數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用 省賽獲獎(jiǎng)

2.3數(shù)學(xué)歸納法（一）數(shù)列中，已知，，求.

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)這樣敘述小孩子“學(xué)數(shù)字”的過(guò)程。他說(shuō)：小孩子識(shí)數(shù)，先學(xué)會(huì)數(shù)1，2，3；過(guò)些時(shí)候，能夠數(shù)到10了；又過(guò)些時(shí)候，會(huì)數(shù)到20，30，...，100了.但后來(lái)，他決不是這樣一段一段地增長(zhǎng)，而是飛躍前進(jìn).到了某一個(gè)時(shí)候，他領(lǐng)悟了，他會(huì)說(shuō)：“我什么數(shù)都會(huì)數(shù)了.”這一飛躍，竟從有限躍到了無(wú)限！怎樣會(huì)的？首先，他知道從頭數(shù)；其次，他知道一個(gè)一個(gè)按次序的數(shù)，而且不愁數(shù)了一個(gè)以后，下一個(gè)不會(huì)數(shù).也就是他領(lǐng)悟了下一個(gè)數(shù)的表達(dá)方式，可以由上一個(gè)數(shù)來(lái)決定.于是，他也就會(huì)數(shù)任何一個(gè)數(shù)了.

華羅庚教授高度評(píng)價(jià)了小孩的發(fā)現(xiàn)，他說(shuō)：設(shè)想一下，如果這個(gè)飛躍現(xiàn)象不出現(xiàn)，那么人們一輩子只能學(xué)數(shù)數(shù)了，而且人生有限，數(shù)目無(wú)窮，就是學(xué)了一輩子，也決不會(huì)學(xué)盡呢！骨牌全部倒下，需要哪些條件呢？

？第一塊骨牌倒下.若前一塊骨牌倒下，則后一塊骨牌也倒下.骨牌全部倒下.n取第一個(gè)值n=1時(shí)，命題成立.若n=k時(shí)命題成立，則n=k+1時(shí)命題也成立.對(duì)任意正整數(shù)n，命題成立.類(lèi)比數(shù)列中，已知，，證明.

第一塊骨牌倒下.若前一塊骨牌倒下，則后一塊骨牌也倒下.骨牌全部倒下.n取第一個(gè)值n=1時(shí)，命題成立.若n=k時(shí)命題成立，則n=k+1時(shí)命題也成立.對(duì)任意正整數(shù)n，命題成立.類(lèi)比當(dāng)n=1時(shí)，，命題成立.假設(shè)當(dāng)n=k

時(shí)，成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，也成立.

對(duì)于任意的正整數(shù)n，命題成立.當(dāng)n取第一個(gè)值n0（例如n0=1，2等）時(shí)結(jié)論正確.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確.命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.——數(shù)學(xué)歸納法公理數(shù)學(xué)歸納法公理是證明有關(guān)自然數(shù)命題的依據(jù).例1

用數(shù)學(xué)歸納法證明：若等差數(shù)列中，a1為首項(xiàng)，d為公差，則通項(xiàng)公式為

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即ak=a1+(k-1)d成立，那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有

ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+[(k+1)-1]d.即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.

證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a1，右邊=a1+0=a1，等式成立.根據(jù)（1）和（2）可知，對(duì)于任意等式都成立.命題：證明：假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，有

即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.

綜上，命題得證.

命題：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=12，等式成立，

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立，綜合（1）（2）可知，命題成立.數(shù)學(xué)歸納法是一種證明有關(guān)自然數(shù)命題的重要方法，主要有兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論：（1）先驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)，結(jié)論正確；（推理奠基）

找好起點(diǎn)，奠基才準(zhǔn).（2）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論正確，證明得到n=k+1時(shí)結(jié)論也正確；（推理依據(jù)）

用上假設(shè)，遞推才真.（3）根據(jù)（1）、（2）得出命題成立的結(jié)論.

寫(xiě)明結(jié)論，過(guò)程才全.例2

用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，

.證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即

，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.綜合（1）、（2）可知，結(jié)論當(dāng)時(shí)都成立.用到歸納假設(shè)湊出目標(biāo)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲、體會(huì)？數(shù)學(xué)思想：類(lèi)比思想；歸納思想；遞推思想.數(shù)學(xué)方法：數(shù)學(xué)歸納法（兩步驟，一結(jié)論）.數(shù)學(xué)知識(shí)：將無(wú)限的歸納過(guò)程轉(zhuǎn)化為有限的演繹步驟.課后作業(yè)1、閱讀作