數(shù)學(xué)練習(xí)學(xué)案（新教材人教A版強(qiáng)基版）第二章函數(shù)212函數(shù)模型的應(yīng)用

函數(shù)模型的應(yīng)用考試要求1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異.2.理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線(xiàn)上升”等術(shù)語(yǔ)的含義.3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用．知識(shí)梳理1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與________平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與________平行隨n值的變化而各有不同2.常見(jiàn)的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．()(2)某商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，若九折出售，則每件還能獲利．()(3)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa(a>0)和y＝logax(a>1)的增長(zhǎng)速度．()(4)在選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型．()教材改編題1．當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，下列函數(shù)中增長(zhǎng)速度最快的是()A．y＝5x B．y＝log5xC．y＝x5 D．y＝5x2．在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得到變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：xy－－則對(duì)x，y最適合的函數(shù)模型是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x3．某超市的某種商品的日利潤(rùn)y(單位：元)與該商品的當(dāng)日售價(jià)x(單位：元)之間的關(guān)系為y＝－eq\f(x2,25)＋12x－210，那么該商品的日利潤(rùn)最大時(shí)，當(dāng)日售價(jià)為_(kāi)_______元.題型一用函數(shù)圖象刻畫(huà)變化過(guò)程例1(1)(多選)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度．藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí)，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間．已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說(shuō)法中，正確的是()A．首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用B．每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒C．每間隔小時(shí)服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D．首次服用該藥物1單位3小時(shí)后，再次服用該藥物1單位，不會(huì)發(fā)生藥物中毒(2)根據(jù)一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫(huà)出的散點(diǎn)圖如圖所示．現(xiàn)有如下5個(gè)函數(shù)模型：①y＝x－；②y＝2x－；③y＝2x－x＋6；④y＝log2x；⑤y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1.84.請(qǐng)從中選擇一個(gè)函數(shù)模型，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選________．(填序號(hào))聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)圖象．(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案．跟蹤訓(xùn)練1如圖，點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，M是CD的中點(diǎn)，則當(dāng)P沿A－B－C－M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程x與△APM的面積y的函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是下圖中的()題型二已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題例2(1)(2021·全國(guó)甲卷)青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿(mǎn)足L＝5＋lgV．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(eq\r(10,10)≈)()A．B．C．D．(2)(2022·莆田質(zhì)檢)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量P(單位：mg/L)與時(shí)間t(單位：h)間的關(guān)系為P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常數(shù)．如果2h后還剩下90%的污染物，5h后還剩下30%的污染物，那么8h后還剩下________%的污染物．聽(tīng)課記錄：_____________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn)．跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)(2023·德州模擬)在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù)．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為R0,1個(gè)感染者在每個(gè)傳染期會(huì)接觸到N個(gè)新人，這N個(gè)人中有V個(gè)人接種過(guò)疫苗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,N)稱(chēng)為接種率))，那么1個(gè)感染者傳染人數(shù)為eq\f(R0,N)(N－V)．已知某種傳染病在某地的基本傳染數(shù)R0＝4，為了使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過(guò)1，則該地疫苗的接種率不可能為()A．45%B．55%C．65%D．75%(2)牛頓曾經(jīng)提出了在常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t為時(shí)間，單位：分鐘，θ0為環(huán)境溫度，θ1為物體初始溫度，θ為冷卻后溫度)，假設(shè)一杯開(kāi)水溫度θ1＝100℃，環(huán)境溫度θ0＝20℃，常數(shù)k＝，大約經(jīng)過(guò)_______分鐘水溫降為40℃(參考數(shù)據(jù)：ln2≈)()A．10B．9C．8D．7題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題例3智能輔助駕駛已開(kāi)始得到初步應(yīng)用，其自動(dòng)剎車(chē)的工作原理是用雷達(dá)測(cè)出車(chē)輛與障礙物之間的距離，并結(jié)合車(chē)速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間，當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開(kāi)始報(bào)警，等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動(dòng)剎車(chē)．若將報(bào)警時(shí)間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時(shí)間t0與人的反應(yīng)時(shí)間t1，系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間t2，制動(dòng)時(shí)間t3，相應(yīng)的距離分別為d0，d1，d2，d3，如圖所示．當(dāng)車(chē)速為v(米/秒)，且0<v≤時(shí)，通過(guò)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表給出的數(shù)據(jù)(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，且1≤k≤2)．階段準(zhǔn)備人的反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)制動(dòng)時(shí)間t0t1＝秒t2＝秒t3距離d0＝10米d1d2d3＝eq\f(v2,20k)米(1)請(qǐng)寫(xiě)出報(bào)警距離d(米)與車(chē)速v(米/秒)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)k＝2時(shí)，當(dāng)汽車(chē)達(dá)到報(bào)警距離時(shí)，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動(dòng)措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車(chē)撞上固定障礙物的最短時(shí)間；(2)若要求汽車(chē)在k＝1的路面上行駛時(shí)報(bào)警距離均小于50米，則汽車(chē)的行駛速度應(yīng)限制在多少以下(單位：米/秒)?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)建模：抽象出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；(2)推理、演算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問(wèn)題在數(shù)學(xué)意義上的解；(3)評(píng)價(jià)、解釋?zhuān)簩?duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)、解釋?zhuān)缓蠓祷氐皆瓉?lái)的實(shí)際問(wèn)題中去，得到實(shí)際問(wèn)題的解．跟蹤訓(xùn)練3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸．嫦娥五號(hào)返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因?yàn)樗捎脧椞椒祷貜椀?，?shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類(lèi)似(如圖所示)．現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為100m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取ln≈－，ln≈－)()A．4B．5C．6D．7(2)網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來(lái)一段時(shí)期內(nèi)成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方向．某品牌行車(chē)記錄儀支架銷(xiāo)售公司從2