專題03一元二次方程與二次函數(shù)的圖象性質(zhì)

專題03一元二次方程與二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)【知識點梳理】知識點1：根的判別式我們知道，對于一元二次方程（），用配方法可以將其變形為．①因為，所以，．于是（1）當時，方程①的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根；（3）當時，方程①的右端是一個負數(shù)，而方程①的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數(shù)根．由此可知，一元二次方程（）的根的情況可以由來判定，我們把叫做一元二次方程（）的根的判別式，通常用符號“Δ”來表示．綜上所述，對于一元二次方程（），有(1)當Δ>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）當Δ<0時，方程沒有實數(shù)根．知識點2：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）若一元二次方程（）有兩個實數(shù)根，，則有；．所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：如果（）的兩根分別是，，那么，．這一關(guān)系也被稱為韋達定理．特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程，若，是其兩根，由韋達定理可知，，即，，所以，方程可化為，由于，是一元二次方程的兩根，所以，，也是一元二次方程．知識點3：二次函數(shù)圖像的伸縮變換問題函數(shù)與的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問題，我們可以先畫出，，的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，推導出函數(shù)與的圖象之間所存在的關(guān)系．先畫出函數(shù)，的圖象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應的x2的值擴大兩倍就可以了．再描點、連線，就分別得到了函數(shù)，的圖象（如圖2－1所示），從圖2－1我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫剑瑢W們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)，的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象之間的關(guān)系．通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象可以由y=x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到．在二次函數(shù)y=ax2(a≠0)知識點4：二次函數(shù)圖像的平移變換函數(shù)y=a(x+h)2+k與y=ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系．同學們可以作出函數(shù)y=2(x+1)2+1與y=2x2的圖象（如圖2－2所示），從函數(shù)的同學我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y=2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數(shù)y=2(x+1)2+1的圖象．這兩個函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點．類似地，還可以通過畫函數(shù)y=－3x2，y=－3(x－1)2+1的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系．通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y=a(x+h)2+k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”．由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的方法：由于y=ax2+bx+c=a(x2+)+c=a(x2++)+c－，所以，y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y=ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性質(zhì)：（1）當a>0時，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x=－；當x<時，y隨著x的增大而減?。划攛>時，y隨著x的增大而增大；當x=時，函數(shù)取最小值y=．（2）當a<0時，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x=－；當x<時，y隨著x的增大而增大；當x>時，y隨著x的增大而減?。划攛=時，函數(shù)取最大值y=．【題型歸納目錄】題型一：根的判別式題型二：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）題型三：二次函數(shù)圖像的伸縮變換題型四：二次函數(shù)圖像的平移變換【典例例題】題型一：根的判別式例1．（2023·陜西榆林·九年級綏德中學校考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程，若該方程有兩個相等實數(shù)根，求m的值．【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等實數(shù)根，∴，解得：．答：m的值為6．例2．（2023·天津和平·九年級天津市雙菱中學?？奸_學考試）解下列方程(1)；(2)．(3)求證：無論m取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．【解析】（1），∴，∴，∴，∴，解得：，；（2），∴，∴，∴，∴或，解得：，；（3），整理得：，，即無論取何值時方程總有兩個不相等的實數(shù)根．例3．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于的方程．(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若為正整數(shù)，且方程有一個根為負數(shù)，求的值．【解析】（1）證明：∵，∵，∴方程總有兩個實數(shù)根；（2），，，，解得：，，∵為正整數(shù)，且方程有一個根為負數(shù)，∴，∴，∴，∴的值為．變式1．（2023·廣東河源·九年級龍川縣培英學校?？奸_學考試）當為何值時，關(guān)于x的一元二次方程有實根？【解析】∵一元二次方程有實根，∴，即，解得：，又∵方程為一元二次方程；∴即，即當且時，方程有實數(shù)根．故填：且．變式2．（2023·北京·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若m為正整數(shù)，求此時方程的根．【解析】（1）由題意得：，∵該方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∴．（2）∵m為正整數(shù)，且，∴，此時，方程為，解得，．變式3．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；(2)若該方程有一個根小于1，求m的取值范圍．【解析】（1）解∶∵∴方程總有兩個實數(shù)根．（2）由求根公式，得∴，，依題意可得．變式4．（2023·北京石景山·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若，且該方程的一個根是另一個根的2倍，求的值．【解析】（1）證明：由題意得，，∴關(guān)于的一元二次方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設方程的兩個根分別為，∴，∴，∴，∴，解得，又∵，∴．題型二：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）例4．（2023·廣東東莞·校考二模）若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為________.【答案】【解析】∵，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，∴，故答案為：．例5．（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考二模）已知方程的兩根分別為，則的值為_____．【答案】【解析】方程的兩根分別為，，，，，故答案為：．例6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）關(guān)于的方程的兩個根為，．若，則______．【答案】【解析】∵，是方程的兩根，∴，，解得：故答案為．變式5．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）設m、n是方程的兩個實數(shù)根，則______．【答案】2022【解析】∵m、n是方程的兩個實數(shù)根，∴，，∴，，∵，∴，故答案為：2022．變式6．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考二模）若實數(shù)分別滿足，且，則代數(shù)式的值為______．【答案】【解析】設是的根，則，，∴變式7．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）設是關(guān)于的方程的兩個根，且，則_______________．【答案】8【解析】，是關(guān)于x的方程的兩個根，，，，，即，則，故答案為：．變式8．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學?？既＃佄锞€（p，q為常數(shù)）的頂點M關(guān)于y軸的對稱點為．該拋物線與x軸相交于不同的兩點，，且，則的值為______．【答案】【解析】頂點M關(guān)于y軸的對稱點為，，，，拋物線與x軸相交于不同的兩點，，且，，，，，，或（舍去），，，故答案為：．變式9．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知一元二次方程的一個根是1，則另一個根是______．【答案】2【解析】設該方程的兩個根分別為：，根據(jù)題意可得：，∵，∴，故答案為：2．變式10．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預測）已知是一元二次方程的兩根，則_________．【答案】【解析】是一元二次方程的兩根，，故答案為：．題型三：二次函數(shù)圖像的伸縮變換例7．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點，連接．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖1，若點為直線下方拋物線上一動點，過點作軸，垂足為，交于點，當點是的三等分點時，求點坐標；(3)如圖2，將拋物線向右平移得到新拋物線，直線與新拋物線交于，兩點，若點是線段的中點，求新拋物線的解析式．【解析】（1）由題意得，，，；（2），，設直線的解析式為，代入得：，解得：，直線的解析式為：，設點，，為的三等分點，或，解得，，或；（3）拋物線解析式為，設平移后的拋物線解析式為，聯(lián)立方程組可得：，，設點，點，直線與新拋物線交于，兩點，，是方程的兩根，，點A是的中點，，，，，新拋物線解析式為．例8．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，頂點為的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點，點P在該圖象上，交其對稱軸l于點M，點M、N關(guān)于點A對稱，連接，．

(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)若點P的坐標是，求的面積；(3)當點P在對稱軸l左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動時，請解答下面問題：①求證：；②若為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．【解析】（1）∵二次函數(shù)的頂點為，∴設二次函數(shù)的解析式為：，∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點，∴，∴解得：，∴二次函數(shù)的解析式為：，∴化為一般式為：；（2）如圖，

∵二次函數(shù)的頂點為，∴對稱軸為：，設直線的解析式為：，∵P的坐標是，，∴，解得：，∴直線的解析式為：，當時，，∴M的坐標是，∵，∴，∵點M、N關(guān)于點A對稱，∴，∴，∴，即所求面積為；（3）過P點作軸于點H，交對稱軸l于點G，如圖，

設P的坐標是，且，∴，同（2）采用待定系數(shù)法可得直線的解析式為：，當時，，∴M的坐標是，∵，點M、N關(guān)于點A對稱，對稱軸為：，∴，∴N的坐標是，∴，∵，∴，∵軸，∴軸，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；同理設P的坐標是，且，根據(jù)可知：N的坐標是，∵，∴N的坐標是，∴，∵P的坐標是，∴，，當為直角三角形，且，即有：，∴，∵，∴，∴，與相矛盾，舍去；當為直角三角形，且，即有：，∴，∵，∴，∴或者，與相矛盾，舍去；當為直角三角形，且，即有：，∴，即：，∵，∴，∵，∴，∴或者（相矛盾，舍去）；∴，∴P的坐標是．例9．（2023·江西南昌·統(tǒng)考二模）已知拋物線，直線將拋物線分成兩部分，首先去掉其不含頂點的部分，然后作出拋物線剩余部分關(guān)于直線的對稱圖形，得到的整個圖形稱為拋物線關(guān)于直線的“雙拋圖形”；(1)感知特例如圖所示、當時，拋物線上的點，，，，分別關(guān)于直線對稱的點為，，，，如下表：………（_____，_____）（_____，_____）…①補全表格；②在圖中描出表中對稱點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到圖象記為；

③若雙拋圖形與直線恰好有三個交點，則的值為_________；④若雙拋圖形的函數(shù)值隨著的增大而增大，則的取值范圍為____________；探究問題(2)①若雙拋圖形與直線恰好有三個交點，則的值為________；（用含的式子表達）②若雙拋圖形的函數(shù)值隨著的增大而增大，直接寫出的取值范圍；（用含的式子表達）③拋物線的頂點為點，點關(guān)于直線對稱點為，直線與雙拋圖形交點為點，若為等邊三角形時，求的值．【解析】（1）①∵點和點關(guān)于直線對稱，點和點關(guān)于直線對稱，則點的坐標為：點的坐標為：；故答案為：；．②在坐標系內(nèi)描出各點，用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為如圖：

③當時，拋物線的解析式為：，將代入，解得，即拋物線及拋物線關(guān)于直線對稱的拋物線的交點坐標為，∵直線是縱坐標為且與x軸平行的直線，雙拋圖形與直線有且只有三個交點，∴直線必經(jīng)過上的點，∴；故答案為：．④當時，拋物線的解析式為：，∴拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線，拋物線關(guān)于直線對稱的拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線，∵，∴拋物線開口向上，當時，函數(shù)值y隨著x的增大而增大，∵雙拋圖形關(guān)于直線的對稱，∴拋物線關(guān)于直線對稱的拋物線的開口向上，當時，函數(shù)值y隨著x的增大而增大；故答案為：或．（2）①∵雙拋圖形關(guān)于直線的對稱，將代入，解得，即雙拋圖形過點，∵直線是縱坐標為且與x軸平行的直線，雙拋圖形與直線有且只有三個交點，∴直線必經(jīng)過點，∴，故答案為：．②∵拋物線，∴拋物線的對稱軸為直線，∴拋物線關(guān)于直線對稱的拋物線的對稱軸為直線，∴拋物線開口向上，當時，函數(shù)值y隨著x的增大而增大，∴拋物線關(guān)于直線對稱的拋物線開口向上，當時，函數(shù)值y隨著x的增大而增大，故答案為：或．③如圖過點作，垂足為，

點為直線與雙拋圖形交點，點的橫坐標為，代入得，即，由②得點的橫坐標為，代入得，即對稱點，為等邊三角形．變式11．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過點，點，與y軸交于點C．點P是拋物線上的動點，且橫坐標為m．過點P作y軸的平行線，交直線于點Q，以為邊，在的右側(cè)作正方形．

(1)求此拋物線的解析式．(2)點P在直線上方的拋物線上運動時，直接寫出的長．（用含m的代數(shù)式表示）(3)拋物線的頂點落在正方形的邊上（包括頂點）時，求m的值．(4)當此拋物線在正方形內(nèi)部的圖象的最高點與最低點的縱坐標之差為2時，直接寫出m的值．【解析】（1）由題意得

解得∴該拋物線的解析式為．（2）由，可知：直線BC：

由題意知：，；

（3）拋物線的解析式為∴

∴頂點的坐標為如圖，當點P在y軸左側(cè)時，

時，

解得當點P在y軸右側(cè)時，

時，綜上，拋物線的頂點落在正方形PQMN的邊上（包括頂點）時，或（4）由題意知∴，解得，解得，不合題意，舍去；綜上，或變式12．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）拋物線與直線相交于、兩點，與軸相交于點，點在軸的負半軸上．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及頂點的坐標；(2)如圖1，直線上方的拋物線上有一動點，過點作于點，求垂線段的最大值；(3)如圖2，當點運動到拋物線對稱軸右側(cè)時，連接，交拋物線的對稱軸于點，當最小時，直接寫出此時的長度．【解析】（1）與軸交于點．將，代入得

又在拋物線上，，解得．故拋物線的函數(shù)表達式

頂點的坐標為．（2）設直線與軸交于點，令，得，故點的坐標為，為等腰直角三角形過點作軸，交直線于點，則，是等腰直角三角形

∴，設點，則∴，故當時，有最大值．∴的最大值為（3）如圖所示，過點作，設交軸于點，

當時，，則，此時最小，∵，∴，又∵，∴，∴，設，則，∴，∵，，∴∴，∴,設直線的解析式為∴解得：∴直線的解析式為：聯(lián)立解得：（舍去）或，當時，，∴∴變式13．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點A坐標為．

(1)求拋物線的解析式；(2)點P為第一象限拋物線上一點，連接PA交y軸交于D，設點P的橫坐標為t，CD的長為d，求d關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，將AP沿x軸翻折交拋物線于點Q，過點Q作y軸的平行線交PB的延長線于點E，過點E作交y軸于點F，連接PF，若，求直線PF的解析式．【解析】（1）∵拋物線經(jīng)過點，∴∴解得∴拋物線的解析式為（2）

拋物線與x軸交于A，B兩點，當時，，解得，∵點∴點當時，．過點P作x軸的垂線，垂足為點H，點P在第一象限，點P的橫坐標為t，，∴在Rt△DAO中，，在Rt△PAH中，∴∴∴∵∴解析式為（3）法一：如圖，延長EQ交x軸于點N，軸

∴過P作軸于點H設由翻折可知∴∴∴整理得∴，∵∴∵軸，軸∵∴∴過E作軸于點T∵，∴四邊形NOTE是矩形∴

設AQ與y軸交于點S，∴∵∴∴又

∴∴∴∴∴作軸交y軸于點K，則∵∴∴∴∴∴整理得解得

∵P點在第一象限，∴舍∴當時∴∵，∴∴設直線PF的解析式為∵直線經(jīng)過點，點兩點，∴解得∴直線PF的解析式為法二如圖，延長EQ交x軸于點N，軸

∴過P作軸于點H設由翻折可知∴∴∴整理得∴

∵∴∵軸，軸∵∴∴設AQ與y軸交于點S，延長EF交x軸于點G∵∴∵∴∵，∴∴，∴，由翻折可知∵∴，∴∴作軸交y軸于點K，則∵∴∴∴∴整理得解得

∵P點在第一象限，∴舍∴當時∴∵，∴∴設直線PF的解析式為∵直線經(jīng)過點，點兩點，∴解得∴直線PF的解析式為變式14．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學?？寄M預測）如圖1，已知拋物線經(jīng)過點，兩點，且與y軸交于點C．

(1)填空：______，______；求得直線的解析式為______．(2)在第二象限的拋物線上，是否存在一點M，使得的面積最大？求出點M的坐標及的面積最大值，若不存在，請說明理由．(3)點P是線段上的一點，過P作x軸的平行線交拋物線于Q，是否存在這樣的點P，使O，A，P，Q四點能組成一個平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標．【解析】（1）由題意知，拋物線的表達式為，則點，設直線的表達式為，則，解得，故直線的表達式為，故答案是，3，；（2）存在，理由：過點M作y軸的平行線交于點H，

設點，則點，則的面積，，故的面積存在最大值，當時，的面積最大值為，此時點M的坐標為；（3）存在，理由：，A，P，Q四點能組成一個平行四邊形，則只能是平行四邊形的邊，，設點，則點或，將點Q的坐標代入拋物線表達式得：或，解得：或舍去和，故點P的坐標為或變式15．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線分別交x軸、y軸于A，B兩點，經(jīng)過A，B兩點的拋物線與x軸的正半軸相交于點，點P為線段上的點，且點P的橫坐標為m．

(1)求拋物線的解析式和直線的解析式；(2)過P作y軸的平行線交拋物線于M，當是為腰的等腰三角形時，求點P的坐標；(3)若頂點D在以、為鄰邊的平行四邊形的形內(nèi)(不含邊界)，求m的取值范圍．【解析】（1）∵直線交y軸于B，∴，∵拋物線經(jīng)過點和點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：；令，解得：，∴，把代入得：，∴；（2）由（1）可知直線的解析式為，∵點P為線段上的點，設點P的橫坐標為m，∴且，∵過P作y軸的平行線交拋物線于M，∴，∴∵，∴當時，，解得：(舍去），∴；當時，∵∴是等腰三角形，∴，∴，∴，∴點M的縱坐標為，∴，解得：(舍去），∴，綜上所述，點P的坐標為或；

（3）∵，∴拋物線頂點為設經(jīng)過點且平行的直線的解析式為，如圖，則，解得：，聯(lián)立得：，解得：∵點G的橫坐標為，點D在以為鄰邊的平行四邊形的形內(nèi)（不含邊界），∴點M必須在直線上方的拋物線上，∴m的取值范圍為．題型四：二次函數(shù)圖像的平移變換例10．（2023·廣東深圳·九年級校聯(lián)考階段練習）已知一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像相交于點、．(1)求一次函數(shù)的表達式，并在圖中畫出這個一次函數(shù)的圖像；(2)根據(jù)函數(shù)圖像，直接寫出不等式的解集；(3)方程在范圍內(nèi)只有一個解，求的取值范圍；(4)把二次函數(shù)的圖像左右平移得到拋物線，直接寫出當拋物線與線段只有一個交點時的取值范圍．【解析】（1）將，，代入得，，解得，，，一次函數(shù)的圖象過點和點，，解得，一次函數(shù)的表達式為，函數(shù)圖象如下所示：（2）由（1）中的圖象可知，不等式的解集為：或；（3）把代入得，，，∴當時，由圖象可知，當時，拋物線與直線只有一個交點，的取值范圍是或；（4）當過點時，即，解得或，當時，拋物線與原二次函數(shù)重合，與線段有兩個交點，，故舍去，；當過點時，即，解得，∴當時，此時滿足題意；③當與直線只有一個交點時，令，整理得：，則，解得：，綜上，或．例11．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考二模）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別交于點和點，與y軸交于點C，P為拋物線上一動點．

(1)寫出拋物線的對稱軸為直線______，拋物線的解析式為______；(2)如圖2，連結(jié)，若P在上方，作軸交于Q，把上述拋物線沿射線的方向向下平移，平移的距離為h，在平移過程中，該拋物線與直線始終有交點，求h的最大值；(3)若P在上方，設直線，與拋物線的對稱軸分別相交于點F，E，請?zhí)剿饕訟，F(xiàn)，B，G（G是點E關(guān)于x軸的對稱點）為頂點的四邊形面積是否隨著P點的運動而發(fā)生變化，若不變，求出這個四邊形的面積；若變化，說明理由．(4)設M為拋物線對稱軸上一動點，當P，M運動時，在坐標軸上是否存在點N，使四邊形為矩形？若存在，直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）∵拋物線與x軸分別交于點和點，∴拋物線對稱軸為：，把點和點代入得：，解得，∴二次函數(shù)解析式為：，故答案為：，；（2）解；∵拋物線，∴，設直線的解析式為；，把點和點代入得：，解得：，∴一次函數(shù)解析式為：，設平移后函數(shù)解析式為：，建立方程組得：，∵拋物線與直線始終有交點，∴，∴，∴h的最大值為：；（3）如圖，設，設直線的解析式為：，∵，∴，解得：，∴直線的解析式為：，當時，，∴，設直線的解析式為：，∵，∴，解得：，∴直線的解析式為：，當時，，∴，∵G是點E關(guān)于x軸的對稱點，∴，∵，，∴；

（4）存在，理由如下：如圖1，當點N在y軸上時，四邊形是矩形，此時點P的橫坐標為：，

如圖2，當四邊形是矩形時，設，，則，由題意得：，得，解得：，綜上所述，點P的橫坐標為：，．例12．（2023·山西太原·太原市實驗中學?？家荒＃┤鐖D所示，將拋物線沿軸向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到新的拋物線．

(1)直接寫出新拋物線的解析式為；(2)設新拋物線交軸于兩點，交軸于，頂點為，作交拋物線于，如圖所示，探究如下問題：①求點的坐標；②若一次函數(shù)的圖象與拋物線存在唯一交點且交對稱軸交于點，連接，猜測直線與對稱軸的夾角和一次函數(shù)的圖象與對稱軸的夾角之間的大小關(guān)系．【解析】（1）拋物線沿軸向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，拋物線表達式為：，故答案為：；（2）①，令，則，則點坐標為，頂點坐標為，連接，如圖所示，

，設點，，，，，，即，解得：，，點的坐標為；②將一次函數(shù)表達式與二次函數(shù)表達式聯(lián)立得：，整理得：，，解得：，一次函數(shù)的解析式為：，當時，，點坐標為，將直線向上平移兩個單位，此時函數(shù)的解析式為：，拋物線的對稱軸為，點的坐標為，關(guān)于對稱軸的點的坐標為，當時，，點在一次函數(shù)上，是等腰三角形，所以兩角相等．變式16．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）已知拋物線的對稱軸為直線，且經(jīng)過點．(1)求該二次函數(shù)圖象與軸的另一交點的坐標及其函數(shù)表達式．(2)記圖象與軸交于點，過點作軸，交圖象于另一點．將拋物線向上平移個單位長度后，與軸交于點點為右側(cè)的交點）．若，求的值．【解析】（1）由題意得：，解得，拋物線解析式為；令，則，解得，，；（2）令，則，，對稱軸為直線，，，拋物線向上平移個單位長度后的解析式為，，，，把代入得：，解得．變式17．（2023·廣西防城港·統(tǒng)考一模）如圖1，已知拋物線經(jīng)過點，，三點．

(1)求拋物線的解析式；(2)設拋物線的頂點為，直線與軸交于點，與直線交于點．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線上．若平移的拋物線與射線（含端點）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍；(3)如圖，若點是拋物線上的動點，點是直線上的動點，判斷有幾個位置能使以點，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應點的坐標．【解析】（1）∵拋物線經(jīng)過點，，三點∴，解得：∴拋物線的解析式為：．（2）由（1）得，拋物線的解析式為：，∴，∴拋物線的頂點為，∴直線的解析式為，設平移后的頂點為，∴拋物線的解析式為，當拋物線經(jīng)過點時，∵直線與軸交于點，∴點，∴，解得：，∴；當拋物線與直線只有一個公共點時，∴，∴，∵，∴，解得：，此時拋物線與射線唯一的公共點是，符合題意；∴平移的拋物線與射線（含端點）只有一個公共點時，頂點的橫坐標的值或取值范圍是或．（3）由（1）得，拋物線的解析式為：，∵點是拋物線上的動點，∴設，當是平行四邊形的邊時，∴，，∵點是直線上的動點，∴點，∴，∴，解得：，，（舍），∴，，；當是平行四邊形的對角線時，∴點和點關(guān)于中心對稱，∴點，∵點是直線上的動點，∴，∴，（舍），∴；綜上所述，滿足題意的點的坐標為：，，，．變式18．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校敽蜁r，二次函數(shù)（，是常數(shù)，）的函數(shù)值相等．(1)若該函數(shù)的最大值為，求函數(shù)的表達式，并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標；(2)若該函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，求，的值．(3)記（2）中的拋物線為，將拋物線向上平移個單位得到拋物線，當時，拋物線的最大值與最小值之差為，求的值．【解析】（1）∵當和時，二次函數(shù)（，是常數(shù)，）的函數(shù)值相等，∴二次函數(shù)的對稱軸為，，∵該函數(shù)的最大值為，∴該函數(shù)的頂點坐標為，∴，∴由①②可得：，∴函數(shù)表達式為：；（2）∵該函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，∴一元二次方程，該函數(shù)的頂點坐標為，∴，，∴由①②可得（舍去），，∴，；（3）由（2）可得的解析式為：，∵將拋物線向上平移個單位得到拋物線，∴，∴當時，，∵的頂點坐標為，且當時，拋物線的最大值與最小值之差為，∴，隨的增大而增大，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）已知m，n，5分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長，且m，n分別是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，則k的值等于（

）A．3 B．5或9 C．5 D．9【答案】B【解析】∵m，n，5分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長∴當或時，即∴方程為解得：此時該方程為解得：，此時三角形的三邊為5，5，1，符合題意；當時，即即解得：此時該方程為解得：此時三角形的三邊為3，3，5，符合題意，綜上所述，k的值等于5或9故選：B．2．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的方程的兩實根為，若，則m的值為（

）A． B． C．或3 D．或1【答案】A【解析】∵關(guān)于x的方程的兩實數(shù)根為，∴，∵，∴，∴，解得：，∵方程有兩個實數(shù)根，∴，解得：，∴．故選：A．3．（2023·河南南陽·校聯(lián)考二模）某公司去年10月份的營業(yè)額為2500萬元，后來公司改變營銷策略，12月份的營業(yè)額達到3780萬元，已知12月份的增長率是11月份的倍，求11月份的增長率．設11月份的增長率為，根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可得11月份的營業(yè)額為：，12月份的營業(yè)額為：，∴可列方程為：，故選A．4．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，可得：，解得：故選：D．5．（2023·湖北武漢·校考模擬預測）已知，是一元二次方程的兩根，則的值為（

）A．4 B． C．2 D．1【答案】D【解析】∵，是一元二次方程的兩根，∴，，∴，故選：D．6．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）已知，是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】∵，是一元二次方程的兩根，∴，，∴．故選B．7．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)（a，b、c為常數(shù)，且）的圖象如圖所示，其對稱軸為直線，則下列關(guān)系式錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】A．拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，，拋物線與軸交于正半軸，，，故選項A正確；B．對稱軸為直線，，即，故選項B正確；C．對稱軸為直線，時，，，故選項C錯誤；D．拋物線與軸有2個交點，，故選項D正確；故選：C．8．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）如圖，正三角形的邊長為，點從點開始沿著路線運動，過點作直線，垂足為點，連接，記點的運動路程為，的面積為，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】①點在上，∵正三角形的邊長為，的運動路程為,∴，，,∴，，∴，∴，∴圖像是一個開口向下的拋物線；②點在上，∵正三角形的邊長為，的運動路程為,∴，,，∴，，∴，∴，∴圖像是一個開口向上的拋物線．故選．9．（2023春·北京海淀·九年級首都師范大學附屬中學?？奸_學考試）用繩子圍成周長為10米的扇形．記扇形的半徑為米，弧長為米，面積為平方米．當在一定范圍內(nèi)變化時，和都隨著的變化而變化，則與，與滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（

）A．反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系C．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 D．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系【答案】D【解析】記扇形的半徑為米，弧長為米，則，與的關(guān)系為：，故函數(shù)關(guān)系為：一次函數(shù)關(guān)系，扇形的面積故函數(shù)關(guān)系為：二次函數(shù)關(guān)系，故選：D．10．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學?？既＃╆P(guān)于的二次函數(shù)圖像經(jīng)過點和，且對稱軸在軸的左側(cè)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵拋物線點和代入可得∴，∵對稱軸在y軸左側(cè)，且過點∴拋物線與x軸的另一交點在的左側(cè)故，開口向上∴當時即∴∴∵∴∴∵∴∴的取值范圍為故選：A．二、填空題11．（2023·湖南常德·統(tǒng)考三模）一商店銷售某種商品，當每件利潤為30元時，平均每天可售出20件，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件，當每件商品的單價降低______元時，該商店銷售這種商品每天的利潤為800元．【答案】10【解析】設商品單價降低x元時，該商店銷售這種商品每天的利潤為800元，由題意得，，整理得：，解得，∴當每件商品的單價降低10元時，該商店銷售這種商品每天的利潤為800元，故答案為：10．12．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）我們學習了一元二次方程和二次函數(shù)，綜合利用它們的性質(zhì)解決問題，閱讀下列材料，回答問題：例：已知關(guān)于x的方程有實數(shù)根，求t的最大值？由題意可知，當t=0時，方程有實數(shù)解當時，即∴設函數(shù)當時，綜上(1)已知關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則m的最大值為______；(2)已知方程有實數(shù)根，則x-2y的最大值為______．【答案】【解析】（1）∵關(guān)于x的方程，即有實數(shù)根，∴，，，即∴設函數(shù)當時，綜上，故答案為：5．（2）令，則，將代入，整理得，該方程有實數(shù)根，∴∴有最大值即的最大值為，故答案為：．13．（2023·湖北武漢·武漢一初慧泉中學?？既＃┮阎獟佄锞€開口向上，頂點坐標為，下列結(jié)論：①；②；③若方程有兩個根和，且，則；④若方程有四個根，則這四個根的和為．其中正確結(jié)論的是___________．【答案】②③④【解析】∵拋物線開口向上，頂點坐標為，∴，對稱軸為直線，，∴，，∴，故①錯誤；∵，∴②正確；∵拋物線與x軸的交點坐標為和，且開口向上，∴若方程有兩個根和，且，則，故③正確；若方程有四個根，設方程的兩個根為，，則，即，設方程的兩個根為，，則，即，∴這四個根的和為，故④正確，綜上，正確結(jié)論的是②③④，故結(jié)論為：②③④．

14．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校校考三模）已知二次函數(shù)，當時，函數(shù)的最大值為，則m的值是______．【答案】或【解析】故該拋物線的對稱軸為直線當時，拋物線開口向上，且時，函數(shù)的最大值為即時，代入求得當時，拋物線開口向下，且時，函數(shù)的最大值為即時，代入求得∴的值為或故答案為：或．15．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）函數(shù)（b，c為常數(shù)）有下列結(jié)論：①當，該函數(shù)的圖像一定經(jīng)過點；②若，則當時，y隨x增大而減小；③該函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱；④當時，該函數(shù)的最小值為0，其中正確的結(jié)論是__________．（填寫序號）【答案】①③④【解析】當，函數(shù)，當時，，∴該函數(shù)的圖像一定經(jīng)過點，故①正確；當，函數(shù)，令，即，如圖所示：

當時，y隨x增大而增大，故②錯誤；∵絕對值不影響函數(shù)的對稱性，故函數(shù)圖象的對稱軸為；，故③正確；當時，即與之對應的一元二次方程有實根，即至少存在一個x使，故函數(shù)的最小值為0，故④正確，故答案為：①③④．三、解答題16．（2023春·廣東·九年級統(tǒng)考學業(yè)考試）已知為實數(shù)，求證：在實數(shù)范圍內(nèi)，不論取何值，方程組恒有組不相等的實數(shù)解．【解析】證明：，整理①可得：把③代入②并整理得：④，∵，∴，∴無論取何值，④始終為一元二次方程，由判別式，∵，∴不論取何值，，∴不論取何值，方程恒有個不相等的實數(shù)解，∴不論取何值，方程組恒有組不相等的實數(shù)解．17．（2023·廣東肇慶·?？级＃╇妱幼詣榆囈殉蔀槭忻袢粘３鲂械氖走x工具．據(jù)某市某品牌電動自行車經(jīng)銷商1至3月份統(tǒng)計，該品牌電動自行車1月份銷售輛，3月份銷售輛．(1)求該品牌電動自行車銷售量的月均增長率；(2)假設每月的增長率相同，預計4月份的銷量會達到輛嗎?【解析】（1）設該品牌電動自行車銷售量的月均增長率為x，根據(jù)題意列方程：，解得（不合題意，舍去），答：該品牌電動自行車銷售量的月均增長率．（2），∴預計4月份的銷量不會達到300輛．18．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）以下是圓圓解方程的具體過程：的具體過程，方程兩邊同除以，得，移項，得，試問圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程.【解析】圓圓的解答過程有錯誤；正確的解答過程為：移項得，，利用因式分解法整理：，解得：或，所以或．19．（2023·陜