機械基礎(chǔ)第十六章

機械基礎(chǔ)課件第十六章第一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日本章主要介紹了壓桿的穩(wěn)定性問題。學(xué)習(xí)時要明確壓桿穩(wěn)定和臨界載荷的概念，理解細長壓桿臨界歐拉公式的推導(dǎo)過程，掌握四種常見支承條件下細長壓桿臨界力的計算方法，明確壓桿柔度和臨界應(yīng)力的概念，熟悉臨界應(yīng)力總圖，掌握三類壓桿的臨界應(yīng)力計算方法并能夠進行穩(wěn)定性校核。教學(xué)目的和要求第二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日細長壓桿的臨界力和歐拉公式；三類壓桿的分類及其臨界應(yīng)力的計算；臨界應(yīng)力總圖；壓桿穩(wěn)定的計算。教學(xué)重點第三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日壓桿穩(wěn)定的概念；歐拉公式的推導(dǎo)過程；三類壓桿臨界應(yīng)力的計算及臨界應(yīng)力總圖；壓桿穩(wěn)定的計算。教學(xué)難點第四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡微小擾動就使小球遠離原來的平衡位置

微小擾動使小球離開原來的平衡位置，但擾動撤銷后小球回復(fù)到平衡位置第五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的工程實例第六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日為了保證壓桿安全可靠的工作，必須使壓桿處于直線平衡形式，因而壓桿是以臨界力作為其極限承載能力。使中心受壓直桿的直線平衡形式，由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡時所受的軸向壓力，稱為臨界載荷，或簡稱為臨界壓力，用Fcr表示。由穩(wěn)定平衡狀態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)的現(xiàn)象稱為穩(wěn)定失效，簡稱失穩(wěn)或屈服破壞。第七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日xmδl/2xyFcrlyFcr(a)

mM(x)=-FcrωxyFcryxFcr(b)假設(shè)理想壓桿處于臨界平衡狀態(tài)的微彎狀態(tài)，材料處于線彈性范圍。距離原點x處截面m的撓度為y=f(x)。第二節(jié)細長壓桿的臨界力和歐拉公式第八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日mM(x)=-FcrωxyFcryxFcr(b)則撓曲線近似微分方程為令則第九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日微分方程的通解為邊界條件為y=Asinkx+Bcoskx第十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日

由于臨界力Fcr是使壓桿失穩(wěn)的最小壓力，故n應(yīng)取不為零的最小值，即取n=1。

上式即為兩端鉸支細長壓桿臨界力Fcr的計算公式，由歐拉（L.Euler）于1744年首先導(dǎo)出，所以通常稱為歐拉公式。應(yīng)該注意，壓桿的彎曲是在其彎曲剛度最小的平面內(nèi)發(fā)生，因此歐拉公式中的I應(yīng)該是截面的最小形心主慣性矩?！獨W拉公式第十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日

對于各種支承情況的理想壓桿，其臨界力的歐拉公式可寫成統(tǒng)一的形式：式中，

稱為長度系數(shù)，與桿端的約束情況有關(guān)

；l

稱為計算長度，代表壓桿失穩(wěn)時撓曲線上兩拐點之間的長度。

第十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日常見細長壓桿的臨界力和計算長度l0第十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日則引入壓桿長細比或柔度式中，

為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑。第三節(jié)壓桿的臨界應(yīng)力及臨界應(yīng)力總圖一、細長壓桿的臨界應(yīng)力第十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日Oppcr歐拉臨界應(yīng)力曲線

通常稱≥p的壓桿為大柔度桿或細長壓桿。歐拉公式的應(yīng)用范圍：撓曲線的近似微分方程建立在胡克定律基礎(chǔ)上，因此只有材料在線彈性范圍內(nèi)工作時，即只有cr≤p時，歐拉公式才能適用。

第十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日

如果壓桿的柔度

<p，則臨界應(yīng)力cr大于材料的極限應(yīng)力p，此時歐拉公式不再適用。對于這類壓桿，通常采用以試驗結(jié)果為基礎(chǔ)的經(jīng)驗公式來計算其臨界應(yīng)力。1）直線型公式

式中，a和b是與材料力學(xué)性能有關(guān)的常數(shù)，一些常用材料的a和b值見下表。二、中長桿和短桿的臨界應(yīng)力計算第十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日一些常用材料的a、b、p、s值材料a(MPa)b(MPa)psQ235鋼3041.1210061.435號鋼4602.571006045號鋼4692.6210060硅鋼5893.8210060鉻鋁鋼9805.29550硬鋁3923.26500鑄鐵338.71.48松木28.70.199590第十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日*歐拉公式適用范圍臨界應(yīng)力不能大于極限應(yīng)力（塑性材料為屈服極限，脆性材料為強度極限）。滿足此條件的桿件稱為中柔度桿或中長壓桿。

塑性材料為s≤p；脆性材料為b≤p；第十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日2）拋物線型公式式中，a1、b1

是與材料力學(xué)性能有關(guān)的常數(shù)。

*

<s的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿，屬強度破壞，其臨界應(yīng)力為極限應(yīng)力。第十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日三、臨界應(yīng)力總圖

壓桿的臨界應(yīng)力總圖壓桿的臨界應(yīng)力cr與柔度之間的關(guān)系曲線。

(1)大柔度桿，≥p，cr≤p，按歐拉公式計算。(2)中柔度桿，s≤<p，cr>p，按直線型經(jīng)驗公式計算。(3)小柔度桿，<s，cr=u，按強度問題處理。細長桿中長桿

粗短桿第二十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日例16-1

有一長l=300mm，截面寬b=6mm、高h=10mm的壓桿。兩端鉸接，壓桿材料為Q235鋼，E=200GPa，試計算壓桿的臨界應(yīng)力和臨界力。解（1）求慣性半徑i。對于矩形截面，如果失穩(wěn)必在剛度較小的平面內(nèi)產(chǎn)生，故應(yīng)求最小慣性半徑（2）求柔度λ。（3）用歐拉公式計算臨界應(yīng)力。

（4）計算臨界力。

第二十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日第四節(jié)壓桿穩(wěn)定的計算壓桿的穩(wěn)定性條件式中，nst為穩(wěn)定安全系數(shù)，通常nst隨著柔度的增大而增大。穩(wěn)定安全系數(shù)一般比強度安全系數(shù)要大些。例如對于一般鋼構(gòu)件，其強度安全系數(shù)規(guī)定為1.4～1.7，而穩(wěn)定安全系數(shù)規(guī)定為1.5～2.2，甚至更大。第二十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日穩(wěn)定許用應(yīng)力折減系數(shù)或穩(wěn)定系數(shù)

式中，是的函數(shù)，即=()，其值在0～1之間?；蚍€(wěn)定條件可以寫成第二十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日例16-2如圖所示連桿，材料為Q235鋼，其E=200MPa，σp=200MPa，σS=235MPa,，承受軸向壓力F=110kN。若[n]st=3，試校核連桿的穩(wěn)定性。分析：首先應(yīng)分別算出桿件在兩個平面內(nèi)的柔度，以判斷此桿將在哪個平面內(nèi)失穩(wěn)，然后再根據(jù)柔度值選用相應(yīng)的公式來計算臨界力。

第二十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日解（1）計算柔度λ。在xy縱向平面內(nèi)，

在xz縱向平面內(nèi)，

連桿若失穩(wěn)必發(fā)生在xz縱向平面內(nèi)。第二十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日（2）計算臨界力，校核穩(wěn)定性。不屬于細長桿，不能用歐拉公式，采用直線公式查表計算得屬中等桿，則該桿穩(wěn)定。第二十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日第五節(jié)提高壓桿穩(wěn)定的措施歐拉公式越大越穩(wěn)定1）減小壓桿長度l2）減小長度系數(shù)μ（增加支承剛性）3）增大截面慣性矩I（合理選擇截面形狀）4）增大彈性模量E（合理選擇材料）第二十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日1）減小壓桿長度l第二十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日2）減小長度系數(shù)μ（增加支承剛性）第二十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日3）增大截面慣性矩I（合理選擇截面形狀）第三十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日4）增大彈性模量E（合理選擇材料）大柔度桿中柔度桿第三十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日本章小結(jié)1．壓桿從穩(wěn)定平衡過渡到非穩(wěn)定平衡時的壓力稱為臨界力或臨界載荷，用Fcr表示。2.柔度是指壓桿的細長比，用λ表示。公式為第三十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日本章小結(jié)3．不同柔度壓桿的計算公式如下：（1）對于細長桿（λ≥λp），用歐拉公式計算，即（2）對于中長桿（λs<λ<λp），用經(jīng)驗公式計算，即（3）對于短粗桿（λ≤λs）,用壓