三角形的內(nèi)角和與外角和

9.1.2三角形的內(nèi)角和與外角和參賽單位：祁東育賢學(xué)校陳素梅老師版本：華東師大版年級(jí)：七年級(jí)（下）在一個(gè)直角三角形里住著三個(gè)內(nèi)角，平時(shí)，它們?nèi)值芊浅F(tuán)結(jié)?？墒怯幸惶欤隙蝗徊桓吲d，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行??！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個(gè)家就再也圍不起來了……”“為什么？”老二很納悶。同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？內(nèi)角三兄弟之爭ABC

復(fù)習(xí)

你還記得三角形的內(nèi)角和是多少嗎？

你能證明它嗎？動(dòng)動(dòng)手，用用腦（一）動(dòng)手折一折（二）撕一撕，拼一拼求證：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。新知探究已知：如圖，△ABC。求證：∠A+∠B+∠C=180°

。ABCDE輔助線輔助線有什么意義呢？

虛線12

當(dāng)問題的條件不夠時(shí)，添加輔助線，構(gòu)造新圖形，形成新的關(guān)系，建立已知與未知間的橋梁，把題轉(zhuǎn)化成自己已經(jīng)會(huì)解的情況。證法1：延長BC到D，過C作CE∥BA，∴∠A=∠1

(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°21EDCBA三角形的內(nèi)角和等于1800.輔助線的作法F21ECBA證法2：過點(diǎn)A作EF∥BC∴∠B=∠2(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∠C=∠1(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°

結(jié)論：三角形內(nèi)角和為證明基本思想是：

運(yùn)用輔助線，將原三角形中處于不同位置的三個(gè)內(nèi)角集中在一起，拼成一個(gè)平角來證明。你能不能想到其他的證明方法？直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

結(jié)論2、在直角三角形中,∠C是直角，則∠A與∠B的和是多少？外角2、三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系（1）位置關(guān)系（2）數(shù)量關(guān)系外角+相鄰的內(nèi)角=180?（互補(bǔ)）相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角提問1、什么是三角形的外角？思考三角形的外角與它不相鄰的內(nèi)角之間有什么關(guān)系呢？

做一做BAD

把∠A和∠B分別移動(dòng)，放到∠ACD上，會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果呢？發(fā)現(xiàn)：∠ACD=∠A+∠BCDCBA證明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°

（三角形內(nèi)角和等于180°）

∠ACD+∠ACB=180°（平角的定義）∴∠ACD=∠A+∠B如圖，已知△ABC，點(diǎn)D在BC的延長線上，求證：∠ACD=∠A+∠B結(jié)論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和.三角形外角性質(zhì)的探討議一議∠ACD

∠A(<、>)；∠ACD

∠B(<、>)結(jié)論：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。ACBD>>三角形的一個(gè)外角與三角形三個(gè)內(nèi)角之間有何關(guān)系？ABCD2、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。3、三角形的外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角?！螦CD=∠A+∠B∠ACD+∠ACB=180°∠ACD>∠A∠ACD>∠B三角形的一個(gè)外角與任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角之間又有什么關(guān)系呢？1、外角+相鄰的內(nèi)角=180?例1、求下列各圖中∠1與∠2的度數(shù).小試身手2∠1=90°∠1=85°∠1=95°∠2=85°例2、求下列各角的度數(shù)如圖所示則∠1＝_____;∠2=_____;∠3=______.

2155°37°3125°62°118°（1）一個(gè)三角形中最多有

個(gè)直角？（2）一個(gè)三角形中最多有

個(gè)鈍角？（3）一個(gè)三角形中至少有

個(gè)銳角？（4）任意一個(gè)三角形中，最大的一個(gè)角的度數(shù)至少為

.160°思考？12

練一練：判斷∠1與∠3的大小，并說明理由。∵∠3>∠2,∠2>∠1∴∠3>∠1答：∠3>∠1理由：三角形的外角和

對(duì)于三角形的每個(gè)內(nèi)角，從與它相鄰的兩個(gè)外角中取一個(gè)，這樣取得的三個(gè)外角相加所得的和，叫做三角形的外角和。思考：三角形的內(nèi)角和等于180°，那么三角形的外角和等于多少度？在一個(gè)三角形花壇的外圍走一圈，在每一個(gè)拐彎的地方都轉(zhuǎn)了一個(gè)角度（∠

1，∠

2，∠

3），那么回到原來位置時(shí)，一共轉(zhuǎn)了多少度？123想一想

∠1＋∠2

＋∠3

＝?從哪些途徑探究這個(gè)結(jié)果?小組討論321ABC564三式相加可以得到∠1＋∠2＋∠3＋______+______+_____=_______,而∠4＋∠5＋∠6＝180°，如圖：∠1+________=180°,∠2+________=180°,∠3+_________=180°.所以∠1＋∠2＋∠3＝360°結(jié)論：三角形的外角和等于360°∠4∠5∠6∠4∠5∠6540°三角形的外角和

321ABC564例2：三角形的三個(gè)外角之比為2:3:4，則與它們相鄰的內(nèi)角分別為（）A.80?120?160?B.160?120?80?C.100?60?20?D.140?120?100?解：設(shè)三角形的三個(gè)外角分別為2k，3k，4k，2k+3k+4k=360?可解得k=40?,三個(gè)外角分別為80?,120?,160?，則相鄰的內(nèi)角分別為100?,60?,20?故選CC如圖所示：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)？EDCBA12解：∵∠1＝∠A+∠D∠2＝∠B+∠E（三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和）∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(∠A+∠D)+(∠B+∠E)+∠C=∠1+∠2+∠C=180°挑戰(zhàn)?。?！3.三角形的外角性質(zhì)：1.三角形的內(nèi)角和等于多少度？4.三角形的外角和等于多少度？5.在求角的度數(shù)時(shí)，?？衫萌切蔚膬?nèi)角和及外角的性質(zhì)來找數(shù)量關(guān)系；涉及圖形時(shí)，可先把已知條件盡可能的在圖中標(biāo)出來，有助于直觀分析題意。我們的收獲2.直角三角形的兩個(gè)銳角是什么關(guān)系？三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。三角形的外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。外角+相鄰的內(nèi)角=180?

如果你想學(xué)會(huì)游泳，你必須下水；如果想成為解題能手，你必須解題.

——(數(shù)學(xué)家)波利亞

If

you

wish

to

learn

swi