2022北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2022北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)班級_________姓名_________學(xué)號_________成績_________考生須知1．本試卷共7頁，共五道大題，25道小題，答題卡共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘2．在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫班級、姓名、學(xué)號3．試卷答案一律填寫在答題卡上，在試卷上作答無效。4．在答題卡上，選擇題須用2B鉛筆將選中項(xiàng)涂黑涂滿，其他試題用黑色字跡簽字筆作答第I卷(共100分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分)1．已知空間向量，，則A． B． C．1 D．22．若直線與垂直，則A． B．2 C． D．3．若表示圓的方程，則的取值范圍是A． B． C． D．4．平行六面體中，設(shè)，，，若為的中點(diǎn)，則A． B． C． D．5．已知，，則線段上靠近的三等分點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．6．設(shè)直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則下列說法正確的是①若，則與所成的角為30°；②若與所成角為，則；③若，則平面與所成的角為60°；④若平面與所成的角為60°，則A．③ B．①③ C．②④ D．①③④7．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．8．三棱錐中，兩兩垂直，，，則點(diǎn)到平面的距離為A． B． C． D．9．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件 C．充分必要條件10．設(shè)為函數(shù)圖像上的動點(diǎn)，是圓(其中）上的動點(diǎn)，若最小值為1，則以所有滿足條件的點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形的面積為A． B． C． D．二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11．過點(diǎn)，的直線的傾斜角為_________．12．若，，為共面向量，則的值為_________．13．正方體中，分別為棱和的中點(diǎn)，則直線和所成角的余弦值為_________．14．平面直角坐標(biāo)系中，已知直線過點(diǎn)，與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則直線的方程為_________．15．如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，是等邊三角形，平面平面分別為棱的中點(diǎn)，為及其內(nèi)部的動點(diǎn)，滿足平面，給出下列四個結(jié)論：①直線與平面所成角為45°；②二面角的余弦值為；③點(diǎn)到平面的距離為定值；④線段長度的取值范圍是其中所有正確結(jié)論的序號是____________

三、解答題(本大題共3小題，共35分)16．(本小題滿分12分)已知向量，．(I)若，求；(Ⅱ)求證：對任意，與不垂直；(Ⅲ)若與軸平行，求，的值17．(本小題滿分13分)如圖，四棱錐中，平面，底面四邊形為矩形，，，，為中點(diǎn)，為靠近的四等分點(diǎn)．(I)求證：平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值：(Ⅲ)求點(diǎn)到平面的距離．18．(本小題滿分10分)用坐標(biāo)法解答以下問題如圖，已知矩形中，，，分別為的中點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)，________．從①②中任選其一，補(bǔ)充在橫線中并作答，如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分，①連接并延長交于點(diǎn)，求證：；②取上一點(diǎn)，使得，求證：三點(diǎn)共線．第Ⅱ卷(共50分)四、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)19．一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為2km的圓形區(qū)域內(nèi)。已知小島中心位于輪船正西4km處，陸上的港口位于小島中心正北3km處，如果輪船沿直線返航，那么它是否有觸礁危險(xiǎn)？________(填“是”或“否”)20．已知點(diǎn)，，，直線，若直線與線段有公共點(diǎn)，則的最大值為________；若直線與線段有公共點(diǎn)，則的取值范圍是________．21．已知單位向量，兩兩夾角均為，則________；的最小值為________．22．已知四棱錐中，底面四邊形是邊長為的正方形，，設(shè)．記直線與平面所成角為，二面角的大小為．給出下列四個結(jié)論：①若，則； ②若，則；③； ④其中所有正確結(jié)論的序號是________．五、解答題(本大題共3小題，共34分)23．(本小題滿分10分)平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心是，半徑是1，直線的方程為，點(diǎn)．(I)若與圓相切，求的值；(Ⅱ)若經(jīng)過點(diǎn)，求直線與圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)；(Ⅲ)若過點(diǎn)的直線截得圓的弦長，求的斜率的取值范圍．24．(本小題滿分14分)如圖，直三棱柱中，，，為棱的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(I)證明：平面；(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值；(III)棱上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)在平面內(nèi)？若存在，求的值；若不存在，說明理由。25．(本小題滿分10分)對于空間向量，定義，其中表示這三個數(shù)的最大值。(I)已知，．①寫出，寫出(用含的式子表示)；②當(dāng)，寫出的最小值及此時x的值；(Ⅱ)設(shè)，，求證：；(Ⅲ)在空間直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)是以為球心，1為半徑的球面上的動點(diǎn)，點(diǎn)是內(nèi)部的動點(diǎn)，直接寫出的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．

參考答案第I卷（共100分）一、選擇題（每小題4分，共40分）題號12345678910答案DBACBAACBD二、填空題（每小題5分，共25分）題號1112131415答案2或②③④三、解答題（共35分）16．解：（I）當(dāng)時，因?yàn)?，所以．（Ⅱ）因?yàn)橐虼耍瑢θ我?，與不垂直（Ⅲ）由題意知，即存在，使得則即，解得，17．解：（I）因?yàn)槠矫?，四邊形為矩形，因此兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以,,的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．，，，，，，．因?yàn)椋?，即因?yàn)樗裕从忠驗(yàn)?，因此平面（II）因?yàn)槠矫妫詾槠矫娴囊粋€法向量由（I）知為平面的一個法向量。設(shè)所求角為，由圖知為銳角，因此（Ⅲ）點(diǎn)到平面的距離18．解：以為原點(diǎn)，，的方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系．圖中直線的方程為．選擇①：設(shè)，則直線的方程為，聯(lián)立，得．所以又，所以．所以．選擇②：設(shè)，則因?yàn)?，所以所以直線的方程為所以所以，所以三點(diǎn)共線．第Ⅱ卷（共50分）四、填空題（每小題4分，共16分）題號19202122答案否2；；①五、解答題（共34分）23．解：圓的方程為．（I）由題意知，圓心到直線的距離解得或（Ⅱ）若直線過點(diǎn)，則，直線的方程為．聯(lián)立直線與圓的方程，，解得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1,1），（，）（Ⅲ）設(shè)直線斜率為，則直線的方程為，即．設(shè)圓心到直線的距離為，有因?yàn)椋裕?，得?4．解：（I）證明：連接,，由于,，故又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面（Ⅱ）如圖，取，中點(diǎn)，由于⊥平面,，因此平面，又因?yàn)?，所以，?,兩兩垂直