雙曲線的方程與性質

第6節(jié)雙曲線的方程與性質考試要求了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程及簡單的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).知

識

梳

理1.雙曲線的定義

平面內與兩個定點F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距離差的絕對值等于常數(小于|F1F2|且大于零)，則點的軌跡叫雙曲線.這兩個

叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫焦距.其數學表達式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}， |F1F2|＝2c，其中a，c為常數且a>0，c>0： (1)若

時，則集合P為雙曲線； (2)若a＝c時，則集合P為

； (3)若

時，則集合P為空集.定點a<c兩條射線a>c2.雙曲線的標準方程和幾何性質————————————————————————————x∈R，y≤－a或y≥a坐標軸原點A1(－a，0)，A2(a，0)———a2＋b2解析(1)因為||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的軌跡為兩條射線.(2)由雙曲線的定義知，應為雙曲線的一支，而非雙曲線的全部.(3)當m＞0，n＞0時表示焦點在x軸上的雙曲線，而m＜0，n＜0時則表示焦點在y軸上的雙曲線.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√答案C答案D解析2a＝6?|PF2|＝11.答案115.(選修2－1P62A6改編)經過點A(3，－1)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為________.考點一雙曲線的定義及其應用【例1】(1)(2020·北京朝陽區(qū)質檢)已知圓(x－2)2＋y2＝9的圓心為C.直線l過點M(－2，0)且與x軸不重合，l交圓C于A，B兩點，點A在點M，B之間.過點M作直線AC的平行線交直線BC于點P，則點P的軌跡是(

) A.橢圓的一部分

B.雙曲線的一部分 C.拋物線的一部分

D.圓的一部分解析

(1)∵MP∥AC，又CA＝CB＝3，∴∠BAC＝∠BMP＝∠MBP，∴PM＝PB，∴PM－PC＝PB－PC＝3<MC＝4，∴點P的軌跡是雙曲線的一部分.規(guī)律方法

“焦點三角形”中常用到的知識點及技巧(1)常用知識點：在“焦點三角形”中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義經常使用.(2)技巧：經常結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立它與|PF1||PF2|的聯系.提醒

利用雙曲線的定義解決問題，要注意三點①距離之差的絕對值.②2a＜|F1F2|.③焦點所在坐標軸的位置.解析

(1)由雙曲線方程，得a＝2，c＝4.設F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，根據雙曲線的定義|PF1|－|PF2|＝±2a，∴|PF1|＝|PF2|±2a＝8±4，∴|PF1|＝12或|PF1|＝4.(2)因為|AF2|－|AF1|＝8，|BF2|－|BF1|＝8，所以|AF2|＋|BF2|＝16＋|AB|＝22，所以△ABF2(F2為右焦點)的周長C＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝22＋6＝28，故選D.答案

(1)C

(2)D考點三雙曲線的幾何性質答案(1)2

(2)A答案(1)A

(2)