理論力學(xué)第十一章

理論力學(xué)第十一章第一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一第11章動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩動(dòng)量矩定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程第二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一引言

由靜力學(xué)力系簡(jiǎn)化理論知：平面任意力系向任一簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。由剛體平面運(yùn)動(dòng)理論知：剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨同基點(diǎn)的平動(dòng)和相對(duì)基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。若將簡(jiǎn)化中心和基點(diǎn)取在質(zhì)心上，則動(dòng)量定理(質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理)描述了剛體隨同質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)的變化和外力系主矢的關(guān)系。它揭示了物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一個(gè)側(cè)面。剛體相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)變化與外力系對(duì)質(zhì)心的主矩的關(guān)系將由本章的動(dòng)量矩定理給出。它揭示了物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的另一個(gè)側(cè)面。第三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩

質(zhì)點(diǎn)Q的動(dòng)量對(duì)于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩，是矢量。11.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩xyzqOmvMO(mv)Mz(mv)r

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量mv在oxy平面內(nèi)的投影(mv)xy對(duì)于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)于z軸的矩，簡(jiǎn)稱對(duì)于z軸的動(dòng)量矩，是代數(shù)量。第四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

類似于力對(duì)點(diǎn)之矩和力對(duì)軸之矩的關(guān)系，質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢在z軸上的投影，等于對(duì)z的動(dòng)量矩。在國(guó)際單位制中，動(dòng)量矩的單位是kg·m2/s。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩[MO(mv)]z＝Mz(mv)第五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩LO=ΣMO(mivi)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某軸z的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一z軸的動(dòng)量矩的代數(shù)和。LZ=ΣMz(mivi)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢在通過該點(diǎn)的z軸上的投影，等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩。[LO]z=Lz第六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一3平動(dòng)剛體的動(dòng)量矩剛體平移時(shí)，可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)計(jì)算其動(dòng)量矩。剛體的動(dòng)量矩4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩令Jz＝Σmiri2

稱為剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,于是得即：繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。第七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

例1均質(zhì)圓盤可繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，其上纏有一繩，繩下端吊一重物A。若圓盤對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，半徑為r，角速度為w，重物A的質(zhì)量為m，并設(shè)繩與原盤間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，求系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩。解：LO的轉(zhuǎn)向沿逆時(shí)針方向。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩第八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一11.2.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理

設(shè)質(zhì)點(diǎn)Q對(duì)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為MO(mv)，作用力F對(duì)同一點(diǎn)的矩為MO(F)，如圖所示。11.2

動(dòng)量矩定理xyzOMO(mv)mvrMO(F)F將動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間取一次導(dǎo)數(shù)，得第九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一11.2.1

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗詘yzOMO(mv)mvrMO(F)F質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩。第十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

將上式投影在直角坐標(biāo)軸上，并將對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩與對(duì)軸的動(dòng)量矩的關(guān)系代入，得質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)點(diǎn)所受的力對(duì)同一軸的矩。11.2.1

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理第十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例2圖示為一單擺（數(shù)學(xué)擺），擺錘質(zhì)量為m，擺線長(zhǎng)為l，如給擺錘以初位移或初速度（統(tǒng)稱初擾動(dòng)），它就在經(jīng)過O點(diǎn)的鉛垂平面內(nèi)擺動(dòng)。求此單擺在微小擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：以擺錘為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。在任一瞬時(shí)，擺錘的速度為v，擺的偏角為j，則式中負(fù)號(hào)表示力矩的正負(fù)號(hào)恒與角坐標(biāo)j的正負(fù)號(hào)相反。它表明力矩總是有使擺錘回到平衡位置的趨勢(shì)。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理MyxNvmg第十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一由即這就是單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。當(dāng)j很小時(shí)擺作微擺動(dòng)，sinj≈j，于是上式變?yōu)榇宋⒎址匠痰慕鉃槠渲蠥和a為積分常數(shù)，取決于初始條件。可見單擺的微幅擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。擺動(dòng)的周期為顯然，周期只與l有關(guān)，而與初始條件無(wú)關(guān)。得第十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，作用于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力分為外力Fi(e)

和內(nèi)力Fi(i)

。由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理有這樣的方程共有n個(gè)，相加后得由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，因此上式右端的第二項(xiàng)11.2.2

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理第十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一上式左端為于是得11.2.2

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和。第十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一在應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理時(shí)，取投影式質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一軸的矩的代數(shù)和。11.2.2

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理第十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一1.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律如果作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)某定點(diǎn)(或定軸)之矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)(或該軸)的動(dòng)量矩保持不變。11.2.3

動(dòng)量矩守恒定理當(dāng)外力對(duì)于某定點(diǎn)(或某定軸)的主矩等于零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于該點(diǎn)(或該軸)的動(dòng)量矩保持不變。2.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律第十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例3高爐運(yùn)送礦石的卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖。已知鼓輪的半徑為R，質(zhì)量為m1，繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。小車和礦石的總質(zhì)量為m2。作用在鼓輪上的力偶矩為M，鼓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，軌道傾角為a。設(shè)繩質(zhì)量和各處摩擦不計(jì)，求小車的加速度a。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。以順時(shí)針為正，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸O的動(dòng)量矩LO：由，有動(dòng)量矩定理MOm2gNvm1gFOxFOyw第十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一因 ,于是解得若M＞m2gRsina，則a＞0，小車的加速度沿軌道向上。

必須強(qiáng)調(diào)的是：為使動(dòng)量矩定理中各物理量的正負(fù)號(hào)保持協(xié)調(diào)，動(dòng)量矩和力矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定必須完全一致。動(dòng)量矩定理第十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例4水平桿AB長(zhǎng)2a，可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，其兩端各用鉸鏈與長(zhǎng)為l的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)結(jié)質(zhì)量為m的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿AC與BD均為鉛垂，這系統(tǒng)繞z軸的角速度為w0。如某時(shí)此細(xì)線拉斷，桿AC和BD各與鉛垂線成a角。不計(jì)各桿的質(zhì)量，求這時(shí)系統(tǒng)的角速度w。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)所受的外力有小球的重力和軸承處的約束力，這些力對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒，即顯然，此時(shí)的角速度w＜w

0。第二十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象例5

均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。圓輪在重物P帶動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為W。求重物下落的加速度。應(yīng)用動(dòng)量矩定理OPWvmgFOxFOyw第二十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例6

水流通過固定導(dǎo)流葉片進(jìn)入葉輪，入口和出口的流速分別為v1和v2，二者與葉輪外周邊和內(nèi)周邊切線之間的夾角分別為1和

2，水的體積流量為qV、密度為

，水流入口和出口處葉輪的半徑分別為r1和r2，葉輪水平放置。求水流對(duì)葉輪的驅(qū)動(dòng)力矩。解：在dt時(shí)間間隔內(nèi)，水由ABCD段運(yùn)動(dòng)到abcd時(shí)，所受的力以及他們對(duì)O軸之矩：

重力——由于水輪機(jī)水平放置，重力對(duì)O軸之矩等于0；

相鄰水流的壓力

——忽略不計(jì)；

葉輪的反作用力矩

——與水流對(duì)葉輪的驅(qū)動(dòng)力矩大小相等，方向相反。abcd第二十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一abcd應(yīng)用動(dòng)量矩定理Mz第二十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例7一繩跨過定滑輪，其一端吊有質(zhì)量為m的重物A，另一端有一質(zhì)量為m的人以速度u相對(duì)細(xì)繩向上爬。若滑輪半徑為r，質(zhì)量不計(jì)，并且開始時(shí)系統(tǒng)靜止，求人的速度。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。設(shè)重物A上升的速度為v，則人的絕對(duì)速度va的大小為由于SMO(F(e))＝0，且系統(tǒng)初始靜止，所以LO＝0。由上可知，人與重物A具有相同的的速度，此速度等于人相對(duì)繩的速度的一半。如果開始時(shí)，人與重物A位于同一高度，則不論人以多大的相對(duì)速度爬繩，人與重物A將始終保持相同的高度。uvave＝vmgmguAOFOxFOy第二十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

設(shè)剛體繞定軸z以角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)，則剛體對(duì)z軸的動(dòng)量矩為L(zhǎng)z＝

Jzw。11.3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程xyzFN1FN2FnF1F2剛體受到主動(dòng)力和軸承的約束力，如不計(jì)摩擦，則由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理得或第二十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一11.3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)該軸的矩的代數(shù)和。以上各式均稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程。第二十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例6如圖所示，已知滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，帶動(dòng)滑輪的皮帶拉力為F1和F2

。求滑輪的角加速度a。

解：由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程于是得由上式可見，只有當(dāng)定滑輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（包括靜止）或雖非勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，但可忽略滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，跨過定滑輪的皮帶拉力才是相等的。F1F2ORa定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第二十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例7圖示物理擺的質(zhì)量為m，C為其質(zhì)心，擺對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。求微小擺動(dòng)的周期。

解：設(shè)j角以逆時(shí)針方向?yàn)檎．?dāng)j角為正時(shí)，重力對(duì)O點(diǎn)之矩為負(fù)。由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，有當(dāng)微擺動(dòng)時(shí)，有sinj≈j

，故方程寫為此方程通解為j

0為角振幅，a為初相位。它們均由初始條件確定。擺動(dòng)周期為mg這就表明，如已知某物體的質(zhì)量和質(zhì)心位置，并將物體懸掛于O點(diǎn)作微幅擺動(dòng)，測(cè)出擺動(dòng)周期后即可計(jì)算出此物體對(duì)于O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。第二十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例8如圖，飛輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，以初角速度w0繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其阻力矩M＝－aw(a為常數(shù))。求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，角速度降至初角速度的一半，在此時(shí)間內(nèi)共轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn)?

解：以飛輪為研究對(duì)象，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，有Mw0將（1）式變換，有將上式求定積分，得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第二十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一將(1)式改寫為即將上式求定積分，得轉(zhuǎn)過的角度為因此轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)第三十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例9如圖所示，嚙合齒輪各繞定軸O1、O2轉(zhuǎn)動(dòng)，其半徑分別為r1、r2，質(zhì)量分別為m1、m2，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，今在輪O1上作用一力矩M，求其角加速度。解：分別以兩輪為研究對(duì)象，受力如圖，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，有由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，得注意到 ，聯(lián)立求解以上三式得O1r1r2O2MFO1yFO1xFtFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2F′tF′nM第三十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一OFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除約束前：

FOx=0,FOy=mg/2突然解除約束瞬時(shí)：

FOx=？,FOy=？例題10關(guān)于突然解除約束問題第三十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

突然解除約束瞬時(shí)，桿OA將繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，不再是靜力學(xué)問題。這時(shí)，0，0。需要先求出，再確定約束力。應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理OFOxFOyW=mg第三十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

由前知，剛體對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到軸z

的垂直距離的平方乘積的算術(shù)和。即對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，上式可寫成積分形式

由定義可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅與質(zhì)量有關(guān)，而且與質(zhì)量的分布有關(guān)；在國(guó)際單位制中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位是:kg·m2。同一剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的，而它對(duì)某定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量卻是常數(shù)。因此在談及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，必須指明它是對(duì)哪一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。11.4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第三十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

1.均質(zhì)細(xì)桿11.4.1簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量z1dxxxCzdxxxOl

設(shè)均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)l，質(zhì)量為m，取微段dx,則第三十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

2.均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為R。則3.均質(zhì)圓板對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)圓板的質(zhì)量為m，半徑為R。將圓板分為無(wú)數(shù)同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的質(zhì)量為dm＝r·2prdr,r＝m/pR2,于是圓板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為11.4.1簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第三十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

在工程上常用回轉(zhuǎn)半徑來(lái)計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其定義為如果已知回轉(zhuǎn)半徑，則物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

回轉(zhuǎn)半徑的幾何意義是：假想地將物體的質(zhì)量集中到一點(diǎn)處，并保持物體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變，則該點(diǎn)到軸的距離就等于回轉(zhuǎn)半徑的長(zhǎng)度。對(duì)于幾何形狀相同的均質(zhì)物體，其回轉(zhuǎn)半徑相同。11.4.2回轉(zhuǎn)半徑(慣性半徑)第三十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

定理：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積，即證明：因11.4.3平行軸定理y,y1z1zdxmCOz＝z1x＝x1r1ryy1x1第三十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023