2023學(xué)年完整公開課版中位線-

第二十三章

圖形的相似23.4中位線1課堂講解三角形的中位線三角形的重心中點(diǎn)四邊形2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升在23.3節(jié)中，我們?cè)玫饺缦陆Y(jié)論:如圖23.4.1,在△ABC中，DE//BC，則△ADE∽△ABC.在推理過程中，我們由DE∥BC推得那么當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，利用該比例式容易推知點(diǎn)E也是AC的中點(diǎn)，并且現(xiàn)在換一個(gè)角度考慮，如果已知點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，那么是否可以推出DE//BC?DE與BC之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？畫畫看，你能有什么猜想？1知識(shí)點(diǎn)三角形的中位線猜想如圖23.4.2，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC

的中點(diǎn).根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：DE//BC,且DE=BC.對(duì)此，我們可以用演繹推理給出證明.知1－導(dǎo)知1－導(dǎo)在△ABC中，∵點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，∴∵∠A=∠A,

∴△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠ABC,∴證明：1.三角形中位線的定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．一個(gè)三角形共有3條中位線.易錯(cuò)警示：三角形的中位線要與三角形的中線嚴(yán)格區(qū)別開來，三角形的中位線是連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段，而三角形的中線是三角形的頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線．三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．

拓展：由三角形三條中位線組成的三角形與原三角形相似，它的周長(zhǎng)等于原三角形周長(zhǎng)的，面積等于原三角形面積的

知1－講【例1】如圖所示，在△ABC中，D，E分別是邊AB，

AC的中點(diǎn)，若BC＝6cm，則DE的長(zhǎng)為________．知1－講導(dǎo)引：直接根據(jù)三角形的中位線定理解答即可．因?yàn)镈，

E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，所以DE是△ABC的

中位線，所以DE＝BC＝×6＝3(cm)．3cm證明：連結(jié)DE、EF.∵AD=DB,BE=EC,∴DE//AC(三角形的中位線平行于第

三邊，并且等于第三邊的一半）.同理可得EF//BA.

∴四邊形ADEF是平行四邊形.

∴

AE、DF互相平分.【例2】求證:三角形的一條中位線與第三邊上的中

線互相平分.已知：如圖,在△ABC中，AD=DB，BE=EC,

AF=FC.求證：AE、DF互相平分.知1－講ADFBEC知1－講總結(jié)三角形的中位線定理是證明兩條線段倍分關(guān)系的重要依據(jù)．當(dāng)已知線段的中點(diǎn)求某條線段的長(zhǎng)度時(shí)，通常要考慮運(yùn)用三角形的中位線定理解答．如圖，以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)及三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形共有(

)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)知1－練2(中考·黑龍江)如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AD＝BC，∠PEF＝30°，則∠PFE的度數(shù)是(

)A．15°B．20°C．25°D．30°知1－練2知識(shí)點(diǎn)三角形的重心知2－導(dǎo)如圖23.4.4，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，AD、CE相交于點(diǎn)G.求證：【例3】證明：連結(jié)ED.

∵D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，∴DE//AC

，(三角形的中位線平行于第

三邊，并且等于第三邊的一半）.

∴△ACG∽△DEG,

∴AEGDCB如果在圖23.4.4中取AC的中點(diǎn)F,假設(shè)BF與AD相交于點(diǎn)Gˊ如圖23.4.5，那么我們同理可得

所以即兩圖中的點(diǎn)G與點(diǎn)Gˊ是重合的.知2－導(dǎo)拓展三角形的重心的定義：三角形的重心是三角形三條

中線的交點(diǎn)．2.三角形重心的性質(zhì)：三角形的重心與一邊中點(diǎn)的連

線的長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線長(zhǎng)的知2－講【例4】如圖所示，在△ABC中，G為重心，連結(jié)AG并延長(zhǎng)，交

邊BC于點(diǎn)D，若△ABC的面積為6cm2，則△BGD的面

積為________．知2－講導(dǎo)引：由點(diǎn)G為△ABC的重心可知AD為BC邊上的中線，且DG＝

AD，

故S△ABD＝

S△ABC＝3cm2，

由△BGD與△ABD同高不等底易

得

故S△BGD＝

S△ABD＝×3＝1(cm2)．1cm2知2－講歸

納

已知三角形的重心求線段的長(zhǎng)度或比值時(shí)，要準(zhǔn)確把握以下幾點(diǎn)：三角形的重心與一邊中點(diǎn)的連線的長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線

長(zhǎng)的(2)重心與三角形一個(gè)頂點(diǎn)的連線的長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線長(zhǎng)

的(3)重心分中線所成兩條線段的比為2∶1.如圖所示，已知點(diǎn)E、F分別是△ABC的邊AC、AB的中點(diǎn)，BE、CF相交于點(diǎn)G，F(xiàn)G＝1，則CF

的長(zhǎng)為(

)A．2B．1.5C．3D．4知2－練知3－講3知識(shí)點(diǎn)中點(diǎn)四邊形1.中點(diǎn)四邊形：順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．2．常見的中點(diǎn)四邊形：(1)順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形；(2)順次連結(jié)矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；(3)順次連結(jié)菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；(4)順次連結(jié)正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形；(5)順次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形．【例5】〈猜想說理題〉如圖23.4-4所示，四邊形ABCD中，

點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．(1)請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由；(2)若四邊形EFGH為正方形，則四邊形ABCD的對(duì)

角線應(yīng)滿足怎樣的條件？知3－講導(dǎo)引：(1)由點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是各邊的中

點(diǎn)可以聯(lián)想到中位線，故連結(jié)AC，

把四邊形ABCD分成△ABC和△ADC，

然后利用三角形的中位線定理判斷四邊形EFGH的

形狀；(2)在(1)的基礎(chǔ)上結(jié)合正方形的判定方法考

慮對(duì)角線AC，BD應(yīng)滿足的條件．知3－講解：(1)四邊形EFGH是平行四邊形．

理由如下：如圖23.4-5所示，連結(jié)AC.∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，

∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，EF＝AC.∵G，H分別是CD，DA的中點(diǎn)，

∴GH是△ADC的中位線，∴GH∥AC，GH＝AC.∴EF∥GH，EF＝GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．(2)四邊形ABCD的對(duì)角線應(yīng)滿足：AC⊥BD且AC＝BD.知3－講歸

納本題是一道猜想說理題，首先應(yīng)根據(jù)題目給出的條件進(jìn)行初步推斷，然后進(jìn)行判斷，最后對(duì)猜想的結(jié)論進(jìn)行推理論證，以證明猜想的正確性．判斷中點(diǎn)四邊形