演示文稿極限的概念與性質(zhì)

演示文稿極限的概念與性質(zhì)本文檔共36頁；當前第1頁；編輯于星期三\11點53分極限的概念與性質(zhì)本文檔共36頁；當前第2頁；編輯于星期三\11點53分

自然界中有很多量僅僅通過有限次的算術(shù)運算是計算不出來的，而必須通過分析一個無限變化趨勢才能求得結(jié)果，這正是極限概念和極限方法產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ)。引言本文檔共36頁；當前第3頁；編輯于星期三\11點53分正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積說明：劉徽從圓內(nèi)接正六邊形，逐次邊數(shù)加倍到正3072邊形得到圓周率的近似值為3.1416割圓術(shù)割圓術(shù)就是極限思想在幾何上的應(yīng)用本文檔共36頁；當前第4頁；編輯于星期三\11點53分微積分是一門以變量為研究對象、應(yīng)用極限方法研究各類變化率問題應(yīng)用極限方法研究諸如曲邊梯形的面積等涉及到以極限方法作為研究工具的數(shù)學(xué)學(xué)科：曲線的切線問題，微小量無窮積累的問題，和幾何學(xué)中就產(chǎn)生了微分學(xué)；就產(chǎn)生了積分學(xué)。本文檔共36頁；當前第5頁；編輯于星期三\11點53分一、數(shù)列極限的定義按照一定規(guī)律排列的一列數(shù)數(shù)列可視為定義在自然數(shù)集上的函數(shù)：稱為一個數(shù)列。稱為數(shù)列通項，數(shù)列簡記為。本文檔共36頁；當前第6頁；編輯于星期三\11點53分趨向于某個確定的數(shù)xyO...........不趨向于某個確定的數(shù)本文檔共36頁；當前第7頁；編輯于星期三\11點53分定義：設(shè)數(shù)列極限存在的數(shù)列稱為收斂數(shù)列。極限不存在的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列。如果通項記作當項數(shù)無限增大時，則稱的極限。為數(shù)列或無限趨近于某個常數(shù)本文檔共36頁；當前第8頁；編輯于星期三\11點53分例如,趨勢不定收斂發(fā)散本文檔共36頁；當前第9頁；編輯于星期三\11點53分若數(shù)列及常數(shù)a有下列關(guān)系:當n>

N

時,總有記作即或則稱該數(shù)列的極限為a,幾何解釋:只有有限項(至多N項)在鄰域之外。數(shù)學(xué)定義：

ε

英文注音epsilon中文注音伊普西龍本文檔共36頁；當前第10頁；編輯于星期三\11點53分例1.已知證明數(shù)列的極限為1.

證明:欲使即只要因此,取則當時,就有故本文檔共36頁；當前第11頁；編輯于星期三\11點53分例2.已知證明證:欲使只要即取則當時,就有故故也可取也可由1.N

與有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取2.利用不等式的放縮.本文檔共36頁；當前第12頁；編輯于星期三\11點53分例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當n>N

時,就有故的極限為0.本文檔共36頁；當前第13頁；編輯于星期三\11點53分例4.證明：記易知當時，取則當時，有由于故時，當正整數(shù)于是正整數(shù)本文檔共36頁；當前第14頁；編輯于星期三\11點53分所以本文檔共36頁；當前第15頁；編輯于星期三\11點53分劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的《重差》對《九章算術(shù)》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻.他的“割圓術(shù)”求圓周率“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.

的方法:本文檔共36頁；當前第16頁；編輯于星期三\11點53分柯西(1789–1857)法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠.對數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,本文檔共36頁；當前第17頁；編輯于星期三\11點53分

第一章1、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限自變量變化過程的六種形式:2、左極限、右極限主要內(nèi)容:二、函數(shù)的極限3、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限本文檔共36頁；當前第18頁；編輯于星期三\11點53分定義1.

在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,當時,有則稱常數(shù)

A

為函數(shù)當時的極限,或即當時,有若記作幾何解釋:1、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)()本文檔共36頁；當前第19頁；編輯于星期三\11點53分例1.

證明證:故取當時,必有因此(注意x=1無定義)本文檔共36頁；當前第20頁；編輯于星期三\11點53分例2.

證明:當證:欲使且而可用因此只要時故取則當時,保證.必有本文檔共36頁；當前第21頁；編輯于星期三\11點53分2.左極限與右極限(單側(cè)極限)左極限:當時,有右極限:當時,有定理1.本文檔共36頁；當前第22頁；編輯于星期三\11點53分例3.

給定函數(shù)討論時的極限是否存在.解:

利用定理1.因為顯然所以不存在.本文檔共36頁；當前第23頁；編輯于星期三\11點53分例4.

求解:因為所以設(shè)本文檔共36頁；當前第24頁；編輯于星期三\11點53分定義2

.設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時有定義,若則稱常數(shù)時的極限,幾何解釋:記作直線y=A

為曲線的水平漸近線.A

為函數(shù)3、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限本文檔共36頁；當前第25頁；編輯于星期三\11點53分例5.

證明證:取因此注:就有故欲使只要本文檔共36頁；當前第26頁；編輯于星期三\11點53分直線y=A仍是曲線

y=f(x)

的漸近線.兩種特殊情況:當時,有當時,有幾何意義:例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，本文檔共36頁；當前第27頁；編輯于星期三\11點53分三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.

唯一性類似于數(shù)列極限的唯一性（反證法）2.局部有界性(性質(zhì)適用于函數(shù)的所有極限過程)若函數(shù)極限存在，則函數(shù)極限唯一。本文檔共36頁；當前第28頁；編輯于星期三\11點53分3.局部保號性定理2.若且

A>0,證:

已知即當時,有當

A>0時,取正數(shù)則在對應(yīng)的鄰域上(<0)則存在(A<0)本文檔共36頁；當前第29頁；編輯于星期三\11點53分若取則在對應(yīng)的鄰域上若則存在使當時,有推論1.分析:本文檔共36頁；當前第30頁；編輯于星期三\11點53分推論2.

若在的某去心鄰域內(nèi),且則思考:

若定理2中的條件改為是否必有不能!如(反證法,證明略)本文檔共36頁；當前第31頁；編輯于星期三\11點53分4.

函數(shù)極限的兩邊夾定理定理3.且(仿照數(shù)列極限的兩邊夾定理證明)本文檔共36頁；當前第32頁；編輯于星期三\11點53分5.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理4.有定義,有說明:此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在.法1

找一個數(shù)列不存在.法2

找兩個趨于的不同數(shù)列及使本文檔共36頁；當前第33頁；編輯于星期三\11點53分例6.

證明不存在.證:

取兩個趨于0的數(shù)列及有由定理