長(zhǎng)沙電視塔位于岳麓山峰頂（如圖），此峰頂距地面高度MN=270〃?.電視塔集廣播電

視信號(hào)發(fā)射和旅游觀光功能于一身.如右圖所示，小明同學(xué)在地面點(diǎn)A處測(cè)得峰頂N處

的仰角為15°,由點(diǎn)A往前走640機(jī)至點(diǎn)B處，測(cè)得電視塔頂P處仰角為45°,請(qǐng)求出

電視塔的高度NP.（假設(shè)圖中A、B、M三點(diǎn)在一條直線上，參考數(shù)據(jù)：sinl5°以0.26,

cosl5°?=0.97,tanl5°七0.27)

20.2022年10月12日“天宮課堂”第三課在中國(guó)空間站開講并直播，神舟十四號(hào)三位航

天員相互配合，生動(dòng)演示了微重力環(huán)境下的四個(gè)實(shí)驗(yàn)：人毛細(xì)效應(yīng)實(shí)驗(yàn)；8.水球變'‘懶"

實(shí)驗(yàn)；C.太空趣味飲水；D.會(huì)調(diào)頭的扳手.某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組成員為研究“九

年級(jí)學(xué)生對(duì)這四個(gè)實(shí)驗(yàn)中最感興趣的是哪一個(gè)？”隨機(jī)調(diào)查了本年級(jí)的部分學(xué)生，并繪

制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息回答下列問(wèn)題:

（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有人；扇形統(tǒng)計(jì)圖中。所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)

為

（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

（3）該校九年級(jí)共有650名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生中對(duì)&水球變“懶”實(shí)驗(yàn)最

感興趣的學(xué)生大約有多少人？

(4)李老師計(jì)劃從小明、小剛、小蘭、小婷四位學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人參加學(xué)校的微重力

21.如圖，在QABCQ中，G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在CQ上，F(xiàn)G的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交

于點(diǎn)E,連接8F,CE.

(1)求證：四邊形CEB尸是平行四邊形；

(2)若4￡>=6,NA=60°,/AEC=90",

①試求GF的長(zhǎng)度；

②四邊形CEB尸的面積.

22.2022年4月16B,神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，任務(wù)取得圓滿成功.航模店

看準(zhǔn)商機(jī)，推出了“神舟”和“天宮”模型.已知每個(gè)“天宮”模型的成本比“神舟”

模型低20%,同樣花費(fèi)320元，購(gòu)進(jìn)“天官”模型的數(shù)量比“神舟”模型多4個(gè).

(1)“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？

(2)該航模店計(jì)劃購(gòu)買兩種模型其100個(gè)，且每個(gè)“神舟”模型的售價(jià)為34元，“天

官”模型的售價(jià)為26元.設(shè)購(gòu)買“神舟”模型。個(gè)，銷售這批模型的利潤(rùn)為卬元.

①求w與。的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出。的取值范圍)；

②若購(gòu)進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過(guò)“天官”模型數(shù)量的一半，則購(gòu)進(jìn)“神舟”模型多

少個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

23.如圖，已知AB為的直徑，CO是弦，ABA.CD,垂足為點(diǎn)E,OFYAC,垂足為點(diǎn)

F,BE=OF.

（1）求證：AC=CD；

（2）若BE=4,C￡）=8百，求陰影部分的面積.

24.如圖，拋物線y=or2+bx+c（〃W0）的頂點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)C.過(guò)點(diǎn)A作線段A8

垂直y軸交于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)C作線段CD垂直拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D,我們稱矩形ABCD

為拋物線y=aN+%x+c"W0）的“伴隨矩形”.

（1）請(qǐng)根據(jù)定義求出拋物線y=2r2+4x-2的“伴隨矩形"ABC。的面積；

（2）已知拋物線y=-/一3X+2的“伴隨矩形”為矩形ABCD,若矩形ABCD的四邊與

直線-機(jī)+1共有兩個(gè)交點(diǎn)，且與雙曲線y=2坦無(wú)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出團(tuán)的取值范圍；

X

（3）若對(duì)于開口向上的拋物線尸〃/+法《（匕#0）,當(dāng)）,=0時(shí)，方程c昌以+g=（）

的兩個(gè)根為為，及，且滿足下列條件：①該拋物線的“伴隨矩形"A3CO為正方形；②1

WSABCQW9（其中SABCQ表示矩形A5CD的面積）；③x.；+（2-1號(hào)t）x〔x「的最小

25.如圖1,在。。中，48為直徑，點(diǎn)。在圓上，tanNA=-:，AB=—,。是A8上一

152

動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、8不重合），DE平分NCDB交邊BC于點(diǎn)、E,EFLCD,垂足為點(diǎn)F.

(1)當(dāng)點(diǎn)D與圓心。重合時(shí)，如圖2所示，則。E=；

(2)若CD^CEYB,試探究△BDE與QEF有何面積關(guān)系，并證明;

(3)當(dāng)4CE/與△ABC相似時(shí)，求cos/8￡>E的值.

參考答案

一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的.本題共1（）個(gè)小題，每小

題3分，共30分）

1.比較實(shí)數(shù)0,_炯,2,-1.7的大小，其中最小的實(shí)數(shù)為（）

A.0B._版C.2D.-1.7

【分析】先計(jì)算8的立方根，再比較各數(shù)的大小.

解：：---2,

-2<-1.7<0<2.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，掌握實(shí)數(shù)大小的比較方法是解決本題的關(guān)鍵.

2.人體中紅細(xì)胞的直徑約為0.0000077〃?，用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的結(jié)果是（）

A.7.7X106%B.0.77X10-6機(jī)c.7.7X105/nD.7.7X10

【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為“X10F,與較大

數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)幕，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)

字前面的。的個(gè)數(shù)所決定.

解：0.0000077=7.7義10一6根.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為。義10”,其中1W間<10,

n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.（-3（7）2=6.2B.（。2）2=〃5

C..蘇=*D.（-a）34-（-a）=a2

【分析】分別根據(jù)基的乘方與積的乘方法則，同底數(shù)基的乘法與除法法則對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行

分析即可.

解：A、（-3a）2=9算原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、（a2）2=〃，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、。2.“3=/，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

D、(-a)3-i-(-a)=(-a)2=a2,符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是同底數(shù)幕的除法與乘法，暴的乘方與積的乘方法則，熟知以上知

識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解.

解：A、既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

3、既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

C、不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

。、既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱

軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分

重合.

5.將不等式尤-2<1與4x2-8的解集表示在同一數(shù)軸上正確的是（）

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集可得答案.

解：由X-2V1,得：xV3,

由4x2-8,得：X》-2,

表示在數(shù)軸上如下：

-------'-----'-----'-----■----0-A

-2-10123

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

6.某籃球代表隊(duì)16名隊(duì)員的年情況如下表：

年齡/歲3536384044

人數(shù)53332

則這些隊(duì)員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.36,36B.35,38C.35,37D.5,38

【分析】先把原數(shù)據(jù)按由小到大排列，然后根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解.

解：這組數(shù)據(jù)中35出現(xiàn)5次，次數(shù)最多，

所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是35；

把這些數(shù)據(jù)從小到大排列，中位數(shù)是第8、第9個(gè)數(shù)的平均數(shù)，

所以這組數(shù)據(jù)中位數(shù)為工（36+38）=37；

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；注意找

中位數(shù)的時(shí)候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個(gè)來(lái)確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有

奇數(shù)個(gè)，則正中間的數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個(gè)則找中間兩位數(shù)的平均數(shù).

7.已知一次函數(shù)y=ar-1（。#0）的函數(shù)值y隨x值的增大而增大，則一次函數(shù)y=-ax+2

【分析】根據(jù)一次函數(shù))，=依-1(aWO)的函數(shù)值y隨x的增大而增大，可以得到。>0,

然后即可得到函數(shù)y=-方+2的圖象經(jīng)過(guò)哪幾個(gè)象限，從而可以解答本題.

解：?.?一次函數(shù)y=ax-1"WO)的函數(shù)值y隨x的增大而增大，

???-a<0,

，函數(shù)y=-or+2的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利

用一次函數(shù)的性質(zhì)解答.

8.如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZB=3O°,根據(jù)尺規(guī)作圖保留的痕跡，下列結(jié)論錯(cuò)誤

的是()

A.AO是NBAC的平分線B.AD=BD

C.AC—2CDD.SAABD—25A4CD

【分析】由尺規(guī)作圖痕跡可知，A。為NBAC的平分線，則可得/。。=/54。=30°,

進(jìn)而可得AD=BD,在RtAACD中，ZCAD=30°,可得AD=2CD,則BD=2CD,

SAABD]BD?AC=2(yCD-AC)=2SAACD?即可得出答案?

解：由尺規(guī)作圖痕跡可知，A。為NBAC的平分線，

故A選項(xiàng)正確，不符合題意；

VZC=90°,ZB=30°,

：.ZBAC=60°,

?「AO為NB4c的平分線,

AZCAD=ZBAD=30°,

:./BAD=/B,

：.AD=BD,

故3選項(xiàng)正確，不符合題意；

在Rtz^ACQ中，ZCAD=30°,

：.AD=2CD,

故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

?：AD=2CD,AD=BD,

：.BD=2CDf

S

AABD=yBD-AC=2(-1<D?AC)=2SAACD-

故。選項(xiàng)正確，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-基本作圖、等腰三角形、直角三角形，熟練掌握角平分線的作

圖步驟是解答本題的關(guān)鍵.

9.如圖，A8為的弦，點(diǎn)P在弦AB上，BP=9,AP==3,點(diǎn)。到AB的C距離為5,

則OP長(zhǎng)為()

A.7B.8C.734D.何

【分析】過(guò)點(diǎn)。作。CLA8,垂足為點(diǎn)C,根據(jù)BP=9,AP=3,點(diǎn)。至IJA3的距離為3,

得到48^2,AC=BC=6,OC=3,從而得到PC=AC-PA=3,根據(jù)勾股定理，得OP

={OC2+PC2計(jì)算即可?

解：過(guò)點(diǎn)。作OC_L4B,垂足為點(diǎn)C,

因?yàn)?尸=6,AP=2,點(diǎn)。到AB的距離為3,

所以AB=9,AC=BC=6,0C=3,

所以PC=AC-PA=6-3=3,

所以0P=VoC2+PC2=V52+32=V34-

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論中：?b2<4aa②a/?c<0；?2a+b

<0；④（a+c）2<〃；其中正確的個(gè)數(shù)是（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象即可一一判斷.

解：：拋物線與x軸有交點(diǎn),

△>0,

：.b2-4ac>0,

.>4ac,故①錯(cuò)誤;

?.?拋物線開口向下,

：.a<0

；拋物線交y軸于正半軸,

：.c>0,

/.abc<0,故②正確;

——->1,a<0,

2a

'.b>-2a,,

2a+b>0,故③錯(cuò)誤，

：x=l時(shí)，y>0,

a+h+c>0,

""x=-1時(shí)，y<0,

'.a-b+c<0,

(a+b+c)(a-b+c)<0,

(a+c)2<h2,故④正確，

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,

屬于中考常考題型.

二、填空題(本題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分)

11.分解因式：x2y-4y=y分+2)(x-2).

【分析】先提取公因式y(tǒng),然后再利用平方差公式進(jìn)行二次分解.

解：x2y-4y,

—y(x2-4),

=y(x+2)(x-2).

故答案為：y(x+2)(%-2).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式進(jìn)行二次分解因式

是解本題的難點(diǎn)，也是關(guān)鍵.

4x+2

12.若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是e-2月.xro

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x+220且xHO,再解即可.

解：由題意得：x+210且xWO,

解得：1》-2且》/0,

故答案為：6-2且xWO.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，以及分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握

分式有意義，分母不為0;二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

13.如圖，直線機(jī)〃力ZViBC的頂點(diǎn)B,C分別在直線小加上，且/ACB=90°,若/I

=40°,則N2等于130度.

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出/3的度數(shù)，再由/ACB=90°得出N4的度數(shù)，根據(jù)

補(bǔ)角的定義即可得出結(jié)論.

解：'：m//n,Zl=40°,

.?./3=/1=40°.

VZACB=90Q,

：.Z4=ZACB-Z3=90--40°=50°,

.".Z2=180°-Z4=180°-50°=130°.

故答案為：130.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的內(nèi)角和，平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，

內(nèi)錯(cuò)角相等.

14.一個(gè)不透明的箱子中有4個(gè)紅球和若干個(gè)黃球，若任意摸出一個(gè)球，摸出紅球的概率是

g則黃球個(gè)數(shù)是6個(gè).

5

【分析】設(shè)這個(gè)箱子中黃球的個(gè)數(shù)為X個(gè)，再根據(jù)概率公式求出X的值即可.

解：設(shè)這個(gè)箱子中黃球的個(gè)數(shù)為X個(gè)，

根據(jù)題意得，--=3，

4+x5

解得x=6,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=6是方程的解.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

15.如圖，在矩形ABCD中，E在4。邊上，將aABE沿BE折疊，點(diǎn)4恰好落在矩形ABCO

的對(duì)稱中心。處，若AB=3,則BC的長(zhǎng)為一百

【分析】連接0D，由。是矩形ABC。中心，得到8,O,。共線，由翻折變換得到OB

=A8,由矩形的性質(zhì)得到8O=2OB=2AB=6,由勾股定理求出的長(zhǎng)即可.

解：連接。。，

是矩形A8CC中心，

：.B,0,。共線,

---AABE沿BE翻折到△OBE,

：.OB=BA,

???四邊形ABC。是矩形，。是它的中心，

.?.8D=2OB=2AB=2X3=6,BC^AD,

VZBAD=90°,

?■"AD=VBD2-AB2=V62-32=3V3>

BC=AD=3y/2-

故答案為：3百.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，中心對(duì)稱，翻折變換，關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì).

16.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AB=2百，將RlZiABC繞直角

頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H首次落在AB邊上時(shí)即停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的

【分析】首先根據(jù)解直角三角形計(jì)算出BC長(zhǎng)，再根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)計(jì)算出

NAC4'=60",進(jìn)而可得NBC*=60°,然后再根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得答案.

解：VZB=30°,4B=2百，

BC=AB*cos30°=3,ZA=60°,

u：AC=ArC,

二?NAA'。是等邊三角形，

AZACAf=60°,

：.ZBCBf=60°,

...弧長(zhǎng)/=60.兀X3=n,

180

故答案為：TT.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及弧長(zhǎng)計(jì)算，關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)計(jì)

算公式.

三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分,

第22、23每小題6分，第24、25每小題6分，共72分，解答需寫出必要的文字說(shuō)明、證

明過(guò)程或演算步驟）

17.計(jì)算：|V3-2|-2tan60,+（冗-2023）°+屈?

【分析】先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答.

解：|'/3-2|-2tan6O0+（冗-2023）°+后

=2-料-2百+1+3百

=3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)基，特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確熟練地化簡(jiǎn)各

式是解題的關(guān)鍵.

6(x+2)>8x+9①

18.解不等式組:等+2>弩■②.

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小找不到確定不等式組的解集.

解：解不等式①，得：x<-1,

解不等式②，得：x>-5,

則不等式組的解集為-

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知

“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

19.長(zhǎng)沙電視塔位于岳麓山峰頂（如圖），此峰頂距地面高度MN=270%電視塔集廣播電

視信號(hào)發(fā)射和旅游觀光功能于一身.如右圖所示，小明同學(xué)在地面點(diǎn)A處測(cè)得峰頂N處

的仰角為15°,由點(diǎn)A往前走640〃?至點(diǎn)B處，測(cè)得電視塔頂P處仰角為45。，請(qǐng)求出

電視塔的高度NP.（假設(shè)圖中A、B、M三點(diǎn)在一條直線上，參考數(shù)據(jù)：sinl5。心0.26,

cosl5°七0.97,tan15°仁0.27)

【分析】在RtZ\AMN中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AM=1000〃?，根據(jù)等腰直角三角形

的性質(zhì)得到PM=BM=360m,于是得到結(jié)論.

解：在RtZWWN中，VZAMN=90Q,MN=270m,NMAN=15°,

/.tanA=tanl5°=111=^12^0.27,

ANAM

：.AM=\000m,

：AB=640m,

1000-640=360(M,

在RtZYBPM中，VZPBM=45°,

；.PM=BM=360，”，

：.PN=PM-MN=360m,

答：電視塔的高度NP為360m.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握仰角俯角的定義和

銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵.

20.2022年10月12日“天宮課堂”第三課在中國(guó)空間站開講并直播，神舟十四號(hào)三位航

天員相互配合，生動(dòng)演示了微重力環(huán)境下的四個(gè)實(shí)驗(yàn)：A.毛細(xì)效應(yīng)實(shí)驗(yàn)；B.水球變“懶”

實(shí)驗(yàn)；C.太空趣味飲水；D.會(huì)調(diào)頭的扳手.某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組成員為研究“九

年級(jí)學(xué)生對(duì)這四個(gè)實(shí)驗(yàn)中最感興趣的是哪一個(gè)？”隨機(jī)調(diào)查了本年級(jí)的部分學(xué)生，并繪

制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息回答下列問(wèn)題：

（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有50人:扇形統(tǒng)計(jì)圖中D所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為

36°；

（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）該校九年級(jí)共有650名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生中對(duì)a水球變“懶”實(shí)驗(yàn)最

感興趣的學(xué)生大約有多少人？

（4）李老師計(jì)劃從小明、小剛、小蘭、小婷四位學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人參加學(xué)校的微重力

【分析】（1）用對(duì)。實(shí)驗(yàn)最感興趣的人數(shù)除以其所占的百分比可得本次被調(diào)查的學(xué)生人

數(shù)；用360°乘以被調(diào)查的學(xué)生中對(duì)。實(shí)驗(yàn)最感興趣的人數(shù)所占的百分比，即可得扇形

統(tǒng)計(jì)圖中。所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù).

（2）用被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)分別減去對(duì)A,C,。實(shí)驗(yàn)最感興趣的人數(shù)，可得對(duì)B實(shí)驗(yàn)

最感興趣的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可.

（3）根據(jù)用樣本估計(jì)總體，用650乘以被調(diào)查的學(xué)生中對(duì)艮水球變“懶”實(shí)驗(yàn)最感興

趣的人數(shù)所占的百分比，即可得出答案.

（4）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和恰好抽中小剛、小蘭兩人的結(jié)果數(shù)，再利用概

率公式可得出答案.

解：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有20?40%=50（人）.

扇形統(tǒng)計(jì)圖中。所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為360°xg=36°.

50

故答案為：50：36。.

（2）50-10-20-5=15（人）.

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示.

.?.該校九年級(jí)學(xué)生中對(duì)反水球變“懶”實(shí)驗(yàn)最感興趣的學(xué)生大約有.195人.

(4)畫樹狀圖如下:

開始

小明小剛小蘭小婷

/KX\/N/N

小剛小蘭小婷小明小蘭小婷小明小剛小婷小明小剛小蘭

共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽中小剛、小蘭兩人的結(jié)果有2利3

，恰好抽中小剛、小蘭兩人的概率為三=J.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，能

夠理解條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計(jì)總體是解

答本題的關(guān)鍵.

21.如圖，在中，G是的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，F(xiàn)G的延長(zhǎng)線與A8的延長(zhǎng)線交

于點(diǎn)E,連接BF,CE.

(1)求證：四邊形CEB尸是平行四邊形；

(2)若AO=6,ZA=60°,/AEC=90",

①試求GF的長(zhǎng)度；

②四邊形CEB尸的面積.

【分析】(1)證AGC尸也4GBE(AS4),得FG=EG,即可得出結(jié)論:

（2）①由平行四邊形的性質(zhì)得BC=AO=6,再證平行四邊形"BF是矩形，然后由矩

形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

②解直角三角形求出BE,CE,可得結(jié)論.

【解答】（1）證明：?.?四邊形ABC￡＞是平行四邊形，

J.AB//CD,

:.NGCF=NGBE,

：G是BC的中點(diǎn)，

：.CG=BG,

在△GCF和AGBE中，

2GCF=NGBE

-CG=BG.

NCGF=NBGE

:./XGCF注AGBE（ASA）,

：.FG=EG,

四邊形CEB尸是平行四邊形；

（2）解：①；四邊形ABC。是平行四邊形，

：.BC^AD=6,

由（1）可知，四邊形CEBF是平行四邊形，

VZAEC=90°,

平行四邊形CEB尸是矩形，

：.EF=BC=6,

：.GF=—EF=3；

2

②

：.ZA=ZCBE=60°,

.?.BE=BCcos60。=3,EC=?BE=36,

矩形CEBF的面積=BE?CE=9日.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定

與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.2022年4月16B,神舟十三號(hào)裁人飛船返回艙成功著陸，任務(wù)取得圓滿成功.航模店

看準(zhǔn)商機(jī)，推出了“神舟”和“天宮”模型.已知每個(gè)“天宮”模型的成本比“神舟”

模型低20%,同樣花費(fèi)320元，購(gòu)進(jìn)“天官”模型的數(shù)量比''神舟"模型多4個(gè).

（1）“神舟"和''天宮"模型的成本各多少元？

（2）該航模店計(jì)劃購(gòu)買兩種模型其100個(gè)，且每個(gè)“神舟”模型的售價(jià)為34元，“天

官”模型的售價(jià)為26元.設(shè)購(gòu)買“神舟”模型a個(gè)，銷售這批模型的利潤(rùn)為卬元.

①求w與a的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出a的取值范圍）；

②若購(gòu)進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過(guò)“天官”模型數(shù)量的一半，則購(gòu)進(jìn)“神舟”模型多

少個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

【分析】（1）設(shè)“神舟”模型成本為每個(gè)x元，則“天宮”模型成本為每個(gè)（1-20%）

x=0.8x（元）,根據(jù)同樣花費(fèi)320元，購(gòu)進(jìn)“天官”模型的數(shù)量比“神舟”模型多4個(gè).列

出方程，解方程即可，注意驗(yàn)根；

（2）①設(shè)購(gòu)買“神舟”模型。個(gè)，則購(gòu)買“天宮”模型（100-“）個(gè)，根據(jù)總利潤(rùn)=兩

種模型利潤(rùn)之和列出函數(shù)解析式即可；

②根據(jù)購(gòu)進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過(guò)“天官”模型數(shù)量的一半求出。的取值范圍，由

函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

解：（1）設(shè)“神舟”模型成本為每個(gè)x元，則“天宮”模型成本為每個(gè)（1-20%）x=

0.8x（元）,

根據(jù)題意得：—=77^--4）

x0.8x

解得x=20,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原方程的解，

0.8%=16（元）,

答：“神舟”模型成本為每個(gè)20元，“天宮”模型成本為每個(gè)16元；

（2）①設(shè)購(gòu)買“神舟”模型。個(gè)，則購(gòu)買“天宮”模型（100-。）個(gè)，

貝IJw=（34-20）a+（26-16）（100-a）=4a+1000,

.?.w與a的函數(shù)關(guān)系式為vv=4?+1000；

②?.?購(gòu)進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過(guò)“天官”模型數(shù)量的一半，

：.a^—(100-a),

2

解得aW挈，

；w=4a+1000,4>0,a是正整數(shù)，

...當(dāng)x=33時(shí)，w最大，最大值為1132,

答：購(gòu)進(jìn)“神舟”模型33個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是1132元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用和分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是

找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式和方程.

23.如圖，已知A8為。。的直徑，CD是弦，A8LC。，垂足為點(diǎn)E,OF±AC,垂足為點(diǎn)

F,BE=OF.

(1)求證：AC=CQ；

(2)若BE=4,8=8百，求陰影部分的面積.

【分析】(1)根據(jù)AA5證明△AFO絲aCEB即可判斷;

(2)根據(jù)SM=S國(guó)形OCD~SAOC。計(jì)算即可.

【解答】(1)證明：TAB為。。的直徑，

?，-BC=BC?CE=±CD,

：.NA=NDCB,

：.OF_LAC,

：.ZAFO=ZCEBAF=-AC,

12

?；BE=OF,

：.AAFO^ACEB(A4S),

：.AF=CE,

：.AC=CD；

(2)〈AB為。。的直徑，ABLCD,

.?.CE=￡cQ=4百，

設(shè)OC=r,貝U0E=r-4,

Ar2=0-4)2+(4-\/3)2

:.r=8,

連接OD,

在RtZ\OEC中，OE=4=/OC,

AZOC￡=30°,ZCOB=60°,

：.ZCOD=\20Q,

AAFO^ACEB,

:.SAAFO=S?BCE,

:+S&]=S用形。。-S^OCD

=磔=2芷-工X8百X4

3602

=爭(zhēng)-16V3.

o

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，以及扇形的面積的計(jì)算，正確求得NC0E

的度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.

24.如圖，拋物線)>=以2+樂(lè)+c(/>#0)的頂點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)C.過(guò)點(diǎn)4作線段A8

垂直y軸交于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)C作線段CD垂直拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D,我們稱矩形ABCD

為拋物線y=or2+bx+c"W0)的“伴隨矩形”.

(1)請(qǐng)根據(jù)定義求出拋物線y^2x2+4x-2的“伴隨矩形"ABC。的面積；

(2)已知拋物線y=-/-3x+2的“伴隨矩形”為矩形ABCD,若矩形ABC。的四邊與

直線y=,〃x-〃?+1共有兩個(gè)交點(diǎn)，且與雙曲線y=2坦無(wú)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍；

X

(3)若對(duì)于開口向上的拋物線、=〃/+法+半”#0),當(dāng)y=0時(shí)，方程級(jí)2+法+申=0

的兩個(gè)根為箝，必且滿足下列條件：①該拋物線的“伴隨矩形"A3CQ為正方形；@1

<SA8CD<9(其中SABCD表示矩形A3CQ的面積)；③x；+xg+(2-4t)x〔X?的最小

值為-20f.請(qǐng)求出滿足條件的f值.

【分析】(1)求出A(-1,-4),C(0,-2),即可得矩形ABC。的邊長(zhǎng)分別為1

和2,再求面積即可；

(2)先求出“伴隨矩形”為矩形ABCQ的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-V，￥)，B(0,

24

￥■),C(0,2),。(Y，2),直線經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)產(chǎn)-學(xué)，直線經(jīng)過(guò)。點(diǎn)時(shí)產(chǎn)

424

W，貝卜早〈川<-苦時(shí)，矩形ABCC的四邊與直線尸必〃?+1共有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)

545

雙曲線經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，機(jī)=-￥，則機(jī)<-￥■時(shí)，矩形ABC。的四邊與雙曲線了=項(xiàng)無(wú)

88x

交點(diǎn)，故-1￡<"?<-時(shí)，滿足題意；

48

(3)拋物線的“伴隨矩形"ABCQ的頂點(diǎn)分別是A(-4,]■-上_),8(0,,

2a24a24a

22

C(0,當(dāng)，。日)，由題意可得|一2|=卜互|,日鳥＜9,求出

22a22a4a4a23

Wl,再由△=4-6a20,進(jìn)一步確定《Wawg,根據(jù)韋達(dá)定理得xi+x2=-xi,xi=

33a

77-,則x；+x%(2-*t)X[x)?=4(--r)2-4凡當(dāng)03時(shí)，4(3-Z)2-4r2=-

2a1/3i/a

201,解得f=9；當(dāng)tVW?時(shí)，4(--t)2-4t--20/,解得t=-2；當(dāng)時(shí);

2282

-20f=-4t2,解得f=0(舍)或f=5(舍)；綜上所述：r的值為9或-

解：(1)\'y^2x2+4x-2^2(x+1)2-4,

；.A(-1,-4),

當(dāng)x=0時(shí)，y=-2,

：.C(0,-2),

?,?伴隨矩形”/158的面積=2乂1=2；

Q17

(2)?.?y=-/-3x+2=-(x+-)2+-^—,

24

，“伴隨矩形”為矩形ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-於，￥■),8(0,￥■),

244

3

C(0,2),D(-4,2),

2

直線經(jīng)過(guò)3點(diǎn)時(shí)，+1=￥，解得〃尸一學(xué),

44

直線經(jīng)過(guò)。點(diǎn)時(shí)，-日機(jī)-，"+1=2,解得根=-3,

25

-學(xué)3時(shí)，矩形ABCD的四邊與直線y=mx-m+\共有兩個(gè)交點(diǎn),

45

當(dāng)雙曲線經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，機(jī)=一,

；./?<-￥時(shí)，矩形ABC。的四邊與雙曲線y=2膽無(wú)交點(diǎn),

8x

-■時(shí)，滿足題意；

48

(3)\'y=ax2+bx+—=a(x+?)

22a24a

.\A(--,—-上)，

2a24a

.?.拋物線的“伴隨矩形”4BC。的頂點(diǎn)分別是4(-力-，於-「)B(0,

2a24aA

C(0,—),￡>(一旦，—)

22a2

,“伴隨矩形"A8C。為正方形，

,bb2t

?I-7r-l=l~—I，

2a4a

?b=±2,

"1WSABC°W9,

h2

?1W—W9,

4a<

?拋物線開口向上，

?4>0,

.1工，

3

?方程。口的+田二。的兩個(gè)根為Xl,X2,

A=4-6Q20,

.<2

3

.ly<2

??^WqW-，

33

?工一b,_3

..Xl+X2=---,X\'X2=，

a2a

2

：?x|+x(2-^-t)Xi乂2=號(hào)-2?福+(2-*，)?導(dǎo)=4(--r)2-4r2,

1zz

，匕3a2a32aa

x；+x$+(2」gt)xix2的最小值為-203

當(dāng)t>3時(shí),4(3-力2-今2=-20/,

解得1=9；

QQ

當(dāng)時(shí)、4（士-，）2-4產(chǎn)=-206

22

解得t-一1；

o

當(dāng)士WK3時(shí)，-20t=-4凡

2

解得1=0（舍）或f=5（舍）；

綜上所述：f的值為9或-右

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，矩形的性

質(zhì)，弄清“伴隨矩形”的定義是解題的關(guān)鍵.

25.如圖1,在。。中，A8為直徑，點(diǎn)C在圓上，tan/A=[,A8=±g,。是A8上一

15