遼寧省大連市達(dá)標(biāo)名校2024年高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

遼寧省大連市達(dá)標(biāo)名校2024年高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知F是橢圓C的一個焦點(diǎn)，B是短軸的一個端點(diǎn)，直線BF與橢圓C的另一個交點(diǎn)為D，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.2．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.3．橢圓上一點(diǎn)到一個焦點(diǎn)的距離為，則到另一個焦點(diǎn)的距離是（）A. B.C. D.4．已知，，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為（）A. B.C. D.5．雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，若直線與該雙曲線交于、兩點(diǎn)，為等腰直角三角形，則該雙曲線離心率為（）A. B.C. D.6．在正方體中，，則（）A. B.C. D.7．直線的方向向量為（）A. B.C. D.8．直線的傾斜角為（）A.-30° B.60°C.150° D.120°9．若，都為正實(shí)數(shù)，，則的最大值是（）A. B.C. D.10．命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，11．下列各式正確的是（）A. B.C. D.12．若不等式組表示的區(qū)域?yàn)?，不等式表示的區(qū)域?yàn)?，向區(qū)域均勻隨機(jī)撒顆芝麻，則落在區(qū)域中的芝麻數(shù)約為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線：，斜率為且過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，證明：為定值14．若直線與直線平行，則________.15．如圖，正四棱錐的棱長均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線AB，CE上的動點(diǎn)，則MN的最小值為______16．若復(fù)數(shù)滿足，則_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線中心在原點(diǎn)，離心率為2，一個焦點(diǎn)（1）求雙曲線方程；（2）設(shè)Q是雙曲線上一點(diǎn)，且過點(diǎn)F、Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，若，求直線l的方程18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式：.19．（12分）已知橢圓的上一點(diǎn)處的切線方程為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)P為直線上任一點(diǎn)，過P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求證：20．（12分）已知二次函數(shù)，令，解得.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)關(guān)于的不等式恒成立時，求實(shí)數(shù)的范圍.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)與曲線的右焦點(diǎn)重合.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若拋物線上的點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo).22．（10分）已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)和.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)且斜率存在的直線與圓交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】設(shè)，根據(jù)得，代入橢圓方程即可求得離心率.【題目詳解】設(shè)橢圓方程，所以，設(shè)，所以，所以，在橢圓上，所以，.故選：A2、B【解題分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可得選項(xiàng).【題目詳解】由得，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，故選：B.3、B【解題分析】利用橢圓的定義可得結(jié)果.【題目詳解】在橢圓中，，由橢圓的定義可知，到另一個焦點(diǎn)的距離是.故選：B.4、C【解題分析】根據(jù)題意可設(shè)，再根據(jù)，求出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【題目詳解】解：由點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，可設(shè)，則，由，得，所以，則，則，其中，所以當(dāng)時，取得最大值為22.故選：C.5、A【解題分析】求出，分析可得，可得出關(guān)于、、的齊次等式，由此可求得該雙曲線的離心率的值.【題目詳解】聯(lián)立，可得，則，易知點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，且為線段的中點(diǎn)，則，又因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以，，即，即，所以，，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.6、A【解題分析】根據(jù)空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的幾何意義進(jìn)行求解即可.【題目詳解】因?yàn)?，而，所以有，故選：A7、D【解題分析】根據(jù)直線方程，求得斜率k，分析即可得直線的方向向量.【題目詳解】直線變形可得，所以直線的斜率，所以向量為直線的一個方向向量，因?yàn)?，所以向量為直線的方向向量，故選：D8、C【解題分析】根據(jù)直線斜率即可得傾斜角.【題目詳解】設(shè)直線的傾斜角為由已知得，所以直線的斜率，由于，故選：C.9、B【解題分析】由基本不等式，結(jié)合題中條件，直接求解，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，都為正?shí)數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最大值.故選：D10、A【解題分析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【題目詳解】因?yàn)槊}“，”是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即為，，故選：A11、C【解題分析】利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【題目詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：C12、A【解題分析】作出兩平面區(qū)域，計(jì)算兩區(qū)域的公共面積，利用幾何概型得出芝麻落在區(qū)域Γ內(nèi)的概率，進(jìn)而可得答案.【題目詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中三角形ABC及其內(nèi)部，不等式表示的區(qū)域如下圖中的圓及其內(nèi)部：由圖可得，A點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為.區(qū)域即的面積為，區(qū)域的面積為圓的面積，即，其中區(qū)域和區(qū)域不相交的部分面積即空白面積，所以區(qū)域和區(qū)域相交的部分面積，所以落入?yún)^(qū)域的概率為.所以均勻隨機(jī)撒顆芝麻，則落在區(qū)域中芝麻數(shù)約為.故選:A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）（2）為定值6【解題分析】（1）由題意可知：將直線方程代入拋物線方程，由韋達(dá)定理可知：，，，，求得p的值，即可求得拋物線E的方程；（2）由直線的斜率公式可知：，，，代入，，即可得到：.試題解析：（1）直線的方程為，聯(lián)立方程組得，設(shè)，，所以，，又，所以，從而拋物線的方程為（2）因?yàn)?，，所以，，因此，又，，所以，即為定值點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).14、【解題分析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出【題目詳解】當(dāng)時，顯然兩直線不平行，所以依題有，解得故答案為：15、【解題分析】根據(jù)題意，先建立空間直角坐標(biāo)系，然后寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫出相關(guān)的向量，然后根據(jù)點(diǎn)分別為直線上寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣就得到，然后根據(jù)的取值范圍而確定【題目詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有：，，，，，可得：設(shè)，且則有：，可得：則有：故則當(dāng)且僅當(dāng)時，故答案為：16、【解題分析】設(shè)，則，利用復(fù)數(shù)相等，求出，的值，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式進(jìn)行計(jì)算即可【題目詳解】設(shè)，則，則由得，即，則，得，則，故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計(jì)算，利用待定系數(shù)法，結(jié)合復(fù)數(shù)相等求出復(fù)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解題分析】（1）依題意設(shè)所求的雙曲線方程為，則，再根據(jù)離心率求出，即可求出，從而得到雙曲線方程；（2）依題意可得直線的斜率存在，設(shè)，即可得到的坐標(biāo)，依題意可得或，分兩種情況分別求出的坐標(biāo)，再根據(jù)的雙曲線上，代入曲線方程，即可求出，即可得解；【小問1詳解】解：設(shè)所求的雙曲線方程為（，），則，，∴，又則，∴所求的雙曲線方程為【小問2詳解】解：∵直線l與y軸相交于M且過焦點(diǎn)，∴l(xiāng)的斜率一定存在，則設(shè)．令得，∵且M、Q、F共線于l，∴或當(dāng)時，，，∴，∵Q在雙曲線上，∴，∴，當(dāng)時，，代入雙曲線可得：，∴綜上所求直線l的方程為：或18、（1）；（2）答案見解析.【解題分析】（1）由題設(shè)可得，進(jìn)而可知在恒成立，即可求參數(shù)范圍.（2）題設(shè)不等式等價于，討論的大小并根據(jù)一元二次不等式的解法求解集即可.【小問1詳解】當(dāng)時，得，即.由，則，∴，即，∴，即，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】由，即，即.①當(dāng)時，不等式解集為；②當(dāng)時，不等式的解集為；③當(dāng)時，不等式的解集為.綜上，當(dāng)時﹐不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為﹔當(dāng)時，不等式的解集為.19、（1）（2）證明見解析【解題分析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，求出然后求解最小值，推出，，，得到雙曲線方程（2）設(shè)，，，，，即可得到，依題意可得以、為切點(diǎn)的切線方程，從而得到直線的方程，再分與兩種情況討論，即可得證；【小問1詳解】解：設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以?dāng)且僅當(dāng)時，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】解：由（1）知，設(shè)，，，，，所以，由題知，以為切點(diǎn)的橢圓切線方程為，以為切點(diǎn)的橢圓切線方程為，又點(diǎn)在直線、上，所以、，所以直線的方程為，當(dāng)時，直線的斜率不存在，直線斜率為，所以，當(dāng)時，，所以，所以，綜上可得；20、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用一元二次不等式的解集是，得到-3，2是方程的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，即可求，；（2）根據(jù)題意，得出不等式恒成立，則，解不等式即可求出實(shí)數(shù)的范圍.詳解】解：（1）由題可知，，解得：，則-3，2是方程的兩個根，且，所以由根與系數(shù)之間的關(guān)系得，解得，所以二次函數(shù)的解析式為：；（2）由于不等式恒成立，即恒成立，則，解得：，所以實(shí)數(shù)的范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查由一元二次不等式的解集求函數(shù)解析式，以及不等式恒成立問題求參數(shù)范圍，考查根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查化簡運(yùn)算能力21、（1）；（2）或.【解題分析】（1）求出雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求出的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義求出的值，代入拋物線的方程可求得的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【題目詳解】（1）由雙曲線方程可得，，所以，解得.則曲線的右焦點(diǎn)為，所以，.因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，由拋物線的定義及已知可得，解得.代入拋物線方程可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.