數(shù)學(xué)課件（新教材新高考人教版）第一章13等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

等式性質(zhì)與不等式

性質(zhì)第一章集合、常用邏輯用語、不等式1.掌握等式性質(zhì).2.會比較兩個數(shù)的大小.3.理解不等式的性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.兩個實數(shù)比較大小的方法作差法a－b>0?a

b，a－b＝0?a

b，a－b<0?a

b.(a，b∈R)>＝<2.等式的性質(zhì)性質(zhì)1對稱性：如果a＝b，那么

；性質(zhì)2傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么

；性質(zhì)3可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5可除性：如果a＝b，c≠0，那么

.b＝aa＝c3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1對稱性：a>b?

；性質(zhì)2傳遞性：a>b，b>c?

；性質(zhì)3可加性：a>b?a＋c>b＋c；性質(zhì)4可乘性：a>b，c>0?

；a>b，c<0?

；性質(zhì)5同向可加性：a>b，c>d?

；性質(zhì)6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?

；性質(zhì)7同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2).b<aa>cac>bcac<bca＋c>b＋dac>bd判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關(guān)系中的一種.(

)(2)若

>1，則b>a.(

)(3)若x>y，則x2>y2.(

)(4)若

，則b<a.(

)√×××1.如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是A.ac2>bc2 B.a>bC.a＋c>b＋c D.√若c<0，則a<b，所以ac2<bc2，a＋c<b＋c，A，B，C均錯；2.已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，則M，N的大小關(guān)系是_______.∵M(jìn)－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，∴M>N.M>N又1<a<2，探究核心題型第二部分例1

(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，則M，N的大小關(guān)系為A.M<N B.M>NC.M≤N D.M≥N√題型一數(shù)(式)的大小比較因為M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，則P，Q的大小關(guān)系是A.P>Q B.P＝QC.P<Q D.不能確定√比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結(jié)論.(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知a，b為不相等的實數(shù)，記M＝a2－ab，N＝ab－b2，則M與N的大小關(guān)系為A.M>N B.M＝NC.M<N D.不確定√因為M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.M>N∴M>N.顯然f(x)是R上的減函數(shù)，∴f(2021)>f(2022)，即M>N.例2

(1)已知a>b>c>0，下列結(jié)論正確的是題型二不等式的性質(zhì)√∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A錯誤；取a＝3>b＝2>c＝1>0，則a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B錯誤；由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，(2)(多選)若a>0>b>－a，c<d<0，則下列結(jié)論正確的是√√√因為a>0>b，c<d<0，所以ad<0，bc>0，所以ad<bc，故A錯誤；因為0>b>－a，所以a>－b>0，因為c<d<0，所以－c>－d>0，所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，cd>0，因為c<d，所以－c>－d，因為a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d，故C正確；因為a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正確.判斷不等式的常用方法(1)利用不等式的性質(zhì)逐個驗證.(2)利用特殊值法排除錯誤選項.(3)作差法.(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.跟蹤訓(xùn)練2

(1)十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若a，b，c∈R，則下列命題正確的是A.若a>b，則ac2>bc2√對于A選項，當(dāng)c＝0時不滿足，故錯誤；對于C選項，若a<b<c<0，則a＋c<0，b－a>0，(b－a)c<0，a(a＋c)>0，對于D選項，取a＝－1，b＝－2，可得a2<b2，故錯誤.√√B中，因為b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B錯誤；D中，因為b<a<0，根據(jù)y＝x2在(－∞，0)上單調(diào)遞減，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定義域(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以lnb2>lna2，故D錯誤.例3

(1)已知－1<x<4,2<y<3，則x－y的取值范圍是_________，3x＋2y的取值范圍是________.題型三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用(－4,2)(1,18)∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.延伸探究若將本例(1)中條件改為－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍.設(shè)3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，又3<a<8，求代數(shù)式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運算求得整體范圍.跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，則a－2b的取值范圍是A.[－7,4] B.[－6,9]C.[6,9] D.[－2,8]√因為－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.(2)已知實數(shù)a，b，c，滿足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么

的取值范圍是___________.由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，課時精練第三部分12345678910111213141516基礎(chǔ)保分練A.M>N

B.M<NC.M≤N D.M，N大小關(guān)系不確定√∴M<N.2.已知a，b∈R，若a>b，

同時成立，則A.ab>0 B.ab<0C.a＋b>0 D.a＋b<0√12345678910111213141516又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.3.(多選)已知a<b<0，則下列結(jié)論正確的是A.b2<ab B.a>2b D.ln(1－a)>ln(1－b)12345678910111213141516√√對于A，因為a<b<0，所以b－a>0，則b2－ab＝b(b－a)<0，即b2<ab，故選項A正確；對于C，因為a<b<0且函數(shù)y＝2x是增函數(shù)，所以2a<2b，故選項C錯誤；對于D，因為a<b<0，所以1－a>1－b>1，又因為函數(shù)y＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以ln(1－a)>ln(1－b)，故選項D正確.123456789101112131415164.若－π<α<β<π，則α－β的取值范圍是A.－2π<α－β<2π B.0<α－β<2πC.－2π<α－β<0 D.{0}√∵－π<β<π，∴－π<－β<π，又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π，又α<β，∴α－β<0，∴－2π<α－β<0.12345678910111213141516123456789101112131415165.已知x，y∈R，且x>y>0，則A.cosx－cosy>0B.cosx＋cosy>0C.lnx－lny>0D.lnx＋lny>0√對于A，y＝cosx在(0，＋∞)上不是單調(diào)函數(shù)，故cosx－cosy>0不一定成立，A錯誤；對于C，y＝lnx在(0，＋∞)上為增函數(shù)，若x>y>0，則lnx>lny，必有l(wèi)nx－lny>0，C正確；12345678910111213141516123456789101112131415166.(多選)(2023·汕頭模擬)已知a，b，c滿足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是A.ac(a－c)>0 B.c(b－a)<0C.cb2<ab2 D.ab>ac√√√因為a，b，c滿足c<a<b，且ac<0，所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2<ab2，ab>ac.7.(多選)設(shè)a，b，c，d為實數(shù)，且a>b>0>c>d，則下列不等式正確的有12345678910111213141516√√因為a>b>0>c>d，所以a>b>0,0>c>d，對于A，因為0>c>d，由不等式的性質(zhì)可得c2<cd，故選項A正確；對于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，則a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故選項B錯誤；對于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，則ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故選項C錯誤；1234567891011121314151612345678910111213141516對于D，因為a>b>0，d<c<0，則ad<bc，123456789101112131415168.(多選)(2022·沈陽模擬)已知非零實數(shù)a，b滿足a>|b|＋1，則下列不等關(guān)系一定成立的是A.a2>b2＋a>2b＋1C.a2>4b D.√√√對于非零實數(shù)a，b滿足a>|b|＋1，則a2>(|b|＋1)2，即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立；因為a>|b|＋1≥b＋1?2a>2b＋1，故B一定成立；又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|，所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立；令a＝5，b＝3，滿足a>|b|＋1，12345678910111213141516123456789101112131415169.已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，則M______N.(填“>”“<”或“＝”)>M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，故M>N.10.能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實數(shù).若a2>b2>c2，則a＋b>c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為_______________________.－3，－1,0(答案不唯一)12345678910111213141516令a＝－3，b＝－1，c＝0，則a2>b2>c2，此時a＋b＝－4<0，所以a＋b>c是假命題.11.若1<α<3，－4<β<2，則2α＋|β|的取值范圍是________.12345678910111213141516(2,10)∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，又1<α<3，∴2<2α<6，∴2<2α＋|β|<10.π·πe與ee·ππ的大小關(guān)系為___________.eπ·πe<ee·ππ1234567891011121314151613.已知0<a<b<1，設(shè)m＝blna，n＝alnb，p＝

，則m，n，p的大小關(guān)系為A.m<n<p B.n<m<pC.p<m<n D.p<n<m綜合提升練√123456789101112131415161234567891011121314151614.實數(shù)a，b，c，d滿足下列三個條件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.那么a，b，c，d的大小關(guān)系是__________.12345678910111213141516b>d>c>a由題意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化簡得a<c④，由②式a＋b＝c＋d及a<c可得到，要使②成立，必須b>d