反比例函數(shù)的圖像和性質

反比例函數(shù)的圖像和性質數(shù)學zj版八年級下教學目標

課前回顧①表達式：y=

(k為常數(shù)，k≠0)②求解析式方法：待定系數(shù)法反比例函數(shù):正比例函數(shù):①表達式：②函數(shù)圖像：③性質：y=kx+b(k≠0)直線k>0,y隨x增大而增大；k<0,y隨x增大而減小.函數(shù)

作函數(shù)圖象的一般步驟：列表描點連線

描點法教學目標

課前回顧教學目標

活動探究1.根據(jù)下列步驟，在直角坐標系里畫出反比例函數(shù)的圖像：(1)列表.根據(jù)下表的x的取值，求出對應的y值，填入下表內(nèi).觀察x值得取法，從中你能得到哪些經(jīng)驗？

x-6-5-4-3-2-1123456y=x66321.51.21-6-3-1.5-2-1.2-1…………y=x6X關于原點對稱取點

（2）以表中各組對應值為點的坐標，在直角坐標系中描出相應的點.教學目標

活動探究123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy=x6

（3）在第一象限內(nèi)，按自變量從小到大順序，將點用光滑曲線連接，再在第三象限內(nèi)畫出圖像的另一個分支.教學目標

活動探究123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-556x2.在圖像的任一個分支上任意取一些點，如(3，2)，(-1，-6)，在直角坐標系中分別作出它們關于原點的對稱點.-6(3，2)(-1，-6)(-3，-2)(1，6)你發(fā)現(xiàn)了什么？圖像具有對稱性嗎？結論：圖像上的點關于原點中心對稱.3.在同一個直角坐標系中畫出反比例函數(shù)和的圖像，比較這兩函數(shù)的圖像.教學目標

活動探究y=x6y=

x6

xy=x6y=

x61234566-1-2-3-4-5-6……

（1）列表：關于原點對稱取點.123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx

xy=x6y=

x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy16233241.551.2616-1-6-2-3-3-1.5-2-4-5-1.2-6-1…………-663-32-21.5-1.51.2-1.21-1……y=x6y=

x6一、三象限二、四象限①圖象是由兩支曲線組成的；教學目標

探究結果反比例函數(shù)反比例函數(shù)的圖像：②圖象上的點關于原點中心對稱；

反比例函數(shù)的圖像的位置：

教學目標

探究結果教學目標

新課講解反比例函數(shù)（k≠0)的圖像由兩個分支組成的曲線.當k>0時，圖像在第一、三象限；當k<0時，圖像在第二、四象限.一般地，反比例函數(shù)的圖像有以下特征：y=(k≠0)xk反比例函數(shù)（k≠0)的圖像關于原點成中心對稱.從畫反比例函數(shù)圖象看,描點法還應注意什么?

反比例函數(shù)圖象畫法步驟：列表描點連線

描點法注意：①列x與y的對應值表時，X的值不能為零，但仍可以零的基礎，左右均勻、對稱地取值。注意：②描點時自左住右用光滑曲線順次連結，切忌用折線。注意：③兩個分支合起來才是反比例函數(shù)圖象。教學目標

小試牛刀

二,四91

m<4

三k=-5<0,在二四象限.將x=-3帶入方程求解.二四象限的k<0,即m-4<0.

教學目標

小試牛刀5.若函數(shù)y=2xm2-3是反比例函數(shù)，函數(shù)圖象在第二、四象限，求m的值.

雙曲線無限接近于x、y軸,但永遠不會與坐標軸(x和y軸)相交.解:∵該函數(shù)為反比例函數(shù)∴m2-3=-1又∵該函數(shù)圖象在二四象限解得m=2或m=-2.∴m<0∴m=-2.

雙曲線無限接近于x、y軸,但永遠不會與坐標軸(x和y軸)相交.教學目標

小試結論xy0

yx0

反比例函數(shù)的圖像性質：y=(k≠0)xk教學目標

例題講解例1：已知反比例函數(shù)的圖象的一支如圖，它經(jīng)過點B(-4，2).y=—(k≠0)Kx(1)判斷k是正數(shù)還是負數(shù);B(-4,2).Oxy-8-6-4-26284-4-4-2-36842∵由圖可知，該反比例函數(shù)的圖像的一支在第二象限∴該圖象上的點的橫坐標和縱坐標異號∴k=xy<0.解：教學目標

例題講解例1：已知反比例函數(shù)的圖象的一支如圖，它經(jīng)過點B(-4，2).(2)求這個反比例函數(shù)的解析式;y=—(k≠0)KxB(-4,2).Oxy-8-6-4-26284-4-4-2-36842∵該反比例函數(shù)的圖象過B(-4,2)∴將x=-4,y=2帶人,得解得k=-8∴該反比例函數(shù)解析式：y=—Kx-4=—K2y=—-8x解：教學目標

例題講解(3)補畫這個反比例函數(shù)圖象的另一支.教學目標

例題講解A.B(-4,2).D.C.Oxy-8-6-4-26284-4-4-2-36842B

′(4,-2)..C

′.D′.A

′在圖象上分別取A,B,C,D,作它們關于原點中心對稱的點A’,B’,C’,D’,然后用光滑的曲線將它們依次連接，這樣就得到該函數(shù)的圖像的另一支.解：反比例函數(shù)

圖象圖象的位置圖象的對稱性在圖像所在每一象限內(nèi)，當x增大時y的變化規(guī)律（k>0）（k<0）y=xky=xkxy0yx0兩分支關于原點中心對稱兩分支關于原點中心對稱第一、三象限第二、四象限??教學目標

填一填

…-6-5-4-3-2-1123456…

…-1-2-3-66321…第三象限第一象限-1.2-1.51.51.2X的值從小到大X的值從小到大y的值從大到小y的值從大到小y=x6xy01.當k>0時,每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減??；y=xk(k>0)

…-6-5-4-3-2-1123456…

…1236-6-3-2-1…第二象限第四象限1.21.5-1.5-1.2y=

x6yxyx6y=02.當k<0時,每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大。y=xk(k<0)y的值從小到大y的值從小到大X的值從小到大X的值從小到大教學目標

新課講解一般地，反比例函數(shù)的圖像有以下特征：y=(k≠0)xk

當k>0時，在圖像所在的每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當k<0時，在圖像所在的每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；反比例函數(shù)

圖象圖象的位置圖象的對稱性在圖像所在每一象限內(nèi)，當x增大時y的變化規(guī)律（k>0）（k<0）y=xky=xkxy0yx0兩分支關于原點中心對稱兩分支關于原點中心對稱第一、三象限第二、四象限k＞0，在每個象限y隨x的增大而減??；k＜0，在每個象限y隨x的增大而增大．反比例函數(shù)的圖象與性質:正、反比例函數(shù)的圖象與性質的比較：正比例函數(shù)反比例函數(shù)解析式增減性直線雙曲線k＞0，一、三象限；k＜0，二、四象限．k＞0,y隨x增大而增大；k＞0，一、三象限；k＜0，二、四象限．k＜0,y隨x增大而減?。甼＞0，在每個象限y隨x的增大而減小；k＜0，在每個象限y隨x的增大而增大．圖象位置教學目標

做一做

用”>”或”<”填空：π>0,y隨x增大而減小.

（1）已知x1,y1和x2,y2是反比例函數(shù)的兩對自變量與函數(shù)的對應值.若x1<x2<0，則0

y1

y2.

（2）已知x1,y1和x2,y2是反比例函數(shù)的兩對自變量與函數(shù)的對應值.若x1>x2>0，則0

y1

y2.y=xπy=-(a≠0)xa2>x1<x2<0,在第三象限，y<0.-a2<0,y隨x增大而增大.x1>x2>0,在第四象限，y<0.>>>

k=-2<0,圖象在第二四象限，第二象限內(nèi)y的值都大于第四象限y的值y3>y1.y3>y2.k=-2<0,在每一象限y隨x增大而增大.y2>y1.y3>y2>y1y3>y2>y1

例2：從A市到B市列車的行駛里程為120千米.假設火車勻速行駛，記火車行駛的時間為t小時，速度為ｖ千米/時，且速度限定為不超過160千米/時。（1）求v關于t的函數(shù)解析式和自變量t的取值范圍；解：（1）從A市到B市列車的行駛里程為120千米,

∴所求的函數(shù)解析式為，t≥—43自變量t的取值范圍是∵v隨t的增大而減小，∴由v≤160，得t≥—43教學目標

例題講解V＝—t120⑵畫出所求函數(shù)的圖象；V＝—(t≥0.75)t120t(時)0.7511.251.51.752...v(千米/時)...①列表160120968068.27560②描點17515012510075502500.7511.251.51.752③連線 ⑶從A市開出一列火車，在40分內(nèi)（包括40分）到達B市可能嗎？在50分內(nèi)（包括50分）呢？如有可能，此時對火車的行駛速度有什么要求？因為自變量t的取值范圍是，即在題設條件下，火車到B市的最短時間為45分，所以火車不可能在40分內(nèi)到達B市.在50分內(nèi)到達是有可能的，此時由

≤t≤，可得144≤ｖ≤160.

t≥—43—43—65解：

例3：已知y與x2成反比例,并且當x=3時y=4，求x=1.5時y的值.教學目標

例題講解解：∵y與x2成反比例

∴設該反比例函數(shù)解析式設為：∴將x=3時y=4帶入解析式，得k=4*32=36∴該反比例函數(shù)的解析式為：∴當x=1.5時，

∴此時y=16.

教學目標

例題講解30例4：甲乙兩地相距100km，一輛汽車從甲地開往乙地，把汽車到達乙地所用的時間y(h)表示為汽車的平均速度x(km/h)的函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象大致是（）C∵路程=速度×時間∴100=xy,即x和y成反比關系∵k=100>0,圖象在第一象限;速度x只能為正數(shù)∴選C.1、下列反比例函數(shù)的圖象分別在哪個象限？⑴⑵y=x3y=-x1教學目標

鞏固提升∴圖像在第一、三象限解:(1)∵k=3>0(2)∵k=-1<0∴圖像在第二、四象限

y=xk教學目標

鞏固提升解:

教學目標

鞏固提升

∵k=5>0∴圖象在第一三象限,在第一象限的y的值都大于0,且y隨x的增大而減小,x=0,y=1;x>0時,0<y<1.<<∴x≤5,圖象在第一三象限.∴y>1或y<0>0x<0時，第一象限，y隨x的增大而減小,當x=5時，y最小且y=1，∴y>1;0<x<5時,y>1.在第三象限的y的值x的增大而減小,且y的值都小于0即y<0.

教學目標

鞏固提升∵k=-12<0,x>-3∴圖象在第二四象限.x>0，在第四象限，此時y的值恒小于0；-3<x<0,y隨x的增大而增大，在-3時y有最小值，y=4,∴此象限內(nèi)y>4.∴y>4或y<040

BACDD教學目標

鞏固提升設k>0∴反比例函數(shù)：圖象在第一、三象限.一次函數(shù)：遞減函數(shù).D正確.∴反比例函數(shù)：圖象在第二、四象限.一次函數(shù)：遞增函數(shù).設k<0P(m,n)xoy

P1(3,2)P2(1,6)xoyP(m,n)AxoyP(m,n)AS=︳mn︱＝︳k︱教學目標

知識擴展任意一組變量的乘積是一個定值，即xy=kP(m,n)xoy

AB結論：長方形面積S=︳mn︱＝︳k︱三角形面積

教學目標

擴展練習∵拋物線的一支在第二象限

解得k=2或k=-2.

∵陰影部分面積為11.如圖,點P是反比例函數(shù)圖象上的一點