碩士入學考試：2021年數(shù)學一考試真題與答案解析

碩士入學考試：2021年[數(shù)學一]考試真題與答案解析一、選擇題１．若函數(shù)在處連續(xù)，則（A）（B）（C）（D）答案解析：，，要使函數(shù)在處連續(xù)，必須滿足．所以應該選（A）2．設函數(shù)是可導函數(shù)，且滿足，則（A）（B）（C）（D）答案解析：設，則，也就是是單調增加函數(shù)．也就得到，所以應該選（C）3．函數(shù)在點處沿向量的方向導數(shù)為（A）（B）(C）（D）答案解析：，所以函數(shù)在點處的梯度為，所以在點處沿向量的方向導數(shù)為應該選（D）４．甲、乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10（單位：米）處，如圖中，實線表示甲的速度曲線（單位：米/秒），虛線表示乙的速度曲線（單位：米/秒），三塊陰影部分的面積分別為，計時開始后乙追上甲的時刻為，則（）（A）（B）（C）（D）答案解析：由定積分的物理意義：當曲線表示變速直線運動的速度函數(shù)時，表示時刻內(nèi)所走的路程．本題中的陰影面積分別表示在時間段內(nèi)甲、乙兩人所走路程之差，顯然應該在時乙追上甲，應該選（C）．5．設為單位列向量，為階單位矩陣，則（A）不可逆（B）不可逆（C）不可逆（D）不可逆答案解析：矩陣的特征值為和個，從而的特征值分別為；；；．顯然只有存在零特征值，所以不可逆，應該選（A）．6．已知矩陣，，，則（A）相似，相似（B）相似，不相似（C）不相似，相似（D）不相似，不相似答案解析：矩陣的特征值都是．是否可對解化，只需要關心的情況．對于矩陣，，秩等于1，也就是矩陣屬于特征值存在兩個線性無關的特征向量，也就是可以對角化，也就是．對于矩陣，，秩等于2，也就是矩陣屬于特征值只有一個線性無關的特征向量，也就是不可以對角化，當然不相似故選擇（B）．7．設是兩個隨機事件，若，，則的充分必要條件是（A）（B）（C）（D）答案解析：由乘法公式：可得下面結論：類似，由可得所以可知選擇（A）．8．設為來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，若，則下列結論中不正確的是（）（A）服從分布（B）服從分布（C）服從分布（D）服從分布解：（1）顯然且相互獨立，所以服從分布，也就是（A）結論是正確的；（2），所以（C）結論也是正確的；（3）注意，所以（D）結論也是正確的；（4）對于選項（B）：，所以（B）結論是錯誤的，應該選擇（B）二、填空題9．已知函數(shù)，則．解：由函數(shù)的馬克勞林級數(shù)公式：，知，其中為展開式中的系數(shù)．由于，所以．10．微分方程的通解為．答案解析：這是一個二階常系數(shù)線性齊次微分方程，特征方程有一對共共軛的根，所以通解為11．若曲線積分在區(qū)域內(nèi)與路徑無關，則.答案解析：設，顯然在區(qū)域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)，由于與路徑無關，所以有12．冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)為答案解析：所以13．設矩陣，為線性無關的三維列向量，則向量組的秩為．答案解析：對矩陣進行初等變換，知矩陣A的秩為2，由于為線性無關，所以向量組的秩為2．14．設隨機變量的分布函數(shù)，其中為標準正態(tài)分布函數(shù)，則．答案解析：隨機變量的概率密度為，所以三、解答題15．（本題滿分10分）設函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，，求，．答案解析：，；．16．（本題滿分10分）求答案解析：由定積分的定義17．（本題滿分10分）已知函數(shù)是由方程．答案解析：在方程兩邊同時對求導，得（1）在（1）兩邊同時對求導，得也就是令，得．當時，；當時，當時，，，函數(shù)取極大值；當時，，函數(shù)取極小值．18．（本題滿分10分）設函數(shù)在區(qū)間上具有二階導數(shù)，且，，證明：（1）方程在區(qū)間至少存在一個實根；（2）方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個不同實根．證明：（1）根據(jù)的局部保號性的結論，由條件可知，存在，及，使得，由于在上連續(xù)，且，由零點定理，存在，使得，也就是方程在區(qū)間至少存在一個實根；（2）由條件可知，由（1）可知，由洛爾定理，存在，使得；設，由條件可知在區(qū)間上可導，且，分別在區(qū)間上對函數(shù)使用爾定理，則存在使得，也就是方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個不同實根．19．（本題滿分10分）設薄片型是圓錐面被柱面所割下的有限部分，其上任一點的密度為，記圓錐面與柱面的交線為．（1）求在布上的投影曲線的方程；（2）求的質量答案解析：（1）交線的方程為，消去變量，得到．所以在布上的投影曲線的方程為（2）利用第一類曲面積分，得20．（本題滿分11分）設三階矩陣有三個不同的特征值，且（1）證明：；（2）若，求方程組的通解．答案解析：（1）證明：因為矩陣有三個不同的特征值，所以是非零矩陣，也就是．假若時，則是矩陣的二重特征值，與條件不符合，所以有，又因為，也就是線性相關，，也就只有．（2）因為，所以的基礎解系中只有一個線性無關的解向量．由于，所以基礎解系為；又由，得非齊次方程組的特解可取為；方程組的通解為，其中為任意常數(shù)．21．（本題滿分11分）設二次型在正交變換下的標準形為，求的值及一個正交矩陣．答案解析：二次型矩陣因為二次型的標準形為．也就說明矩陣有零特征值，所以，故令得矩陣的特征值為．通過分別解方程組得矩陣的屬于特征值的特征向量，屬于特征值特征值的特征向量，的特征向量，所以為所求正交矩陣．22．（本題滿分11分）設隨機變量相互獨立，且的概率分布為，的概率密度為．（1）求概率；（2）求的概率密度．答案解析：（1）所以（2）的分布函數(shù)為故的概率密度為23．（本題滿分11分）某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質量做了次測量，該物體的質量是已知的，設次測量結果相互獨立且均服從正態(tài)分布該工程師記錄的是次測量的絕對誤差，利用估計參數(shù)．（1