第7章 第1節(jié)　簡(jiǎn)單幾何體、直觀圖與三視圖 導(dǎo)學(xué)案含教學(xué)設(shè)計(jì)案例教案說(shuō)課稿教學(xué)反思北師大版（理）

第七章立體幾何[深研高考·備考導(dǎo)航]為教師備課、授課提供豐富教學(xué)資源[五年考情]考點(diǎn)2016年2015年2014年2013年2012年三視圖、空間幾何體的表面積和體積全國(guó)卷Ⅰ·T6全國(guó)卷Ⅱ·T6全國(guó)卷Ⅲ·T9全國(guó)卷Ⅲ·T10全國(guó)卷Ⅰ·T6全國(guó)卷Ⅰ·T11全國(guó)卷Ⅱ·T6全國(guó)卷Ⅱ·T9全國(guó)卷Ⅰ·T12全國(guó)卷Ⅱ·T6全國(guó)卷Ⅰ·T6全國(guó)卷Ⅰ·T8全國(guó)卷Ⅱ·T7全國(guó)卷·T7全國(guó)卷·T11點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及空間向量的應(yīng)用全國(guó)卷Ⅰ·T11全國(guó)卷Ⅰ·T18全國(guó)卷Ⅱ·T14全國(guó)卷Ⅱ·T19全國(guó)卷Ⅲ·T19全國(guó)卷Ⅰ·T18全國(guó)卷Ⅱ·T19全國(guó)卷Ⅰ·T19全國(guó)卷Ⅱ·T11全國(guó)卷Ⅱ·T18全國(guó)卷Ⅰ·T18全國(guó)卷Ⅱ·T4全國(guó)卷Ⅱ·T18全國(guó)卷·T19[重點(diǎn)關(guān)注]綜合近5年全國(guó)卷高考試題，我們發(fā)現(xiàn)高考命題在本章呈現(xiàn)以下規(guī)律：1．從考查題型、題量?jī)蓚€(gè)方面來(lái)看：一般是1～2個(gè)客觀題，一個(gè)解答題；從考查分值看，該部分大約占17～22分．2．從考查知識(shí)點(diǎn)看：主要考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖及其表面積、體積、空間中線線、線面、面面的平行和垂直的關(guān)系以及空間向量在解決空間垂直、平行的證明，空間角的計(jì)算方面的應(yīng)用，突出對(duì)空間想象能力、邏輯推理能力和正確迅速運(yùn)算的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查．3．從命題思路上看：(1)空間幾何體的三視圖及其表面積、體積的計(jì)算，主要以小題的形式考查．(2)空間點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系的判斷與證明，特別是線線、線面、面面的平行與垂直，主要以解答題的形式考查．(3)構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系利用空間向量對(duì)空間線線角、線面角、二面角求解，主要以解答題的形式考查．(4)根據(jù)近5年的高考試題，我們發(fā)現(xiàn)兩大熱點(diǎn)：①空間幾何體的三視圖及其表面積、體積的計(jì)算，空間位置關(guān)系有關(guān)命題的辨別．②空間平行、垂直關(guān)系的證明及利用空間向量計(jì)算空間角．[導(dǎo)學(xué)心語(yǔ)]根據(jù)近5年全國(guó)卷高考命題特點(diǎn)和規(guī)律，復(fù)習(xí)本章時(shí)，要注意以下幾個(gè)方面：1．深刻理解以下概念、性質(zhì)、定理及公式．簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征；三視圖及其表面積、體積公式；三個(gè)公理及線面、面面平行和垂直的八個(gè)判定定理與性質(zhì)定理；空間三種角的概念及計(jì)算公式．2．抓住空間位置關(guān)系中平行、垂直這一核心內(nèi)容進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，不僅要注意平行與平行、垂直與垂直間的轉(zhuǎn)化，而且要重視平行與垂直間的化歸轉(zhuǎn)化．解題時(shí)要重視嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性訓(xùn)練，避免因解題步驟混亂、條件的缺失等導(dǎo)致失分．3．重視向量的工具性作用，空間向量在解空間角中的應(yīng)用是歷年高考中的熱點(diǎn)．抓住空間位置關(guān)系的特征，恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，利用向量運(yùn)算求解空間角，降低思維難度．4．把握命題新動(dòng)向，空間平行與垂直的交匯，存在性折疊問(wèn)題，空間角的探索與開(kāi)放值得重視．第一節(jié)簡(jiǎn)單幾何體、直觀圖與三視圖[考綱傳真]1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.3.會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.4.會(huì)畫某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不做嚴(yán)格要求)．1．簡(jiǎn)單幾何體(1)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征①圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到．②圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)得到．③圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到．④球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到．(2)簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特征①棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形．側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱．②棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共點(diǎn)的三角形．底面是正多邊形，且各側(cè)面全等的棱錐叫作正棱錐．③棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形．2．直觀圖(1)畫法：常用斜二測(cè)畫法．(2)規(guī)則：①在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy，畫直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)x′軸和y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°，它們確定的平面表示水平平面；②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸和y′軸的線段；③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的eq\f(1,2).3．三視圖(1)幾何體的三視圖包括主視圖、左視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．(2)三視圖的畫法①基本要求：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等．②畫法規(guī)則：主左一樣高，主俯一樣長(zhǎng)，俯左一樣寬；看不到的線畫虛線．1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的∠A時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝90°.()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改編)如圖7-1-1，長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是()圖7-1-1A．棱臺(tái) B．四棱柱C．五棱柱 D．簡(jiǎn)單組合體C[由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱．]3．(2014·全國(guó)卷Ⅰ)如圖7-1-2，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是()圖7-1-2A．三棱錐B．三棱柱C．四棱錐D．四棱柱B[由題知，該幾何體的三視圖為一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為如圖所示的三棱柱．]4．(2016·天津高考)將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的主視圖與俯視圖如圖7-1-3所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()圖7-1-3B[由幾何體的主視圖和俯視圖可知該幾何體為圖①，故其側(cè)(左)視圖為圖②.]5．以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于________．2π[由題意得圓柱的底面半徑r＝1，母線l＝1，所以圓柱的側(cè)面積S＝2πrl＝2π.]簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)下列說(shuō)法正確的是()A．有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形C．有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)(2)以下命題：①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；④一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3(1)B(2)B[(1)如圖①所示，可知A錯(cuò)．如圖②，當(dāng)PD⊥底面ABCD，且四邊形ABCD為矩形時(shí)，則四個(gè)側(cè)面均為直角三角形，B正確．①②根據(jù)棱臺(tái)的定義，可知C，D不正確．(2)由圓錐、圓臺(tái)、圓柱的定義可知①②錯(cuò)誤，③正確．對(duì)于命題④，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，④不正確．][規(guī)律方法]1.關(guān)于簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種簡(jiǎn)單幾何體的概念，要善于通過(guò)舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一個(gè)反例即可．2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系．3．因?yàn)槔?圓)臺(tái)是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問(wèn)題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略．[變式訓(xùn)練1]下列結(jié)論正確的是()A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線D[如圖①知，A不正確．如圖②，兩個(gè)平行平面與底面不平行時(shí)，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，則B不正確．①②C錯(cuò)誤．若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)．由母線的概念知，選項(xiàng)D正確．]簡(jiǎn)單幾何體的三視圖eq\o(?)角度1由簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖判斷三視圖一幾何體的直觀圖如圖7-1-4，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962325】圖7-1-4ABCDB[該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個(gè)五面體，下面是一個(gè)長(zhǎng)方體，且五面體的一個(gè)面即為長(zhǎng)方體的一個(gè)面，五面體最上面的棱的兩端點(diǎn)在底面的射影距左右兩邊距離相等，因此選項(xiàng)B適合．]eq\o(?)角度2已知三視圖，判斷幾何體(1)某四棱錐的三視圖如圖7-1-5所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱棱長(zhǎng)為()圖7-1-5A．1B．eq\r(2)C.eq\r(3)D．2(2)(2016·全國(guó)卷Ⅱ)如圖7-1-6是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()圖7-1-6A．20πB．24πC．28πD．32π(1)C(2)C[(1)由三視圖知，該四棱錐的直觀圖如圖所示，其中PA⊥平面ABCD.又PA＝AD＝AB＝1，且底面ABCD是正方形，所以PC為最長(zhǎng)棱．連接AC，則PC＝eq\r(AC2＋PA2)＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3).(2)由三視圖可知圓柱的底面直徑為4，母線長(zhǎng)(高)為4，所以圓柱的側(cè)面積為2π×2×4＝16π，底面積為π·22＝4π；圓錐的底面直徑為4，高為2eq\r(3)，所以圓錐的母線長(zhǎng)為eq\r(2\r(3)2＋22)＝4，所以圓錐的側(cè)面積為π×2×4＝8π.所以該幾何體的表面積為S＝16π＋4π＋8π＝28π.][規(guī)律方法]1.由實(shí)物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖，按照“主左一樣高，主俯一樣長(zhǎng)，俯左一樣寬”的特點(diǎn)確認(rèn)．2．根據(jù)三視圖還原幾何體．(1)對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的三視圖要熟悉．(2)明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖．(3)根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)．易錯(cuò)警示：對(duì)于簡(jiǎn)單組合體的三視圖，應(yīng)注意它們的交線的位置，區(qū)分好實(shí)線和虛線的不同.簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖(2017·桂林模擬)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2D[如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a，所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.][規(guī)律方法]1.畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測(cè)畫法，其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標(biāo)軸成45°)和“二測(cè)”(平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，平行于x軸和z軸的線段長(zhǎng)度不變)來(lái)掌握．對(duì)直觀圖的考查有兩個(gè)方向，一是已知原圖形求直觀圖的相關(guān)量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關(guān)量．2．按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．[變式訓(xùn)練2](2017·邯鄲三次聯(lián)考)有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖7-1-7所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為_(kāi)_______．圖7-1-72＋eq\f(\r(2),2)[如圖①，在直觀圖中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E.①②在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).又四邊形AECD為矩形，AD＝EC＝1，∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此還原為原圖形如圖②所示，是直角梯形A′B′C′D′.在梯形A′B′C′D′中，A′D′＝1，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，A′B′＝2，∴這塊菜地的面積S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).][思想與方法]1．畫三視