補(bǔ)上一課立體幾何中的翻折及動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題

補(bǔ)上一課立體幾何中的翻折及動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題知

識(shí)

拓

展1.翻折問(wèn)題是立體幾何的一類(lèi)典型問(wèn)題，是考查實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力的好素材.解答翻折問(wèn)題的關(guān)鍵在于畫(huà)好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些發(fā)生了變化，哪些沒(méi)有發(fā)生變化.解題時(shí)我們要依據(jù)這些變化的與未變化的量來(lái)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.而表面展開(kāi)問(wèn)題是折疊問(wèn)題的逆向思維、逆向過(guò)程，一般地，涉及多面體表面的距離問(wèn)題不妨將它展開(kāi)成平面圖形試一試.2.在立體幾何中，某些點(diǎn)、線、面依一定的規(guī)則運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成各式各樣的軌跡，探求空間軌跡與求平面軌跡類(lèi)似，應(yīng)注意幾何條件，善于基本軌跡轉(zhuǎn)化.對(duì)于較為復(fù)雜的軌跡，常常要分段考慮，注意特定情況下的動(dòng)點(diǎn)的位置，然后對(duì)任意情形加以分析判定，也可轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.對(duì)每一道軌跡命題必須特別注意軌跡的純粹性與完備性.3.立體幾何中的最值問(wèn)題一般是指有關(guān)距離的最值、角的最值或面積的最值的問(wèn)題.其一般方法有： (1)幾何法：通過(guò)證明或幾何作圖，確定圖形中取得最值的特殊位置，再計(jì)算它的值；(2)代數(shù)方法：分析給定圖形中的數(shù)量關(guān)系，選取適當(dāng)?shù)淖宰兞考澳繕?biāo)函數(shù)，確定函數(shù)解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值.解(1)法一在梯形ABCD中，連接BD交AE于點(diǎn)N，∴BC2＋BD2＝CD2，故BC⊥BD.又BC∥AE，∴AE⊥BD，從而AE⊥BN，AE⊥MN，且BN∩MN＝N，∴AE⊥平面MNB，又MB?平面MNB，∴AE⊥MB.得ME2＋CE2＝MC2，故CE⊥ME.又CE⊥BE，且ME∩BE＝E，∴CE⊥平面BEM.∵M(jìn)B?平面BEM，∴CE⊥MB，又AB∥CE，∴AB⊥MB.(1)證明在題中圖1的△ABE中，題型二立體幾何中的軌跡問(wèn)題【例2】(1)已知在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1與平面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，E為CC1的中點(diǎn)，P在對(duì)角面BB1D1D所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若EP與AC成30°角，則點(diǎn)P的軌跡為(

) A.圓

B.拋物線

C.雙曲線

D.橢圓 (2)(2019·寧波期中)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是平面AC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，

若點(diǎn)P到直線A1D1的距離等于點(diǎn)P到直線CD的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是(

) A.拋物線

B.雙曲線

C.橢圓

D.直線

解析

(1)因?yàn)樵谄叫辛骟wABCD－A1B1C1D1中，AA1與平面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，所以該平面六面體ABCD－A1B1C1D1是一個(gè)底面為菱形的直四棱柱，所以對(duì)角面BB1D1D⊥底面ABCD，AC⊥對(duì)角面BB1D1D.取AA1的中點(diǎn)F，則EF∥AC，因?yàn)镋P與AC成30°角，所以EP與EF成30°角.設(shè)EF與對(duì)角面BB1D1D的交點(diǎn)為O，則EO⊥對(duì)角面BB1D1D，所以點(diǎn)P的軌跡是以EO為軸的一個(gè)圓錐的底面，故選A.(2)如圖，以A為原點(diǎn)，AB為x軸、AD為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)P(x，y)，作PE⊥AD于E、PF⊥A1D1于F，連接EF，易知|PF|2＝|PE|2＋|EF|2＝x2＋1，又作PN⊥CD于N，則|PN|