反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)數(shù)學(xué)zj版八年級(jí)下教學(xué)目標(biāo)

課前回顧①表達(dá)式：y=

(k為常數(shù)，k≠0)②求解析式方法：待定系數(shù)法反比例函數(shù):正比例函數(shù):①表達(dá)式：②函數(shù)圖像：③性質(zhì)：y=kx+b(k≠0)直線k>0,y隨x增大而增大；k<0,y隨x增大而減小.函數(shù)

作函數(shù)圖象的一般步驟：列表描點(diǎn)連線

描點(diǎn)法教學(xué)目標(biāo)

課前回顧教學(xué)目標(biāo)

活動(dòng)探究1.根據(jù)下列步驟，在直角坐標(biāo)系里畫出反比例函數(shù)的圖像：(1)列表.根據(jù)下表的x的取值，求出對(duì)應(yīng)的y值，填入下表內(nèi).觀察x值得取法，從中你能得到哪些經(jīng)驗(yàn)？

x-6-5-4-3-2-1123456y=x66321.51.21-6-3-1.5-2-1.2-1…………y=x6X關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱取點(diǎn)

（2）以表中各組對(duì)應(yīng)值為點(diǎn)的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn).教學(xué)目標(biāo)

活動(dòng)探究123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy=x6

（3）在第一象限內(nèi)，按自變量從小到大順序，將點(diǎn)用光滑曲線連接，再在第三象限內(nèi)畫出圖像的另一個(gè)分支.教學(xué)目標(biāo)

活動(dòng)探究123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-556x2.在圖像的任一個(gè)分支上任意取一些點(diǎn)，如(3，2)，(-1，-6)，在直角坐標(biāo)系中分別作出它們關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).-6(3，2)(-1，-6)(-3，-2)(1，6)你發(fā)現(xiàn)了什么？圖像具有對(duì)稱性嗎？結(jié)論：圖像上的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.3.在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫出反比例函數(shù)和的圖像，比較這兩函數(shù)的圖像.教學(xué)目標(biāo)

活動(dòng)探究y=x6y=

x6

xy=x6y=

x61234566-1-2-3-4-5-6……

（1）列表：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱取點(diǎn).123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx

xy=x6y=

x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy16233241.551.2616-1-6-2-3-3-1.5-2-4-5-1.2-6-1…………-663-32-21.5-1.51.2-1.21-1……y=x6y=

x6一、三象限二、四象限①圖象是由兩支曲線組成的；教學(xué)目標(biāo)

探究結(jié)果反比例函數(shù)反比例函數(shù)的圖像：②圖象上的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；

反比例函數(shù)的圖像的位置：

教學(xué)目標(biāo)

探究結(jié)果教學(xué)目標(biāo)

新課講解反比例函數(shù)（k≠0)的圖像由兩個(gè)分支組成的曲線.當(dāng)k>0時(shí)，圖像在第一、三象限；當(dāng)k<0時(shí)，圖像在第二、四象限.一般地，反比例函數(shù)的圖像有以下特征：y=(k≠0)xk反比例函數(shù)（k≠0)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.從畫反比例函數(shù)圖象看,描點(diǎn)法還應(yīng)注意什么?

反比例函數(shù)圖象畫法步驟：列表描點(diǎn)連線

描點(diǎn)法注意：①列x與y的對(duì)應(yīng)值表時(shí)，X的值不能為零，但仍可以零的基礎(chǔ)，左右均勻、對(duì)稱地取值。注意：②描點(diǎn)時(shí)自左住右用光滑曲線順次連結(jié)，切忌用折線。注意：③兩個(gè)分支合起來(lái)才是反比例函數(shù)圖象。教學(xué)目標(biāo)

小試牛刀

二,四91

m<4

三k=-5<0,在二四象限.將x=-3帶入方程求解.二四象限的k<0,即m-4<0.

教學(xué)目標(biāo)

小試牛刀5.若函數(shù)y=2xm2-3是反比例函數(shù)，函數(shù)圖象在第二、四象限，求m的值.

雙曲線無(wú)限接近于x、y軸,但永遠(yuǎn)不會(huì)與坐標(biāo)軸(x和y軸)相交.解:∵該函數(shù)為反比例函數(shù)∴m2-3=-1又∵該函數(shù)圖象在二四象限解得m=2或m=-2.∴m<0∴m=-2.

雙曲線無(wú)限接近于x、y軸,但永遠(yuǎn)不會(huì)與坐標(biāo)軸(x和y軸)相交.教學(xué)目標(biāo)

小試結(jié)論xy0

yx0

反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)：y=(k≠0)xk教學(xué)目標(biāo)

例題講解例1：已知反比例函數(shù)的圖象的一支如圖，它經(jīng)過點(diǎn)B(-4，2).y=—(k≠0)Kx(1)判斷k是正數(shù)還是負(fù)數(shù);B(-4,2).Oxy-8-6-4-26284-4-4-2-36842∵由圖可知，該反比例函數(shù)的圖像的一支在第二象限∴該圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)異號(hào)∴k=xy<0.解：教學(xué)目標(biāo)

例題講解例1：已知反比例函數(shù)的圖象的一支如圖，它經(jīng)過點(diǎn)B(-4，2).(2)求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式;y=—(k≠0)KxB(-4,2).Oxy-8-6-4-26284-4-4-2-36842∵該反比例函數(shù)的圖象過B(-4,2)∴將x=-4,y=2帶人,得解得k=-8∴該反比例函數(shù)解析式：y=—Kx-4=—K2y=—-8x解：教學(xué)目標(biāo)

例題講解(3)補(bǔ)畫這個(gè)反比例函數(shù)圖象的另一支.教學(xué)目標(biāo)

例題講解A.B(-4,2).D.C.Oxy-8-6-4-26284-4-4-2-36842B

′(4,-2)..C

′.D′.A

′在圖象上分別取A,B,C,D,作它們關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)A’,B’,C’,D’,然后用光滑的曲線將它們依次連接，這樣就得到該函數(shù)的圖像的另一支.解：反比例函數(shù)

圖象圖象的位置圖象的對(duì)稱性在圖像所在每一象限內(nèi)，當(dāng)x增大時(shí)y的變化規(guī)律（k>0）（k<0）y=xky=xkxy0yx0兩分支關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱兩分支關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱第一、三象限第二、四象限??教學(xué)目標(biāo)

填一填

…-6-5-4-3-2-1123456…

…-1-2-3-66321…第三象限第一象限-1.2-1.51.51.2X的值從小到大X的值從小到大y的值從大到小y的值從大到小y=x6xy01.當(dāng)k>0時(shí),每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減??；y=xk(k>0)

…-6-5-4-3-2-1123456…

…1236-6-3-2-1…第二象限第四象限1.21.5-1.5-1.2y=

x6yxyx6y=02.當(dāng)k<0時(shí),每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大。y=xk(k<0)y的值從小到大y的值從小到大X的值從小到大X的值從小到大教學(xué)目標(biāo)

新課講解一般地，反比例函數(shù)的圖像有以下特征：y=(k≠0)xk

當(dāng)k>0時(shí)，在圖像所在的每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k<0時(shí)，在圖像所在的每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；反比例函數(shù)

圖象圖象的位置圖象的對(duì)稱性在圖像所在每一象限內(nèi)，當(dāng)x增大時(shí)y的變化規(guī)律（k>0）（k<0）y=xky=xkxy0yx0兩分支關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱兩分支關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱第一、三象限第二、四象限k＞0，在每個(gè)象限y隨x的增大而減??；k＜0，在每個(gè)象限y隨x的增大而增大．反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì):正、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的比較：正比例函數(shù)反比例函數(shù)解析式增減性直線雙曲線k＞0，一、三象限；k＜0，二、四象限．k＞0,y隨x增大而增大；k＞0，一、三象限；k＜0，二、四象限．k＜0,y隨x增大而減?。甼＞0，在每個(gè)象限y隨x的增大而減??；k＜0，在每個(gè)象限y隨x的增大而增大．圖象位置教學(xué)目標(biāo)

做一做

用”>”或”<”填空：π>0,y隨x增大而減小.

（1）已知x1,y1和x2,y2是反比例函數(shù)的兩對(duì)自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值.若x1<x2<0，則0

y1

y2.

（2）已知x1,y1和x2,y2是反比例函數(shù)的兩對(duì)自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值.若x1>x2>0，則0

y1

y2.y=xπy=-(a≠0)xa2>x1<x2<0,在第三象限，y<0.-a2<0,y隨x增大而增大.x1>x2>0,在第四象限，y<0.>>>

k=-2<0,圖象在第二四象限，第二象限內(nèi)y的值都大于第四象限y的值y3>y1.y3>y2.k=-2<0,在每一象限y隨x增大而增大.y2>y1.y3>y2>y1y3>y2>y1

例2：從A市到B市列車的行駛里程為120千米.假設(shè)火車勻速行駛，記火車行駛的時(shí)間為t小時(shí)，速度為ｖ千米/時(shí)，且速度限定為不超過160千米/時(shí)。（1）求v關(guān)于t的函數(shù)解析式和自變量t的取值范圍；解：（1）從A市到B市列車的行駛里程為120千米,

∴所求的函數(shù)解析式為，t≥—43自變量t的取值范圍是∵v隨t的增大而減小，∴由v≤160，得t≥—43教學(xué)目標(biāo)

例題講解V＝—t120⑵畫出所求函數(shù)的圖象；V＝—(t≥0.75)t120t(時(shí))0.7511.251.51.752...v(千米/時(shí))...①列表160120968068.27560②描點(diǎn)17515012510075502500.7511.251.51.752③連線 ⑶從A市開出一列火車，在40分內(nèi)（包括40分）到達(dá)B市可能嗎？在50分內(nèi)（包括50分）呢？如有可能，此時(shí)對(duì)火車的行駛速度有什么要求？因?yàn)樽宰兞縯的取值范圍是，即在題設(shè)條件下，火車到B市的最短時(shí)間為45分，所以火車不可能在40分內(nèi)到達(dá)B市.在50分內(nèi)到達(dá)是有可能的，此時(shí)由

≤t≤，可得144≤ｖ≤160.

t≥—43—43—65解：

例3：已知y與x2成反比例,并且當(dāng)x=3時(shí)y=4，求x=1.5時(shí)y的值.教學(xué)目標(biāo)

例題講解解：∵y與x2成反比例

∴設(shè)該反比例函數(shù)解析式設(shè)為：∴將x=3時(shí)y=4帶入解析式，得k=4*32=36∴該反比例函數(shù)的解析式為：∴當(dāng)x=1.5時(shí)，

∴此時(shí)y=16.

教學(xué)目標(biāo)

例題講解30例4：甲乙兩地相距100km，一輛汽車從甲地開往乙地，把汽車到達(dá)乙地所用的時(shí)間y(h)表示為汽車的平均速度x(km/h)的函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象大致是（）C∵路程=速度×?xí)r間∴100=xy,即x和y成反比關(guān)系∵k=100>0,圖象在第一象限;速度x只能為正數(shù)∴選C.1、下列反比例函數(shù)的圖象分別在哪個(gè)象限？⑴⑵y=x3y=-x1教學(xué)目標(biāo)

鞏固提升∴圖像在第一、三象限解:(1)∵k=3>0(2)∵k=-1<0∴圖像在第二、四象限

y=xk教學(xué)目標(biāo)

鞏固提升解:

教學(xué)目標(biāo)

鞏固提升

∵k=5>0∴圖象在第一三象限,在第一象限的y的值都大于0,且y隨x的增大而減小,x=0,y=1;x>0時(shí),0<y<1.<<∴x≤5,圖象在第一三象限.∴y>1或y<0>0x<0時(shí)，第一象限，y隨x的增大而減小,當(dāng)x=5時(shí)，y最小且y=1，∴y>1;0<x<5時(shí),y>1.在第三象限的y的值x的增大而減小,且y的值都小于0即y<0.

教學(xué)目標(biāo)

鞏固提升∵k=-12<0,x>-3∴圖象在第二四象限.x>0，在第四象限，此時(shí)y的值恒小于0；-3<x<0,y隨x的增大而增大，在-3時(shí)y有最小值，y=4,∴此象限內(nèi)y>4.∴y>4或y<040

BACDD教學(xué)目標(biāo)

鞏固提升設(shè)k>0∴反比例函數(shù)：圖象在第一、三象限.一次函數(shù)：遞減函數(shù).D正確.∴反比例函數(shù)：圖象在第二、四象限.一次函數(shù)：遞增函數(shù).設(shè)k<0P(m,n)xoy

P1(3,2)P2(1,6)xoyP(m,n)AxoyP(m,n)AS=︳mn︱＝︳k︱教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)擴(kuò)展任意一組變量的乘積是一個(gè)定值，即xy=kP(m,n)xoy

AB結(jié)論：長(zhǎng)方形面積S=︳mn︱＝︳k︱三角形面積

教學(xué)目標(biāo)

擴(kuò)展練習(xí)∵拋物線的一支在第二象限

解得k=2或k=-2.

∵陰影部分面積為11.如圖,點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)