《 一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系》第2課時示范公開課教學(xué)課件【高中數(shù)學(xué)人教B版必修第一冊】

一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系第2課時問題1閱讀課本第47～49頁，回答下列問題：整體概覽（1）本節(jié)將要研究一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．（2）起點是一元二次方程的解法及求根公式，目標(biāo)是會求解一元二次方程的兩根和與兩根積，并靈活運用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題．提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)要研究的問題在數(shù)學(xué)中的地位是怎樣的？情境與問題學(xué)完一元二次方程的解集后，我就聽到了咱班的小奕和小涵的一段悄悄話，內(nèi)容如下：小奕：小涵，我發(fā)現(xiàn)了一個秘密！小涵：什么秘密？小奕：你知道咱們尊敬的劉老師的年齡嗎？小涵：不知道哎！情境與問題小奕：呵呵，這絕對是個秘密，我不能直接告訴你，我這么說吧：她的年齡是一元二次方程x2－13x＋36＝0的兩根的積，回去你把兩根求出來就知道了．小涵：咳，這你可難不住我，我不用求根就已經(jīng)知道答案了，而且我還告訴你，劉老師的年齡是方程x2－36x－40＝0的兩根的和呢．小奕：哈哈，你太有才了．對了，咱們應(yīng)該也讓同學(xué)們猜一猜，不解方程，能不能求出劉老師的年齡．新知探究問題一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若有實數(shù)根，它的根是兩個嗎？這兩根的和與積有什么特殊性嗎？前面我們已經(jīng)知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解集情形：（1）當(dāng)Δ＝b2－4ac＞0時，方程的解集為（2）當(dāng)Δ＝b2－4ac＝0時，方程的解集為新知探究問題一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若有實數(shù)根，它的根是兩個嗎？這兩根的和與積有什么特殊性嗎？（3）當(dāng)Δ＝b2－4ac＜0時，方程的解集為?．當(dāng)Δ＝b2－4ac≥0時，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根（當(dāng)Δ＝0時，x1＝x2，按照初中的習(xí)慣，我們?nèi)苑Q方程有兩個相等的實數(shù)根），計算可得：這兩個實數(shù)根的和與積分別為新知探究問題一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若有實數(shù)根，它的根是兩個嗎？這兩根的和與積有什么特殊性嗎？（1）用語言敘述為：一元二次方程的解集不空時，兩根之和為一次項系數(shù)與二次項系數(shù)之比的相反數(shù)；兩根之積為常數(shù)項與二次項系數(shù)之比．（2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根是x1，x2，用式子表示為：x1＋x2＝，x1x2＝

．這個結(jié)論通常稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．新知探究【數(shù)學(xué)文化】法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·韋達在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與系數(shù)的關(guān)系，提出了這條定理．

由于韋達最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，人們把這個關(guān)系稱為韋達定理．新知探究例1已知一元二次方程2x2＋3x－4＝0的兩根為x1與x2，求下列各式的值：（1）x12＋x22；

（2）|x1－x2|．問題：是否要求出x1和x2，并由此給出上述（1）和（2）的答案？新知探究由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝，x1x2＝－2，（1）由上有x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（）2－2×（－2）（2）因為（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（

）2－4×（－2）所以|x1－x2|＝

．新知探究例2已知關(guān)于x的一元二次方程mx2－（m＋2）x＋

＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．若

＝4m，試求m的值．由題知

，解得m＞－1且m≠0．因為x1＋x2＝

，x1x2＝

，所以

，解得m＝2或m＝－1．又因為m＞－1，所以m＝2．新知探究例3已知方程x2＋tx＋1＝0，根據(jù)下列條件，分別求出t的取值范圍．（1）兩個根都大于0；（2）兩個根都小于0；設(shè)方程x2＋tx＋1＝0的兩個根為x1，x2．所以t的取值范圍為（－∞，－2]．（1）由題意得

，解得t≤－2．新知探究例3已知方程x2＋tx＋1＝0，根據(jù)下列條件，分別求出t的取值范圍．（1）兩個根都大于0；（2）兩個根都小于0；設(shè)方程x2＋tx＋1＝0的兩個根為x1，x2．所以t的取值范圍為[2，＋∞）．（2）

，解得t≥2．新知探究【想一想】是否存在t，使方程x2＋tx＋1＝0一個根大于0，另一個根小于0．由前面知道：若有解，兩根積為1是正數(shù)，所以不可能兩根異號的，即不存在實數(shù)t使得方程的一個根大于0，另一個根小于0．新知探究已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的兩個實數(shù)根，求x12＋x22＋4x1x2的值．1根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知x1＋x2＝3，x1x2＝－1．所以x12＋x22＋4x1x2＝（x1＋x2）2＋2x1x2＝9－2＝7．新知探究已知關(guān)于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有兩個實數(shù)根x1，x2．２（1）關(guān)于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，Δ＝（2k－1）2－4（k2－1）＝－4k＋5≥0，（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）若x1，x2滿足x12＋x22＝16＋x1x2，求實數(shù)k的值．解得k≤

，實數(shù)k的取值范圍為（－∞，]．新知探究已知關(guān)于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有兩個實數(shù)根x1，x2．２（2）關(guān)于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1．（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）若x1，x2滿足x12＋x22＝16＋x1x2，求實數(shù)k的值．∵x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝16＋x1x2，∴（1－2k）2－2（k2－1）＝16＋（k2－1），即k2－4k－12＝0，新知探究已知關(guān)于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有兩個實數(shù)根x1，x2．２解得k＝－2或k＝6（不符合題意，舍去）．（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）若x1，