3高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷及答案

第1頁（共1頁）高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（5分）已知函數(shù)f（x）＝2x+1，則limΔx→0A．2 B．3 C．4 D．52．（5分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a6＝5，a3+a8＝15，則a9的值為（）A．15 B．﹣15 C．10 D．﹣103．（5分）商場舉行抽獎活動，已知中獎率為14A．364 B．964 C．27644．（5分）已知（2x+1）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，則a1的值為（）A．6 B．12 C．60 D．1925．（5分）函數(shù)f（x）＝x﹣lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（0，1] D．（0，+∞）6．（5分）有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%，二廠生產(chǎn)的占70%．這兩個廠的產(chǎn)品次品率分別為1%，2%，則從這批產(chǎn)品中任取一件，該產(chǎn)品是次品的概率是（）A．0.015 B．0.03 C．0.0002 D．0.0177．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a2＞0，且對于任意正整數(shù)p，q都有apaq＝2p+q成立，則a5的值為（）A．8 B．16 C．32 D．648．（5分）已知無窮等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，Sn為數(shù)列前n項和，則以下結(jié)論正確的是（）A．Sn+1＞Sn B．?dāng)?shù)列{Sn}有最大項 C．?dāng)?shù)列{nan}為遞增數(shù)列 D．存在正整數(shù)N0，當(dāng)n＞N0時，an＞09．（5分）已知函數(shù)f（x）在[﹣π，π]上的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式可能為（）A．f（x）＝exsinx B．f（x）＝e﹣xsinx C．f（x）＝﹣exsinx D．f（x）＝﹣e﹣xsinx10．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ex2﹣2e|x|，以下4個命題：①函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；②函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]單調(diào)遞減；③函數(shù)f（x）存在兩個零點；④函數(shù)f（x）存在極大值和極小值．正確命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinx，則f'（0）＝．12．（5分）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a4a5a6＝1，則a1a2a3a4a5a6a7a8a9的值為．13．（5分）籃球運動員在比賽中每次罰球得分的規(guī)則是：命中得1分，不中得0分．已知某籃球運動員罰球命中的概率為0.9，設(shè)其罰球一次的得分為X，則X的方差D（X）＝．14．（5分）一個口袋中裝有7個球，其中有5個紅球，2個白球，抽到紅球得2分，抽到白球得3分．現(xiàn)從中任意取出3個球，則取出3個球的得分Y的均值E（Y）為．15．（5分）數(shù)列{an}為1，1，2，1，1，3，1，1，1，1，4，……，前n項和為Sn，且數(shù)列{an}的構(gòu)造規(guī)律如下：首先給出a1＝1，接著復(fù)制前面為1的項，再添加1的后繼數(shù)為2，于是a2＝1，a3＝2，然后復(fù)制前面所有為1的項，1，1，再添加2的后繼數(shù)為3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝3，接下來再復(fù)制前面所有為1的項，1，1，1，1，再添加3的后繼數(shù)為4，……，如此繼續(xù)．現(xiàn)有下列判斷：①a30＝6；②S30＝40；③a1034＝11；④S2022＝2077．其中所有正確結(jié)論的序號為．三、解答題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝4，S4＝20，且bn=2（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（Ⅲ）求數(shù)列{an+bn}的前n項和Tn．17．（12分）已知函數(shù)f（x）＝﹣x3在x＝0處的切線l．（Ⅰ）求切線l的方程；（Ⅱ）在同一坐標(biāo)系下畫出f（x）＝﹣x3的圖象，以及切線l的圖象；（Ⅲ）經(jīng)過點（2，﹣1）做f（x）＝﹣x3的切線，共有條．（填空只需寫出答案）18．（12分）某市統(tǒng)計部門隨機(jī)調(diào)查了50戶居民去年一年的月均用電量（單位：kW?h），并將得到數(shù)據(jù)按如下方式分為6組：[170，190），[190，210），……，[270，290），繪制得到如圖的頻率分布直方圖：（Ⅰ）從該市隨機(jī)抽取一戶，估計該戶居民月均用電量在210kW?h以下的概率；（Ⅱ）從樣本中月均用電量在[250，290）內(nèi)的居民中抽取2戶，記抽取到的2戶月均用電量落在[270，290）內(nèi)的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．19．（13分）已知f（x）＝（x2﹣4x+1）ex．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在區(qū)間[﹣4，0]上，函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝a總有交點．求實數(shù)a的取值范圍．20．（13分）開展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生健康成長、幫助家長解決接送學(xué)生困難的重要舉措，是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程．某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對這兩個方案的支持情況，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表：男女支持方案一2416支持方案二2535假設(shè)用頻率估計概率，且所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨立．（Ⅰ）從樣本中抽1人，求已知抽到的學(xué)生支持方案二的條件下，該學(xué)生是女生的概率；（Ⅱ）從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為抽出兩人中女生的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，Y表示抽出兩人中男生的個數(shù)，試判斷方差D（X）與D（Y）的大?。ㄖ苯訉懡Y(jié)果）21．（13分）若數(shù)列{an}中存在三項，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱{an}為“△數(shù)列”．（Ⅰ）分別判斷數(shù)列1，2，3，4，與數(shù)列2，6，8，12是否為“△數(shù)列”，并說明理由；（Ⅱ）已知數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n+1+1，判斷{bn}是否為“△數(shù)列”，并說明理由；（Ⅲ）已知數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，且c1≠0，cn∈Z（n∈N*），求證{cn}為“△數(shù)列”．

高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（5分）已知函數(shù)f（x）＝2x+1，則limΔx→0A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵f′（x）＝2，∴l(xiāng)imΔx→0f(2+Δx)?f(2)故選：A．2．（5分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a6＝5，a3+a8＝15，則a9的值為（）A．15 B．﹣15 C．10 D．﹣10【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a6＝5，a3+a8＝15，∴a1+5d=52a1+9d=15∴a9＝a1+8d＝30﹣40＝﹣10．故選：D．3．（5分）商場舉行抽獎活動，已知中獎率為14A．364 B．964 C．2764【解答】解：中獎率為14則恰有1位中獎的概率為C3故選：C．4．（5分）已知（2x+1）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，則a1的值為（）A．6 B．12 C．60 D．192【解答】解：二項式（2x+1）6展開式的通項Tr+1＝C6r（2x）6﹣r＝C6r26﹣r令6﹣r＝1，解r＝5，所以T6＝C6521?x＝12x，所以a故選：B．5．（5分）函數(shù)f（x）＝x﹣lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（0，1] D．（0，+∞）【解答】解：由題意得x＞0，f′(x)=1?1易得當(dāng)0＜x≤1時，f′（x）≤0，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1]．故選：C．6．（5分）有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%，二廠生產(chǎn)的占70%．這兩個廠的產(chǎn)品次品率分別為1%，2%，則從這批產(chǎn)品中任取一件，該產(chǎn)品是次品的概率是（）A．0.015 B．0.03 C．0.0002 D．0.017【解答】解：設(shè)事件A為“任取一件為次品”．事件Bi為“任取一件為i廠的產(chǎn)品”，i＝1，2．則Ω＝B1∪B2，且B1，B2互斥．易知P（B1）＝0.3，P（B2）＝0.7，P（A|B1）＝0.01，P（A|B2）＝0.02．∴P（A）＝P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）＝0.01×0.3+0.02×0.7＝0.017．故選：D．7．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a2＞0，且對于任意正整數(shù)p，q都有apaq＝2p+q成立，則a5的值為（）A．8 B．16 C．32 D．64【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足a2＞0，且對于任意正整數(shù)p，q都有apaq＝2p+q成立，∴a1?a1＝22，a1?a2＝23，∴a1＝2＞0，∴a1?an＝21+n，∴an＝2n．∴數(shù)列{an}的通項公式an＝2n．∴a5＝32，故選：C．8．（5分）已知無窮等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，Sn為數(shù)列前n項和，則以下結(jié)論正確的是（）A．Sn+1＞Sn B．?dāng)?shù)列{Sn}有最大項 C．?dāng)?shù)列{nan}為遞增數(shù)列 D．存在正整數(shù)N0，當(dāng)n＞N0時，an＞0【解答】解：對于A：無窮等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，故Sn+1﹣Sn＝an+1，由于an+1＝a1+nd的符號無法確定，故A錯誤；對于B：當(dāng)a1＞0時，Sn+1﹣Sn＝an+1＝a1+nd＞0，此時數(shù)列{Sn}單調(diào)遞增，不存在最大項，故B錯誤；對于C：由于nan＝a1n+n（n﹣1）d，所以（n+1）an+1﹣nan＝a1+2nd，當(dāng)a1+2nd＜0時，數(shù)列不一定單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D：由于等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以d＞0，若a1＜0時，當(dāng)n比較大時，an＞0，即一定存在正整數(shù)N0，當(dāng)n＞N0時，an＞0，若an≥0時，顯然存在正整數(shù)N0，當(dāng)n＞N0時，an＞0，故D正確．故選：D．9．（5分）已知函數(shù)f（x）在[﹣π，π]上的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式可能為（）A．f（x）＝exsinx B．f（x）＝e﹣xsinx C．f（x）＝﹣exsinx D．f（x）＝﹣e﹣xsinx【解答】解：由于圖象在第二、四象限，而選項A、B對應(yīng)的函數(shù)圖象經(jīng)過第一象限，故排除A、B；當(dāng)f（x）＝﹣exsinx時，f'（x）＝﹣ex（cosx+sinx）在[﹣π，π]內(nèi)的極大值點和極小值點分別為?π4，當(dāng)f（x）＝﹣e﹣xsinx時，f'（x）＝﹣e﹣x（cosx﹣sinx）在[﹣π，π]內(nèi)極大值點和極小值點分別為?3π4，π4故選：D．10．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ex2﹣2e|x|，以下4個命題：①函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；②函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]單調(diào)遞減；③函數(shù)f（x）存在兩個零點；④函數(shù)f（x）存在極大值和極小值．正確命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由f（x）＝ex2﹣2e|x|，得f（﹣x）＝e（﹣x）2﹣2e|﹣x|＝ex2﹣2e|x|，故f（x）為偶函數(shù)，①對；當(dāng)x∈[1，e]時，f（x）＝ex2﹣2ex，f′（x）＝2ex﹣2ex＝2e（x﹣ex﹣1）≤0，所以f（x）單調(diào)遞減，故②正確；當(dāng)x＞0時，令f′（x）＝2e（x﹣ex﹣1）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又因為f（0）＝﹣2＜0，所以f（x）在（0，+∞）上無零點，又因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）在R上無零點，故③錯誤；由③可知，函數(shù)f（x）只有最大值為﹣2，此時x＝0，故④錯誤．故選：B．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinx，則f'（0）＝1．【解答】解：對函數(shù)求導(dǎo)可得f′（x）＝cosx，故f′（0）＝cos0＝1，故答案為：1．12．（5分）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a4a5a6＝1，則a1a2a3a4a5a6a7a8a9的值為1．【解答】解：∵a4a5a6＝1，∴a53=1，解得∴a1a2a3a4a5a6a7a8a9=a故答案為：1．13．（5分）籃球運動員在比賽中每次罰球得分的規(guī)則是：命中得1分，不中得0分．已知某籃球運動員罰球命中的概率為0.9，設(shè)其罰球一次的得分為X，則X的方差D（X）＝0.09．【解答】解：由題意可得，X服從兩點分布，則D（X）＝0.9×（1﹣0.9）＝0.09．故答案為：0.09．14．（5分）一個口袋中裝有7個球，其中有5個紅球，2個白球，抽到紅球得2分，抽到白球得3分．現(xiàn)從中任意取出3個球，則取出3個球的得分Y的均值E（Y）為487【解答】解：由題意可得，Y的可能取值為6，7，8，P（Y＝6）=C53C73=27，P（Y故E（Y）=6×2故答案為：48715．（5分）數(shù)列{an}為1，1，2，1，1，3，1，1，1，1，4，……，前n項和為Sn，且數(shù)列{an}的構(gòu)造規(guī)律如下：首先給出a1＝1，接著復(fù)制前面為1的項，再添加1的后繼數(shù)為2，于是a2＝1，a3＝2，然后復(fù)制前面所有為1的項，1，1，再添加2的后繼數(shù)為3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝3，接下來再復(fù)制前面所有為1的項，1，1，1，1，再添加3的后繼數(shù)為4，……，如此繼續(xù)．現(xiàn)有下列判斷：①a30＝6；②S30＝40；③a1034＝11；④S2022＝2077．其中所有正確結(jié)論的序號為②③④．【解答】解：根據(jù)題意，由數(shù)列{an}的構(gòu)造規(guī)律，得：a1＝1，a3＝2，a6＝3，a11＝4，??????∴a2n?1對于①，當(dāng)n＝5時，24+5﹣1＝20，∴a20＝5，當(dāng)n＝6時，25+6﹣1＝37＞30，則有a30＝1，故①錯誤；對于②，前20項中，a1＝1，a3＝2，a6＝3，a11＝4，a20＝5，其余項為1，則S20＝15+1+2+3+4+5＝30，a21，a22，???，a30的值均為1，∴S30＝S20+10＝40，故②正確；對于③，當(dāng)n＝11時，210+11﹣1＝1034，∴a1034＝11，故③正確；對于④，當(dāng)n＝11時，210+11﹣1＝1034，當(dāng)n＝12時，211+12﹣1＝2059，則在前2022項中，不是1的項有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，其余2012項都是1，則S2022＝2012+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝2077，故④正確．故答案為：②③④．三、解答題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝4，S4＝20，且bn=2（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（Ⅲ）求數(shù)列{an+bn}的前n項和Tn．【解答】（I）解：因為等差數(shù)列{an}中，a2＝4，S4＝20，所以a1解得d＝2，a1＝2，所以an＝2+2（n﹣1）＝2n；（II）證明：由（I）知bn=2an所以bn即數(shù)列{bn}是以4為公比的等比數(shù)列；（Ⅲ）數(shù)列{an+bn}的前n項和Tn＝2+4+4+42+???+2n+4n＝（2+4+???+2n）+（4+42+???+4n）=(2+2n)n2+4(1?4n17．（12分）已知函數(shù)f（x）＝﹣x3在x＝0處的切線l．（Ⅰ）求切線l的方程；（Ⅱ）在同一坐標(biāo)系下畫出f（x）＝﹣x3的圖象，以及切線l的圖象；（Ⅲ）經(jīng)過點（2，﹣1）做f（x）＝﹣x3的切線，共有3條．（填空只需寫出答案）【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝﹣3x2，f′（0）＝0，f（0）＝0，∴切線l的方程為y＝0；（Ⅱ）圖象如下圖所示，（Ⅲ）設(shè)切點為（x0，y0），則y0=?x設(shè)g（x）＝2x3﹣6x2+1，則g′（x）＝6x2﹣12x＝6x（x﹣2），易知函數(shù)g（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，2）上單調(diào)遞減，又f（0）＝1＞0，f（2）＝﹣7＜0，則函數(shù)g（x）有三個零點，即2x∴所求切線共有三條．18．（12分）某市統(tǒng)計部門隨機(jī)調(diào)查了50戶居民去年一年的月均用電量（單位：kW?h），并將得到數(shù)據(jù)按如下方式分為6組：[170，190），[190，210），……，[270，290），繪制得到如圖的頻率分布直方圖：（Ⅰ）從該市隨機(jī)抽取一戶，估計該戶居民月均用電量在210kW?h以下的概率；（Ⅱ）從樣本中月均用電量在[250，290）內(nèi)的居民中抽取2戶，記抽取到的2戶月均用電量落在[270，290）內(nèi)的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（I）由頻率分布直方圖可知，隨機(jī)抽取一戶，估計該戶居民月均用電量在210kW?h以下的概率為20×（0.006+0.009）＝0.3．（Ⅱ）樣本中月均用電量在[250，270）內(nèi)的居民有20×0.006×50＝6戶，樣本中月均用電量在[270，290）內(nèi)的居民有20×0.003×50＝3戶，則樣本中月均用電量在[250，290）內(nèi)的居民有9戶，抽取到的2戶月均用電量落在[270，290）內(nèi)的個數(shù)為X，則X所有可能取值為0，1，2，P（X＝0）=C62C92=512，P（X故X的分布列為：X012P51112故E（X）=0×519．（13分）已知f（x）＝（x2﹣4x+1）ex．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在區(qū)間[﹣4，0]上，函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝a總有交點．求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（I）f′（x）＝（x2﹣2x﹣3）ex＝（x﹣3）（x+1）ex，當(dāng)x≥3或x≤﹣1時，f′（x）≥0，當(dāng)﹣1＜x＜3時，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[3，+∞），（﹣∞，﹣1]，單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣1，3）；（II）由（I）知，函數(shù)f（x）在[﹣4，﹣1]上單調(diào)遞增，[﹣1，0]上單調(diào)遞減，又f（﹣1）=6e，f（0）＝1，f（﹣4）由題意得33e4≤所以a的取值范圍為{a|33e4≤20．（13分）開展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生健康成長、幫助家長解決接送學(xué)生困難的重要舉措，是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程．某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對這兩個方案的支持情況，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表：男女支持方案一2416支持方案二2535假設(shè)用頻率估計概率，且所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨立．（Ⅰ）從樣本中抽1人，求已知抽到的學(xué)生支持方案二的條件下，該學(xué)生是女生的概率；（Ⅱ）從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為抽出兩人中女生的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，Y表示抽出兩人中男生的個數(shù)，試判斷方差D（X）與D（Y）的大?。ㄖ苯訉懡Y(jié)果）【解答】解：（1）依題意支持方案二的學(xué)生中，男生有25人、女生35人．所以抽到的是女生的概率P=35（2）記從方案一中抽取到女生為事件A，從方案二中抽取到女生為事件B．則P（A）=1624+16