學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)lec126up

次試驗(yàn)中,A發(fā)生的次數(shù)nA稱(chēng)為A發(fā)生的頻數(shù).nA稱(chēng)為A發(fā)生的頻率,nfn

實(shí)例5次、50次、500次7遍觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率0fn(A)

試 n序號(hào)

n

n 21232123456

fn1,fn

0

1

051205120

(3)若A1,A2,,Ak是兩兩互不相容的,

10

0 fnA1UA2ULUAkfnA1fnA2LfnAk

2

0 0 20 0 f不一定相同n較小時(shí),f的隨機(jī)波動(dòng)幅nf0.5附近擺動(dòng)且逐漸穩(wěn)定于..

德nfKKfH)n的增大1nn逐漸增

1933年，數(shù)學(xué)家哥提出了概A2L

P()證明An(n),則UAn,AiAj

i即ij時(shí)，AA (i,j=1,2,…),則 P()PUAnP(Ani

P(A1A2LAm P()P()0若A1,A2L,An是兩兩互不相容的,則 (3)設(shè)A,B為兩個(gè),且AB,P(A) P(BA)P(B)P(P(A1UA2ULUAn)P(A1)P(A2)LP(An證明An1An2L

證明

ABAU(BA). AA,ij,ijL 又(BAIAi

得P(BPAP(BP(A1UA2ULUAnPUAkPAkP(Ak 于是P(BAP(BPk k P(A1)P(A2)LP(An 又因P(BA) 故P(A) A,P(A) (6)(加 A,B證 AP(A)P() P(AUB)P(A)P(B)P(PA設(shè)A是A的對(duì)立,則P(A)1P(

證明AUBA(B A 證 QAA 且AI(BAB)PAPA)PAAP PAUBPAP(B P(A)1P( P(BAB)P(B)P(因此得PAUBPAP(BP推廣三

例1設(shè) A,B 的概率分別為和 1U2

(1)A與B2)AB3)PAB)1P(A1)P(A2)P(A3)P(A1A2)P(A2A3P(AA)P(AAA1 12

解(1)P(BA故P(BA)P(B1nP(A

AULUA

nP(A) P(AA

i

1 i

1i P(BA)P(B)P(A)236 P(AAA)L(1)n1P(AALA (3)P(BA)P(BAB)P(B)P(ij 1 1ijk

1132 例2已知A,B滿(mǎn)足P(AB)P(APApQP(AB)P(AP(BP(AUB

A與A同時(shí)發(fā)生必導(dǎo)致A發(fā)生, PABPAB)P(AUB)1P(AUB 則PAPAPA P(A)P(B)1,P(B)1例3設(shè)P(A)a,P(B)b,P(AB)c,求P( 若A1A2A3解：P(AB)P(AB)P(A)P( P(A)P(A)P(A)P(A) P(A)[P(A)P(B)P(AP(AB)P(B)c A、B互不相容，P(A)0.6，P(AUB)0.8證明：QAA 則P(B)1P(AA1A2)P(A)P(A1A2)P(A)P(AA)P(A)P(A)P(AA

PAlnaP(B0.2,AB,求a的取值范圍P(A)0.8,P(AB)0.1,P(AB)1 P(A)P(A)

1)A發(fā)生,但BB發(fā)生,AA,B A,B同時(shí)發(fā)生時(shí) C也發(fā)生,則有 P(C)P(AP(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)

. 2.e0.2a(1)0.7；(2) 5.1),

定 設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間由n個(gè)樣本構(gòu)成,A為E的任意一個(gè),且包含m個(gè)樣本點(diǎn)則A出現(xiàn)的概率記為即?{12,Ln

P(A)

m A所包含樣本點(diǎn)的個(gè) 1,2,L,n

注1o

從nr全排列：Pn=0!=ArPr n(n1)L(nr 組合組合

完成某件事情有n類(lèi)途徑，在第一類(lèi)途徑中有m1

法，在第二類(lèi)途徑中有m2種方法，依次類(lèi)推，在第nCnrr!(nr)!

途徑中有mn種方法，則完成這件事共有m1+m2+…+mn種、完成某件事情需先后分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，依次類(lèi)推，第n步有mn種方法，則完成這件事共有m1×m2×…×mn種不同的方法.問(wèn)題1設(shè)箱中有β只黑球,現(xiàn)從袋中白球,b個(gè)黑球的概率(abβ)?A={所取球恰好含a個(gè)白球,b基本總數(shù)為:CabA所包含基本的個(gè)數(shù)為CaCb

問(wèn)題2設(shè)袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放解A{前2次摸到黑球第3次摸到紅球第3次摸到紅球4 第2次摸到黑球6次摸摸C次摸摸故PAabC

故PA6641o問(wèn)題在7位數(shù)的中,第一位不能為0，求數(shù)字0出現(xiàn)3次的9.633

問(wèn)題1把4個(gè)球放到3個(gè)中去,求第1、2個(gè)中各有兩個(gè)球的概率,其中假設(shè)每個(gè)可 (答案:p 11

9102o問(wèn)題擲3顆均勻,求點(diǎn)數(shù)之和為4概率 (答案:p363 的所有放法333334種 4 問(wèn)題2把4個(gè)球放到10個(gè)中去,每個(gè)只

解第1至第4個(gè)杯各放一個(gè)球的概率為4

p4p4p4

4321098p34 2

1o分房問(wèn)題將張三、、3人等可能地(答案22o生日問(wèn)題某班有20個(gè)學(xué)生都

例有n1/N被分配3某指定恰有m(m≤n)人 解1o先求樣本空間所含的樣本點(diǎn)總數(shù)(答案:p 3652010把n個(gè)人隨機(jī)地分到N個(gè)房間中去,每一間，所以每一個(gè)人有N種分法,n個(gè)人共有Nn種分法,即2o(1)設(shè)A=“某指定n間各有一人”則A所含樣本點(diǎn)數(shù)：Ann! P(A)

n!n

N分析對(duì)于B，由于未指定哪n個(gè)房間,所以這n間房可以從N個(gè)房間中任意選取,共有Cn種分法.而對(duì)于每一選定的n間房,其中NNCnNCn P(B) N設(shè)C=“某指定恰有m(m≤n)人n分析“某指定恰有m(m≤n)人”,這m個(gè)人可以從nCm種選法,而n

例假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天, 1去,共有(N1)nm種分法,所 1

365364L 641)nCm(N1)nmn

Cm(N

p1365364L(36564

P(C)

N

隨機(jī)選取n(365)個(gè)人,他們的生日各不相同的概

p365364L(365n1)p1365364L(365n1)例1N件產(chǎn)品,D件次品,今從中任取n件,問(wèn)其中恰有k(kD件次品的概率是多少?解在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有

例2在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問(wèn)取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是?解設(shè)A為“取到的數(shù)能被6整除”,B種N “取到的數(shù)能被8整除”，則所求概率為P種 nDND

P(AB)P(AUB)1P(AU1{P(A)P(B)P(knk DNDN 333于是所求的概率為p knkn

334

所以PA)2000由于2000250,P(B8

250

例315名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級(jí)中去,這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問(wèn)1級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)3由于83

得PAB

P(AB)1{P(A)P(B)P(

15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中的分法總數(shù)15105 15!333

83

555

250

每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的法共有2000 2000

1284 3!

4!4!4!種444p 15!25

例4從5雙不同的鞋子中任取4只,求4只鞋子中至少有2只鞋子配成一雙的概率是多少? 4!4!4!5!5! 解法1設(shè)A4對(duì)于每一種分法,其余12名新生的分法有12!種

A14A24只鞋子恰好配成2雙,1 于是AA1A2且A1A2 2 68(312!)(2!5!5!)種,因此所求概率 則P(A)P(A1A2)P(A1)P(A23 C1[C222 C p 5 2!5!5!5!5!

C C 解法2設(shè)A4C4

例5某接待站在某一周曾接待過(guò)12次來(lái)訪,已知12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,4P(A) 4C

8

解則PA1P 1813

周一周二周三周四周五周六

i}i33

n m p1

p71200000003. ,

不對(duì) C1P2

一副52張

P(A1)

3964P3P3C1C49611

會(huì),從45名代表中任選名組成工 ,求

C96

(1)某指定的班級(jí) P(A1)

1. 2. 3.

4.

CCC32!

CCC22!05

5. C7;48C7;48

C74C78 6.P(A)C37

9P

C

P(B)1 8C 9 99定義當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域，并且(長(zhǎng)度面積、體積相同的子區(qū)域是等可能的，則A的概率可定義為P(A)SAS(其中S是樣本空間的度量,SA是構(gòu)成A的

例6甲、乙兩人相0到T這段時(shí)間內(nèi),在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面先到的人等候另一個(gè)人經(jīng)過(guò)時(shí)間t(t<T后離去.設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽區(qū)域的度量.)這樣借助于幾何上的度量來(lái)合理規(guī) 解設(shè)x,y分別為甲、乙兩人到達(dá)的定的概率稱(chēng)為幾何概型 時(shí)刻,那么0xT,0yT說(shuō)明當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無(wú)窮多個(gè)時(shí),

xy

T yxxy

例6甲、乙兩人約定在下午1時(shí)到2時(shí)之間到某又這段時(shí)間內(nèi)有四班公共汽車(chē)，1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙約定(1)見(jiàn)車(chē)就乘;(2)最多等一輛p陰影部分面積T2(TtT1(1t)2T

車(chē).求甲、乙同乘一車(chē)的概率ox ox12時(shí)的任何時(shí)刻到達(dá)車(chē)222211設(shè) 分別 1x1y

11:151:301:45 11:151:301:45的概率為p

4(1 (21)24

最多等一輛車(chē),甲、乙p13(116)25 (

矩形區(qū) S{(x,)0x,02 解以x表示針投到平面上時(shí)

所關(guān)心 直線(xiàn)的距離,表示針與該平行直線(xiàn)的夾角 A{針與某一平行直線(xiàn)相交 0xbsin2

0P(A)μ(G)G的面 μ(S P(A)πb0

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性n很大時(shí)ma 2b

測(cè)出針與平行直線(xiàn)相交的次數(shù)m則頻率值nPA的近似值代入上式 m2bπ2bn2 De

利用(MonteCarlo)法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬取a1,b例8在線(xiàn)段AD上任取兩點(diǎn)BC.在BC的概率 依題意，

Q其中任一線(xiàn)段之長(zhǎng)小于其余兩線(xiàn)段之和0xlx,0yl且0lxyxy

設(shè)A“三線(xiàn)段能構(gòu)成三角形” 0l(xy)樣本空間0xl,0

ylU

則A:0xl,0yl lxy2

0

l/2

1(l

2 1l 2

(波動(dòng))n概率(穩(wěn)定

(2)P(A)1P(P(AUB)P(A)P(B)PAmA所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)

設(shè)A,B為兩個(gè),且AB,P(A)P(B),P(AB)P(A)例1(中彩問(wèn)題···,33共33個(gè)數(shù)字中任取

例2把10本書(shū)任意地放在書(shū)架上，求其中解A=“指定的3 mA1A3

83!7!3! 7解P(A)1

3!8!1 CC

P(A)

2.3407 2例3在編號(hào)為1,2,3,…,n的n張贈(zèng)券中，采用無(wú)放

解n本空間樣本點(diǎn)總數(shù)：nAkn A所含的樣本點(diǎn)數(shù)：mAk1 概率分 1號(hào)贈(zèng) 白

Ak1AkP(A) n1Akn其他贈(zèng) 黑 (n1)(n[(n1)(k1)1]1 n(nL(nk 注此題不能直接用組合方法.原因：題目強(qiáng) 例4

例5 18 分 強(qiáng) 白 C 18 其他 黑 C

3解房，N=365(天n樣本空間所包含的樣本點(diǎn)總數(shù)：Nn(365)30 則PAn!N

3036530

則D1與D2互斥，且D

DCCn C30Cn則P(B) n

P(D)P(D)P(D)

C30 m

394(364)29Cm(NP(C)

C2

P(D)1P(D)例65個(gè)人在第一層進(jìn)入11層樓的電梯,假如每解把樓層看成是房子,則此問(wèn)題是5個(gè)人進(jìn)入10

例7在簿中任取一個(gè),求后(設(shè)后面四個(gè)數(shù)中的每一數(shù)都是等可能的取01…9.解隨機(jī)試驗(yàn)是觀察的后四位數(shù)字,因此可以認(rèn)為樣本空間?的樣本點(diǎn)總數(shù)104,而后四位數(shù)字全不相同的樣本點(diǎn)總數(shù)為A4 10

pA10/

例8設(shè)由7位數(shù)字組成(第一位數(shù)字不位數(shù)字

P1 9109

(5)7位數(shù)字含0不含解由0,1,9這十個(gè)數(shù)可以形成9×106

P291060.000001P39106 97896P4的P5

98966

例9擲五次,試求1恰好有3次點(diǎn)數(shù)相同的概率;

不出現(xiàn)6點(diǎn)的基本數(shù)是55,只出現(xiàn)一