點的軌跡方程的求法

點的軌跡方程的求法第一頁，共十二頁，編輯于2023年，星期一求曲線方程的步聚：1、建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担⒃O動點坐標2、列出動點滿足的條件等式3、列方程4、化簡5、檢驗1）已知給定長度的線段2）已知兩條垂直的直線3）對稱圖形如何建立合適的直角坐標系？第二頁，共十二頁，編輯于2023年，星期一

1、直接法例1、求與圓x2+y2-4x=0外切且與Y軸相切的動圓的圓心的軌跡方程。PABxyo變式：外切改為相切呢？解：設動圓圓心為P(x,y).由題，得即-4x+y2=4|x|得動圓圓心的軌跡方程為y=0(x<0),或y2=8x(x>0)第三頁，共十二頁，編輯于2023年，星期一

x例2已知ΔABC底邊BC的長為2,又知tanBtanC=t(t≠0).(t為常數(shù)).求頂點A的軌跡方程.

BC

A所求的軌跡方程為

tx2+y2=t

yo變式：把tgBtgC=t(t≠0)改為C=2B呢？tanC=tan2B

解：以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸，建立如圖直角系。則B(-1,0),C(1,0).設A(x,y).又tanBtanC=t(x≠1)第四頁，共十二頁，編輯于2023年，星期一(2)求圓x2+y2-2x+4y=0關于直線x-y=0對稱的圓方程。2、轉移代入法變式：(1)中點改為MP:PA=t(t>0的常數(shù)）例3、圓上的點M與定點A(3,0)的線段MA的中點為P，求P點的軌跡。MPA(3,0)xyo第五頁，共十二頁，編輯于2023年，星期一例4

如圖,過點A(-3,0)的直線l與曲線C：x2+2y2=4交于A,B兩點.作平行四邊形OBPC，求點P的軌跡。AoxyBCPG解法一：利用韋達定理解法二：點差法連PO交CB于G.設P(x,y),G(x0,y0),C(x1,y1),B(x2,y2),則x12+2y12=4x22+2y22=4作差，得(x2-x1)(x2+x1)+(y2-y1)(y2+y1)=0即x0+y0k=0又k=解得，x0=y0=x=y=因此消去k,得(x+3)2+y2=9故所求軌跡為(-3,0)為圓心，3為半徑的圓.?3、參數(shù)法第六頁，共十二頁，編輯于2023年，星期一ABQPxyoG變式：已知圓：x2+y2=r2,定點A(a,0),其中a，r>0.P,B是圓上兩點，作矩形PABQ，求點Q的軌跡。設P(x1,y1),B(x2,y2),則又ABPA,所以x1x2+y1y2=a(x1+x2)-a2=ax即(x1-a,y1)(x2-a,y2)=0,(x,y)(1)(2)(3)(4)(5)(3)2+(4)2,得(x+a)2+y2=2r2+2(x1x2+y1y2)結合（5），得點Q的坐標滿足方程x2+y2=2r2-a2若，表示原點；討論：若,表示原點為圓心，為半徑的圓；若，無軌跡。解：連PB,AQ交于點G。設Q(x,y),G(x0,y0),則則x+a=2x0,y=2y0.第七頁，共十二頁，編輯于2023年，星期一ABQPxyoG又ABPA,所以(x,y)(1)(2)(3)另解：設Q(x,y),G(x0,y0),則x+a=2x0,y=2y0.設B(rcos,rsin),P(rcos,rsin),則第八頁，共十二頁，編輯于2023年，星期一1、拋物線的頂點的軌跡方程是

。練習y=2x,第九頁，共十二頁，編輯于2023年，星期一

依題意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)設=k(0≤k≤1),由此有E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak)xy

2、(2003年高考第22題變式)已知常數(shù)a>0,在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O為AB中點，點E,F,G分別在BC、CD、DA上移動，且,P為GE與OF的交點,求點P軌跡方程。ABCDEFGoP直線OF的方程為2ax+(2k-1)y=0……………①直線GE的方程為-a(2k-1)x+y-2a=0…………②從①②消去參數(shù)k，得點P(x,y)坐標滿足方程2a2x2+y2-2ay=0(去掉（0，0））解：以AB所在直線為x軸,過o垂直AB直線為y軸,建立如圖直角坐標系.第十頁，共十二頁，編輯于2023年，星期一直接法:轉移代入法

(也稱相關點法):所求動點M的運動依賴于一已知曲線上的一個動點M0的運動,將M0的坐標用M的坐標表示,代入已知曲線,所的方程即為所求.參數(shù)法:動點的運動依賴于某一參數(shù)(角度、斜率、坐標等)的變化,可建立相應的參數(shù)方程,再化為普通方程.一