工程力學(xué) 彎曲

工程力學(xué)彎曲第一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日

橫力彎曲

(bendingbytransverseforce)━━梁的橫截面上既有彎矩又有剪力；相應(yīng)地，橫截面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。第二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日Ⅰ.純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力計算公式的推導(dǎo)

(1)

幾何方面━━藉以找出與橫截面上正應(yīng)力相對應(yīng)的縱向線應(yīng)變在該橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律。表面變形情況在豎直平面內(nèi)發(fā)生純彎曲的梁(圖a)：(a)第三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日

1.彎曲前畫在梁的側(cè)面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb(圖b)，在梁彎曲后成為弧線(圖a)，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長；第四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日

2.相鄰橫向線mm和nn(圖b)在梁彎曲后仍為直線(圖a)，只是相對旋轉(zhuǎn)了一個角度，且與弧線aa和bb保持正交。第五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日

根據(jù)表面變形情況，并設(shè)想梁的側(cè)面上的橫向線mm和nn是梁的橫截面與側(cè)表面的交線，可作出如下推論(假設(shè))：平面假設(shè)梁在純彎曲時，其原來的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。此假設(shè)已為彈性力學(xué)的理論分析結(jié)果所證實。第六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日橫截面的轉(zhuǎn)動使梁凹入一側(cè)的縱向線縮短，凸出一側(cè)的縱向線伸長，從而根據(jù)變形的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向線只彎曲而無長度改變的中性層，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時橫截面繞著它轉(zhuǎn)動的軸━━中性軸

(neutralaxis)。（f)第七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日令中性層的曲率半徑為r(如圖c)，則根據(jù)曲率的定義有縱向線應(yīng)變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律

圖c為由相距dx的兩橫截面取出的梁段在梁彎曲后的情況，兩個原來平行的橫截面繞中性軸相對轉(zhuǎn)動了角dq。梁的橫截面上距中性軸z為任意距離y處的縱向線應(yīng)變由圖c可知為(c)第八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日即梁在純彎曲時，其橫截面上任一點處的縱向線應(yīng)變e與該點至中性軸的距離

y成正比。(c)第九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日小變形時純彎曲情況下可假設(shè)梁的各縱向線之間無擠壓，認(rèn)為梁內(nèi)各點均處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。

(2)物理方面━━藉以由縱向線應(yīng)變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律找出橫截面上正應(yīng)力的變化規(guī)律。梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉、壓彈性模量相同時，有這表明，直梁的橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化(如圖)。M第十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日

(3)靜力學(xué)方面━━藉以找出確定中性軸位置的條件以及橫截面上正應(yīng)力的計算公式。梁的橫截面上與正應(yīng)力相應(yīng)的法向內(nèi)力元素sdA(圖d)不可能組成軸力()，也不可能組成對于與中性軸垂直的y軸(彎曲平面內(nèi)的軸)的內(nèi)力偶矩()，只能組成對于中性軸z的內(nèi)力偶矩，即(d)第十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日其中為截面對于z軸的靜矩(staticmomentofanarea)或一次矩，其單位為m3。為截面對于y軸和z軸的慣性積，其單位為m4。為截面對于z軸的慣性矩(momentofineritaofanarea)或二次軸矩，其單位為m4。第十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日將代入上述三個靜力學(xué)條件，有(a)(b)(c)以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只與截面的形狀和尺寸相關(guān)的幾何量，統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)，而第十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日由于式(a)，(b)中的不可能等于零，因而該兩式要求：

1.橫截面對于中性軸z的靜矩等于零，；顯然這是要求中性軸

z通過橫截面的形心；

2.橫截面對于

y軸和

z軸的慣性積等于零，；在對稱彎曲情況下，y軸為橫截面的對稱軸，因而這一條件自動滿足。(a)(b)(c)第十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日由式(c)可知，直梁純彎曲時中性層的曲率為上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。顯然，由于純彎曲時，梁的橫截面上的彎矩M不隨截面位置變化，故知對于等截面的直梁包含在中性層內(nèi)的那根軸線將彎成圓弧。將上式代入得出的式子即得彎曲正應(yīng)力計算公式：(c)第十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日

中性軸z

為橫截面對稱軸的梁(圖a，b)其橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值相等；中性軸z不是橫截面對稱軸的梁(圖c)，其橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值不相等。dzyo(b)

yc,max

yt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyo(a)第十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日中性軸z為橫截面的對稱軸時，橫截面上最大拉、壓應(yīng)力的值smax為式中，Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為抗彎截面系數(shù)，其單位為m3。hbzyodzyo第十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日中性軸

z不是橫截面的對稱軸時(參見圖c)，其橫截面上最大拉應(yīng)力值和最大壓應(yīng)力值為第十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日最大正應(yīng)力：當(dāng)時，，

DdDd=aDz

Wz—梁的抗彎截面系數(shù)。第十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日BHbBhHz

z

矩形截面：箱形截面：第二十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日A.1靜矩（面積）矩一、靜矩：(與力矩類似，面積與它到軸的距離之積)dAyzyz常用截面的慣性矩平行移軸公式第二十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日設(shè)任意形狀截面如圖所示。1.極慣性矩（或截面二次極矩）2.慣性矩（或截面二次軸矩）（為正值，單位m4或mm4)所以（即截面對一點的極慣性矩，等于截面對以該點為原點的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。）OxyyxrdAA.2慣性矩、極慣性矩第二十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日例

試計算圖a所示矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）x和y的慣性矩。

解：取平行于x軸的狹長條，則dA=bdy同理yhCx

dyyb(a)第二十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日若截面是高度為h的平行四邊形（圖b），則其對形心軸x的慣性矩同樣為hxyb(b)C第二十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日例

試計算圖示圓截面對于其形心軸（即直徑軸）的慣性矩。

xdyyx解：由于圓截面有極對稱性，所以所以第二十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日簡單圖形的二次矩圓形yzOd矩形bh/2h/2yzO討論：慣性矩大于零第二十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日§A.3慣性矩的平行移軸公式組合截面的慣性矩1.慣性矩的平行移軸公式設(shè)有面積為A的任意形狀的截面。C為其形心，Cxcyc為形心坐標(biāo)系。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)系為Oxy,形心C在Oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a,b)任意微面元dA在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：aycyxcxCObdAxcycyx第二十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日同理，有：（此為平行移軸公式）注意：式中的a、b代表坐標(biāo)值，有時可能取負(fù)值。等號右邊各首項為相對于形心軸的量。第二十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日2.組合截面的慣性矩根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得組合截面對于某軸的慣性矩等于其各組成部分對于同一軸的慣性矩之和：第二十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日10014020

20C2yzC1CyC例

求“T”型截面對形心軸zc的靜矩，慣性矩。①建立參考坐標(biāo)系oyz解：組合圖形②計算形心坐標(biāo)第三十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日③計算靜矩Sz(ω)和SzC(ω)④計算慣性矩IzC，IyC第三十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日§9－2橫力彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力

彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件

一、橫力彎曲（梁橫截面上既有FS又有M的情況）時，平面假設(shè)不成立。但對于（L/h>5）長梁，可用純彎曲推導(dǎo)的正應(yīng)力公式計算橫力彎曲時的正應(yīng)力，由此引起的誤差能夠滿足工程上的精度要求。

二、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：

彎曲應(yīng)力（1）

（2）

第三十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日?校核強(qiáng)度：?設(shè)計截面尺寸：?設(shè)計載荷：彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計算的三類問題。

第三十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日例1受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）1—1截面上1、2兩點的正應(yīng)力；（2）1—1截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半徑。q=60kN/mAB1m2m11xM

+M1Mmax12120180zy解：畫M圖，求截面彎矩30第三十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日q=60kN/mAB1m2m1112120zy（1）求1—1截面上1、2兩點的正應(yīng)力18030（壓應(yīng)力）第三十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日求曲率半徑q=60kN/mAB1m2m11M1MmaxxM

+（2）求1—1截面上的最大正應(yīng)力（3）求全梁的最大正應(yīng)力第三十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日例2求圖示梁外壁和內(nèi)壁處的最大正應(yīng)力。解：（1）畫彎矩圖，求最大彎矩

（2）計算應(yīng)力梁內(nèi)、外壁處的最大正應(yīng)力分別為：

60

30

120

80

z

(－)第三十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日例3求圖示梁中央截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力以及G點的正應(yīng)力，梁由10號槽鋼制成。解：（1）畫M圖，求（2）查型鋼表，求截面有關(guān)幾何量

(＋)

（壓應(yīng)力）

第三十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日解：畫彎矩圖1m1m1mABCDx3.5kNm4kNmM（+）

（－）

例4倒Ｔ形截面鑄鐵梁，已知，，，，試校核該梁的強(qiáng)度。

Ｃ截面：B截面：第三十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日討論：采取什么措施，使梁滿足強(qiáng)度要求？彎曲應(yīng)力將梁截面倒置x3.5kNm4kNmMy1y2（＋）

（－）

Ｃ截面：B截面：第四十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日§9－3梁橫截面上的切應(yīng)力一、矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力1、兩個假設(shè)：

切應(yīng)力與剪力平行；

距中性軸等距離的各點切應(yīng)力相等。2、研究方法：分離體平衡。

在梁上取微段如(圖b)；dxxFS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)dxxyztb(圖a)（圖b）（圖c）y在微段上取一塊如圖c，平衡

第四十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日由切應(yīng)力互等FS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)dxxyztb（圖b）(圖c)y

第四十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日FSt方向：與橫截面上剪力方向相同；t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。最大切應(yīng)力在中性軸上，為平均切應(yīng)力的1.5倍。二、其它形狀截面梁橫截面上的切應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;切應(yīng)力的計算公式亦為：其中FS為截面剪力；Sz為y點橫線以下的面積對中性軸之靜矩；Iz為整個截面對z軸之慣性矩；b

為y點處截面寬度。第四十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日2、幾種常見截面的最大彎曲切應(yīng)力

①工字鋼截面：結(jié)論：翼緣部分tmax<腹板上的tmax，只計算腹板上的tmax。鉛垂切應(yīng)力主要由腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin，故工字鋼最大切應(yīng)力Af—腹板的面積。;?maxAFStf第四十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日②圓截面：

第四十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日一般來說，最大切應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。tsMt三、梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件—中性軸以上（或以下）部分截面對中性軸的靜矩。（絕對值）第四十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日四、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況：②鉚接或焊接的工字形截面梁，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時，要校核切應(yīng)力。①梁的跨度較短，M

較小，而FS較大時，要校核切應(yīng)力。③焊接、鉚接或膠合的組合梁，對焊縫、鉚釘或膠合面，一般要進(jìn)行剪切計算。④各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力。第四十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日解：畫內(nèi)力圖求危險截面內(nèi)力例5矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，

[]=7MPa，[]=1MPa，試求最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。q=3.6kN/mxMABL=3m–+x（+）

第四十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度應(yīng)力之比第四十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日若將上述梁改為10號工字鋼，試計算其最大切應(yīng)力。

表中：

表中：d=4.5mm

第五十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日

§9–4提高梁彎曲強(qiáng)度的措施一、合理安排梁的受力情況①合理布置載荷

降低Ｐ（＋）

Ｐ（＋）

第五十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日Ｐ（＋）

q＝P/l（＋）

（＋）

第五十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日②合理布置支座位置

（＋）

qq（+）

（-）

（-）

第五十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日二、梁的合理截面合理截面：★矩形截面bhz

hz

第五十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日★空心圓截面比實心圓截面合理Dz

DdDd=a第五十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日★工字形截面是由矩形演變而成★

的材料（例鑄鐵），宜