醫(yī)用高數 概率-A

醫(yī)用高等數學多媒體教學

課件制作制作者吳靜確定性現象第六章概率論初步在一定條件下必然會發(fā)生或不可能發(fā)生的現象.不確定性現象－隨機現象在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生,或者說可能出現這個結果,也可能出現那個結果.√例如:熱脹冷縮現象,水在0oC以下必結成冰等現象例如:投擲一枚壹角的硬幣.又如:附屬醫(yī)院每天就診的病人人數隨機現象是偶然性的,隨機性的,但也并不是雜亂無章,不可捉摸的.許多實踐表明:對同一隨機現象作大量次數的觀測,可發(fā)現

其中隱藏著某種確定的數量規(guī)律性(統(tǒng)計規(guī)律性).第一節(jié)隨機事件和概率一．隨機試驗和隨機事件二．事件間的關系和運算:三．概率的統(tǒng)計定義與古典定義一.隨機試驗和隨機事件:隨機試驗對隨機現象進行的實驗或觀察③試驗之前不能確定出現哪一種結果.性質:即:其試驗結果事先不能準確預言,但一切可能出現的結果卻是已知的.①可在同樣的條件下重復進行.②每次試驗的結果不止一個,能事先明確所有可能結果.例如:投擲硬幣試驗;出生嬰兒的性別等都是隨機事件.隨機事件:隨機試驗中各種可能的結果稱為隨機事件,簡稱事件.一次試驗中的每一個可能結果它是隨機試驗中最簡單的不可再分的事件.基本事件:例如:投擲一個骰子可能出現的點數:1,2,…6點都是基本事件例如:在骰子投擲試驗中,“出現偶數點”事件就是一個復合事件.復合事件:由若干個基本事件組合而成的事件即由部份基本事件組成的集合.必然事件(U)必然會發(fā)生的事件.記作U例如:骰子投擲試驗中“投得點數不大于6”的事件為必然事件不可能事件(V):不可能發(fā)生的事件.記作V例如:在骰子試驗中“投得7點”為不可能事件.一切可能結果的集合.即由所有基本事件組成的集合.基本事件空間(樣本空間):例：投擲一個骰子,“出現1點”......“出現6點”構成了基本事件空間.二.事件間的關系和運算:1.包含關系2.相等關系3.事件的積(交)4.事件的和5.互不相容關系(互斥關系)6.互逆關系(互相對立)7.事件的差U1.包含關系:例如:1.骰子試驗;2.某動物存活年齡..AB

AB若事件B的發(fā)生必然導致事件A的發(fā)生.記作AB或BA.動物存活15年以上動物存活25年以上U投得點數為偶數點投得點數為2點U2.相等關系:UA=BA(B)若事件A包含事件B,同時事件B也包含事件A,即AB且BA,,記作A=B,

即事件A與事件B看成是一樣的事件.UABAB3.事件的積(交)例:“產品合格”是“直徑合格”和“長度合格”的交關鍵詞:“同時”“且”若事件A與事件B同時發(fā)生,記作AB或AB.u4.事件的和:事件A和事件B至少有一個發(fā)生的事件.記作AUB(又稱事件A與B并).A+BUAB不交并例:1.“產品不合格”便是“直徑不合格”與“長度不合格”兩事件的和關鍵詞:“至少”，“或”AUBUA相交并BU5.互不相容關系(互斥關系)事件A與事件B不可能同時發(fā)生.關系:AB=VAB例:投擲骰子中“出現1點”,...,“出現6點”等事件是兩兩互不相容U6.互逆關系(互相對立):A關系:A+B=UAB=V例:1.“產品合格”與“產品不合格”2.投擲硬幣.區(qū)別:互斥與互逆若事件A與事件B中有且僅有一個發(fā)生B()互斥（互不相容）關系:AB=V互逆(互相對立)關系:A+B=U，AB=V互斥互逆區(qū)別:互逆與互斥ABUUAB()例：投擲硬幣與投擲骰子7.事件的差:UABA-B例:“直徑合格但長度不合格”便是“直徑合格”與“長度合格”兩事件的差.事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生的事件記作A-B(A)對偶原則：UAUB=AB重疊律：(將相交并分解為不交并)=BU（AB）U=AU（AB）UＡB=AUBUBAABAUB=（AB）U（AB）U（AB）UUU交換律;結合律;分配律(見P134)CBACBACBA__________)2++______)3BBACBA++或CBA++)4或ABCCBABCACABCBACBACBA++++++______________________)1CBA解:例:若把依次檢查三人的脈象看作一次試驗,并且A=｛第一人正常｝,B=｛第二人正常｝,C=｛第三人正常｝,試用A,B,C三個事件的關系式表示下列事件:①只第一人正常;②只有一人正常;

③只有(恰有)二人正常;

④至少有二人正常;⑤三人都不正常;⑥三人都正常;

⑦至少有一人正常.

⑥ABC;②③

(或AB+BC+AC);⑤

(或AUBUC).解:設=｛第一人不正常｝,=｛第二人不正常｝,=｛第三人不正常｝,則所求的四個事件分別為:①A④⑦例:在醫(yī)療系的學生中任選一名學生,令事件A表示被選學生是男生,事件B表示該生是一年級學生,事件C表示該生是校籃球隊的隊員.①敘述事件AB

意義;

②在什么條件下ABC=C;③什么時候關系式C

B是正確的?④什么時候

=B成立?

解:①被選的學生是一年級的男生,不是?；@球隊的隊員.②在醫(yī)療系的校籃球隊隊員都是一年級男生的條件下ABC=C成立③在醫(yī)療系的?；@球隊隊員全是一年級學生時C

B是正確的.④當醫(yī)療系的一年級學生都是女生,而其他年級都是男生時,

=B成立P(A)三.概率度量某事件出現可能性大小的數字特征.概率的定義統(tǒng)計定義古典定義(從試驗入手,進行大量的試驗)(從計算入手,僅適用于古典概型)㈠概率的統(tǒng)計定義:當試驗次數N足夠大時,頻率可近似看成是概率頻率:設在N次數試驗中,隨機事件A發(fā)生n次,則稱比值n/N為事件A的頻率,記作:fN(A)=(∵0≤n≤N∴0≤fN(A)≤1)即P（A）≈fN（A）（當試驗次數N足夠大時）√例:歷史上曾有多個數學家做過投擲硬幣試驗,結果如下:

（設A為“投擲硬幣出現正面”）當試驗次數n較大時,比值fN(A)=m/n總是圍繞在0.5附近擺動,試驗者投擲次數N出現正面次數n頻率fn(A)

DeMorgan(狄摩根)Buffon(布豐)Pearson(皮爾遜)Pearson(皮爾遜)204840401200024000106120486019120120.51810.50690.50160.5005P（A）≈fN(A)=m/n≈0.5①對任何事件A:0≤P(A)≤1②對必然事件U:P(U)=1(即必然事件的概率為1)③對不可能事件V:P(V)=0(即不可能事件的概率為0)

概率P(A)的基本性質:注:醫(yī)學統(tǒng)計中的所謂患病率,死亡率,治愈率等本來指的是頻率,但當統(tǒng)計的例數相當多時,可以把它們看成是相應的概率.藥物療效統(tǒng)計治療結果臨床治愈(A)明顯好轉(B)癥狀緩解(C)無效(D)合計例數(n)頻率(n/N)830.2061800.4471170.290230.057403(N)1.00P(A)≈f(A)==0.206例:某醫(yī)院用一種新藥治療老年性氣管炎,療效如下表所示,求臨床治愈率是多少?解:由于表中病例數403可認為是足夠大，故由概率的統(tǒng)計定義知，利用概率的統(tǒng)計定義求概率存在的缺陷：①須通過大量的重復試驗（過于繁瑣）②求得的概率只是近似值③n不大時,不能用頻率代替概率為此下面介紹概率的另一個計算方法:——概率的古典定義古典概型:具有以下特征的隨機現象的數學模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.㈡概率的古典定義:①有限性:試驗的所有可能結果只有有限個②等可能性:每次試驗中各可能結果出現的可能性相等例如:1．拋硬幣試驗；２．投擲骰子概率的古典定義：(僅適用于古典概型)MN事件A包含的基本事件數基本事件的總數P（A）==“古典”名稱的由來:按古典定義計算隨機事件A的概率的關鍵:⑴判斷是否屬古典概型(即是否滿足有限性和等可能性).

⑵求出樣本空間的基本事件的總個數N.⑶求出A所含的基本事件的個數M.MN最后求出P(A)=Cmn=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)m!事件A包含有:(2,11),(2,13),(6,11),(6,13)(8,11),(8,13),(11,13).例:在分別寫有2,6,8,11,13的五張卡片中任取兩張,用卡片上的兩個數組成一個分數,試求所得分數是既約分數的概率.解:依題意可用古典概率來求.①首先求出基本事件的總數N.所有取法有:(2,6),(2,8),(2,11),(2,13),(6,8),(6,11),(6,13),(8,11),(8,13),(11,13).即N=10(N=C25=10)②再求事件A所包含的基本事件的個數M.故所求的概率為P(A)=M/N=7/10設A為“兩張卡片上的數能組成既約分數”事件即M=7例:袋中裝有10個紅球,5個白球,從中一次隨機地摸出3個球,求①摸出的3個球全是紅球的概率,②摸出的全是白球的概率,③摸出的是一個紅球,二個白球的概率.P(A)==

120/455=24/91MANP(B)==10/455=2/91NMB

P(C)==100/455=20/91NMC解:從(10+5)個球中隨機地任取3個球,①設A={所摸出的3個球全是紅球},②設B={所摸出的3個球全是白球},③設C={所摸出的是一個紅球,二個白球},共有N=C153=455種取法MA=C103=120MB=C53=10MC=C101C52=100思考題

1.某人的生日恰好是星期天的概率是多少?(如果他