新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教案

------------------------------九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教案

第二十六章二次函數(shù)

［本章知識(shí)要點(diǎn)］

1.探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.

2.結(jié)合具體情境體會(huì)二次函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型的意義，并了解二次函數(shù)的有關(guān)概念.

3.會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，能通過圖象和關(guān)系式認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì).

4.會(huì)運(yùn)用配方法確定二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開口方向和對(duì)稱軸.

5.會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程(組)的近似解.

6.會(huì)通過對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的分析，確定二次函數(shù)的表達(dá)式，并能運(yùn)用二次函數(shù)及其性質(zhì)解決簡(jiǎn)

單的實(shí)際問題.

26.1二次函數(shù)

［本課知識(shí)要點(diǎn)］

通過具體問題引入二次函數(shù)的概念，在解決問題的過程中體會(huì)二次函數(shù)的意義.

［MM及創(chuàng)新思維］

(1)正方形邊長(zhǎng)為a(cm),它的面積s(cm2)是多少？

(2)矩形的長(zhǎng)是4厘米，寬是3厘米，如果將其長(zhǎng)與寬都增加x厘米，則面積增加y平方

厘米，試寫出y與x的關(guān)系式.

請(qǐng)觀察上面列出的兩個(gè)式子，它們是不是函數(shù)？為什么？如果是函數(shù)，請(qǐng)你結(jié)合學(xué)習(xí)一

次函數(shù)概念的經(jīng)驗(yàn)，給它下個(gè)定義.

［實(shí)踐與探索］

例1.m取哪些值時(shí)，函數(shù)y=(/??—加)x?+加x+(//z+l)是以x為自變量的二次函數(shù)？

分析若函數(shù)y=(加2—加)無2+MX+(加+1)是二次函數(shù)，須滿足的條件是：根2一加工0

解若函數(shù)y=(加2)x?+加x+(加+1)是二次函數(shù)，則

m2一w0.

解得加工()，且加

因此，當(dāng)加工0,且加。1時(shí)，函數(shù)y=(m2—加)x?+mx+(/n+l)是二次函數(shù).

回顧與反思形如y=ax1+bx+c的函數(shù)只有在。H0的條件下才是二次函數(shù).

2

探索若函數(shù)y=(m2-m)x+mx+(m+1)是以x為自變量的一次函數(shù)，則m取哪些值？

例2.寫出下列各函數(shù)關(guān)系，并判斷它們是什么類型的函數(shù).

(1)寫出正方體的表面積S(cm2)與正方體棱長(zhǎng)a(cm)之間的函數(shù)關(guān)系；

(2)寫出圓的面積y(cm2)與它的周長(zhǎng)x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系；

(3)某種儲(chǔ)蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金，若不計(jì)利息，求本息和y(元)與所

存年數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系；

(4)菱形的兩條對(duì)角線的和為26cm,求菱形的面積S(cn?)與一對(duì)角線長(zhǎng)x(cm)之間的

函數(shù)關(guān)系.

解(1)由題意，得S=6a2m>0),其中S是a的二次函數(shù)；

X2

(2)由題意，得>=己一(x>0),其中y是x的二次函數(shù)；

4萬

(3)由題意，得y=100001.98%rl0000(x)0且是正整數(shù))，

其中y是x的一次函數(shù)；

(4)由題意，得S=-x(26-x)=--x2+13x(0<%<26),其中S是x的二次函數(shù).

例3.正方形鐵片邊長(zhǎng)為15cm,在四個(gè)角上各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為x(cm)的小正方形，用余下

的部分做成一個(gè)無蓋的盒子.

(1)求盒子的表面積S(cm2)與小正方形邊長(zhǎng)x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)小正方形邊長(zhǎng)為3cm時(shí)，求盒子的表面積.

解(1)5=15z-4/=225—4/(0<無<與)；

(2)當(dāng)x=3cm時(shí)，S=225—4x32=189(cm2).

［當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)］

1.下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

(1)y—x2=0(2)y=(x+2)(x—2)—(x—I)?

(3)y=x2+—(4)y=J/+2x-3

x

2.當(dāng)k為何值時(shí)，函數(shù)y=(4—1)/'欠+1為二次函數(shù)？

3.已知正方形的面積為y(c加2)，周長(zhǎng)為x(cm).

(1)請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)判斷y是否為x的二次函數(shù).

［本課課外作業(yè)］

A組

1.已知函數(shù)y=(加-3)x""7是二次函數(shù)，求m的值.

2.已知二次函數(shù)y=ax2,當(dāng)x=3時(shí)，y=-5,當(dāng)x=-5時(shí)，求y的值.

3.已知一個(gè)圓柱的高為27,底面半徑為x,求圓柱的體積y與x的函數(shù)關(guān)系式.若圓柱的

底面半徑x為3,求此時(shí)的y.

4.用一根長(zhǎng)為40cm的鐵絲圍成一個(gè)半徑為r的扇形，求扇形的面積y與它的半徑x之間

的函數(shù)關(guān)系式.這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)嗎？請(qǐng)寫出半徑r的取值范圍.

B組

5.對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是()

A.y-(m—l)2x2B.y-(m+l)2x2C.y-(m2+l)x2D.y-(m2-l)x2

6.下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作二次函數(shù)^=“%2+方》+，（4。0）模型的是（）

A.在一定的距離內(nèi)汽車的行駛速度與行駛時(shí)間的關(guān)系

B.我國(guó)人口年自然增長(zhǎng)率為1%,這樣我國(guó)人口總數(shù)隨年份的變化關(guān)系

C.豎直向上發(fā)射的信號(hào)彈，從發(fā)射到落回地面，信號(hào)彈的高度與時(shí)間的關(guān)系（不計(jì)空

氣阻力）

D.圓的周長(zhǎng)與圓的半徑之間的關(guān)系

［本課學(xué)習(xí)體會(huì)］

§26.2用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程（第一課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能

1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體會(huì)方程與函數(shù)之間的聯(lián)系.

2.理解二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，理解何時(shí)

方程有兩個(gè)不等的實(shí)根、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)和沒有實(shí)根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函數(shù)與y=h（h是實(shí)數(shù)）交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（二）過程與方法

1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神.

2.通過觀察二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，討論一元二次方程的根的情況，進(jìn)一步

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.

3.通過學(xué)生共同觀察和討論.培養(yǎng)大家的合作交流意識(shí).

（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)

造.感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，

2.具有初步的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.

教學(xué)重點(diǎn)

1.體會(huì)方程與函數(shù)之間的聯(lián)系.

2.理解何時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)和沒有實(shí)根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函數(shù)與y=h（h是實(shí)數(shù)）交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

教學(xué)難點(diǎn)

1.探索方程與函數(shù)之間的聯(lián)系的過程.

2.理解二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系.

教學(xué)過程

I.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

1.我們學(xué)習(xí)了一元一次方程kx+b=O（kWO）和一次函數(shù)y=kx+b（k#O）后，討論了它們之

間的關(guān)系.當(dāng)一次函數(shù)中的函數(shù)值y=0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程

kx+b=O,且一次函數(shù)）y=kx+b（kWO）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為一元一次方程kx+b=O

的解.

現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了一元二次方程axP+bx+cnOG7。）和二次函數(shù)y—ax2+bx+c（a#0）,它們

之間是否也存在一定的關(guān)系呢？

2.選教材提出的問題，直接引入新課

II.合作交流解讀探究

1.二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系

探究：教材問題

師生同步完成.

觀察：教材22頁，學(xué)生小組交流.

歸納：先由學(xué)生完成，然后師生評(píng)價(jià)，最后教師歸納.

HI.應(yīng)用遷移鞏固提高

1.根據(jù)二次函數(shù)圖像看一元二次方程的根

同期聲

2.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況求待定系數(shù)的范圍.

3.根據(jù)一元二次方程根的情況來判斷拋物線與x軸的交點(diǎn)情況

IV.總結(jié)反思拓展升華

本節(jié)課學(xué)了如下內(nèi)容：

1.經(jīng)歷了探索二次函數(shù)與一元：二次方程的關(guān)系的過程，體會(huì)了方程與函數(shù)之間的聯(lián)

系.

2.理解了二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，理解了何時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,兩個(gè)相等的實(shí)

根和沒有實(shí)根.

3.數(shù)學(xué)方法:分類討論和數(shù)形結(jié)合.

反思：在判斷拋物線與x軸的交點(diǎn)情況時(shí)，和拋物線中的二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)有無關(guān)系？

拓展：教案

V.課后作業(yè)作31.3.5

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)

［本課知識(shí)要點(diǎn)］

會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ar2的圖象，概括出圖象的特點(diǎn)及函數(shù)的性質(zhì).

［MM及創(chuàng)新思維］

我們已經(jīng)知道，一次函數(shù)y=2x+l,反比例函數(shù)y=2的圖象分別是

x

，那么二次函數(shù)y=Y的圖象是什么呢？

(1)描點(diǎn)法畫函數(shù)y=/的圖象前，想一想，列表時(shí)如何合理選

值？以什么數(shù)為中心？當(dāng)x取互為相反數(shù)的值時(shí)，y的值如何？

(2)觀察函數(shù)y=/的圖象，你能得出什么結(jié)論？

［實(shí)踐與探索］

例1.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象，并指出它們有

何共同點(diǎn)？有何不同點(diǎn)？

(1)y=2/(2)y=—2/

解列表

???-3-2-10123

y=2x2???188202818???

y=-2x2???-18-8-20-2-8-18???

分別描點(diǎn)、連線，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，這兩個(gè)函數(shù)的圖象都是拋物線，如圖26.2.1.

共同點(diǎn)：都以y軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn).

不同點(diǎn)：y=2/的圖象開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，在對(duì)稱軸的左邊，曲線自左向

右下降；在對(duì)稱軸的右邊，曲線自左向右上升.

y=—2,的圖象開口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)，在對(duì)稱軸的左邊，曲線自左

向右上升；在對(duì)稱軸的右邊，曲線自左向右下降.

回顧與反思在列表、描點(diǎn)時(shí)，要注意合理靈活地取值以及圖形的對(duì)稱性，因?yàn)閳D象是拋物

線，因此，要用平滑曲線按自變量從小到大或從大到小的順序連接.

例2.已知y=(左+2)X/+&Y是二次函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大.

(1)求k的值；

(2)求頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.

左+左

解(1)由題意，得12_4-=2，解得k=2.

k+2>0

(2)二次函數(shù)為y=4一,則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),對(duì)稱軸為y軸.

例3.已知正方形周長(zhǎng)為Cem,面積為Sen?.

(1)求S和C之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖象；

(2)根據(jù)圖象，求出S=1cm，時(shí)，正方形的周長(zhǎng)；

(3)根據(jù)圖象,求出C取何值時(shí),S》4cm2.

分析此題是二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題，解這類問題時(shí)要注意自變量的取值范圍；畫圖象時(shí),

自變量C的取值應(yīng)在取值范圍內(nèi).

1,

解(1)由題意，得5=—。2(。>0).

列表:

C2468???

J_9

s=—c214???

1644

描點(diǎn)、連線，圖象如圖26.2.2.

(2)根據(jù)圖象得S=1cm?時(shí)，正方形的周長(zhǎng)是4cm.

(3)根據(jù)圖象得，當(dāng)C28cm時(shí),S24cm".

回顧與反思圖2622

(1)此圖象原點(diǎn)處為空心點(diǎn).

(2)橫軸、縱軸字母應(yīng)為題中的字母C、S,不要習(xí)慣地寫成x、y.

(3)在自變量取值范圍內(nèi)，圖象為拋物線的一部分.

［當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)］

1.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象，并分別寫出它們的開口方向、對(duì)稱軸和頂

點(diǎn)坐標(biāo).

(1)y=3x2(2)y--3x2(3)y--x2

2

2.(1)函數(shù)y=的開口,對(duì)稱軸是,頂點(diǎn)坐標(biāo)是；

(2)函數(shù)y=--一的開口______,對(duì)稱軸是________,頂點(diǎn)坐標(biāo)是_________.

4

3.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2x,請(qǐng)將此三角形的面積S表示成x的函數(shù)，并畫出圖象的草

圖.

［本課課外作業(yè)］

A組

1.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象.

(1)y--4x2(2)y=^x2

2.填空:

(1)拋物線y=—5/,當(dāng)*=時(shí)，y有最值，是.

(2)當(dāng)m=時(shí)，拋物線y=開口向下.

(3)已知函數(shù)y=(r+Q_?2-2i是二次函數(shù)，它的圖象開口,當(dāng)x時(shí)，y

隨x的增大而增大.

3.已知拋物線y=中，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大.

(1)求k的值；(2)作出函數(shù)的圖象(草圖).

4.已知拋物線y=ar2經(jīng)過點(diǎn)(1,3),求當(dāng)y=9時(shí)，x的值.

B組

5.底面是邊長(zhǎng)為x的正方形，高為0.5cm的長(zhǎng)方體的體積為ycm".(1)求y與x之間的函

數(shù)關(guān)系式；(2)畫出函數(shù)的圖象；(3)根據(jù)圖象，求出y=8cm，時(shí)底面邊長(zhǎng)x的值；(4)根

據(jù)圖象，求出x取何值時(shí)，y24.5cm'.

6.二次函數(shù)y=ad與直線y=2x—3交于點(diǎn)P(1,b).

(1)求a、b的值；

(2)寫出二次函數(shù)的關(guān)系式，并指出x取何值時(shí)，該函數(shù)的y隨x的增大而減小.

7.一個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，y軸為對(duì)稱軸的拋物線，且過M(-2,2).

(1)求出這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式并畫出函數(shù)圖象；

(2)寫出拋物線上與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并求出/M0N的面積.

［本課學(xué)習(xí)體會(huì)］

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(2)

［本課知識(shí)要點(diǎn)］

會(huì)畫出y=ad+左這類函數(shù)的圖象，通過比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì).

［MM及創(chuàng)新思維］

同學(xué)們還記得一次函數(shù)＞=2x與y=2x+l的圖象的關(guān)系嗎？

，你能由此推測(cè)二次函數(shù)y=/與y=%2+i的圖象之間的關(guān)系嗎？

,那么y=/與y=/-2的圖象之間又有何關(guān)系？_

［實(shí)踐與探索］

例1.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=2/與y=2/+2的圖象.

解列表.

???

X???-3-2-10123

描點(diǎn)、連線，畫出

y=2x2???188202818???

這兩個(gè)函數(shù)的圖

象，如圖26.2.3

y—2x2+2??????

20104241020所示.

-5-4-3-2-10|12345X

圖26.2.3

回顧與反思當(dāng)自變量x取同一數(shù)值時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值之間有什么關(guān)系？反映在圖象

上，相應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)之間的位置又有什么關(guān)系？

探索觀察這兩個(gè)函數(shù)，它們的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)有那些是相同的？又有哪些不

同？你能由此說出函數(shù)y=2/與y=2——2的圖象之間的關(guān)系嗎？

例2.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=——+1與y=—，一1的圖象，并說明，通過怎

樣的平移，可以由拋物線y=-x2+l得到拋物線y=——一1.

解列表.

X???-3-2-10123

y=-x2+].???-8-3010-3-8

y=-x1—1…TO-5-2-1-2-5-10…包上、上心—

,描點(diǎn)、連線，回出a

這兩個(gè)函數(shù)的圖

象，如圖26.2.4所示.

可以看出，拋物線y=—/_i是由拋物線y=-/+i向下平移兩個(gè)單位得到的.

回顧與反思拋物線y=-x2+\和拋物線y=-x2-1分別是由拋物線y=-/向上、向下

平移一個(gè)單位得到的.

探索如果要得到拋物線y=——+4,應(yīng)將拋物線y=———1作怎樣的平移？

例3.一條拋物線的開口方向、對(duì)稱軸與y=相同，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是-2,且拋物線經(jīng)過點(diǎn)

（1,1）,求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

解由題意可得，所求函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-2）,

因此所求函數(shù)關(guān)系式可看作y=ax2—2（。＞0）,又拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1,1）,

所以，1=〃42一2,解得a=3.

故所求函數(shù)關(guān)系式為y=3——2.

回顧與反思y-ax1+k（a、k是常數(shù)，a^O）的圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)歸

納如下:

開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y—ax2+ka>Q

。<0

［當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)］

1.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列二次函數(shù)的圖象：

112c12c

y=-x2，y=-x~+2,y=-x-2.

222

觀察三條拋物線的相互關(guān)系，并分別指出它們的開口方向及對(duì)稱軸、頂點(diǎn)的位置.你能說出

拋物線y=+%的開口方向及對(duì)稱軸、頂點(diǎn)的位置嗎？

2.拋物線丁=一一一9的開口____,對(duì)稱軸是________，頂點(diǎn)坐標(biāo)是_________，它可以

4

看作是由拋物線y=；/向—平移一個(gè)單位得到的.

3.函數(shù)y=—3—+3,當(dāng)x時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小.當(dāng)x時(shí)，函

數(shù)取得最—值，最―值丫=.

［本課課外作業(yè)］

A組

1.已知函數(shù)曠=,％2,〉=:%2+3,y=-X2-2.

（1）分別畫出它們的圖象；

（2）說出各個(gè)圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）試說出函數(shù)y=§/+5的圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo).

1,

2.不畫圖象，說出函數(shù)＞=-^尤+3的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并說明它是由函

數(shù)y=-上/通過怎樣的平移得到的.

4

3.若二次函數(shù)y=ar2+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2,10）,求a的值.這個(gè)函數(shù)有最大還是最小

值？是多少？

B組

4.在同一直角坐標(biāo)系中y=ad+8與y=ax+/7mH0力/0）的圖象的大致位置是（）

5.已知二次函數(shù)y=8——（左一l）x+左一7,當(dāng)k為何值時(shí)，此二次函數(shù)以y軸為對(duì)稱軸？

寫出其函數(shù)關(guān)系式.

［本課學(xué)習(xí)體會(huì)］

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3）

［本課知識(shí)要點(diǎn)］

會(huì)畫出y=a（x—?2這類函數(shù)的圖象，通過比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì).

［MM及創(chuàng)新思維］

我們已經(jīng)了解到，函數(shù)y=ad+Z的圖象，可以由函數(shù)y=ad的圖象上下平移所得,

那么函數(shù)y=5(x-2尸的圖象，是否也可以由函數(shù)＞=萬一平移而得呢？畫圖試一試，你

能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

［實(shí)踐與探索］

例L在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象.

y=y=g(x+2)2,y=—2尸，并指出它們的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

解列表.

?.?

X-3-2-10123…描點(diǎn)、連線，畫出這三個(gè)函數(shù)

129￡￡9…的圖象，如圖26.2.5所示.

V=-X???202

22222

y=g(x+2)2J_2525

???028???

IITT

y=g(x-2)2259j_

???820???

T222

它們的開口方向都向上；對(duì)

稱軸分別是y軸、直線x=-2

和直線x=2；頂點(diǎn)坐標(biāo)分別

是

(0,0),(-2,0),(2,0).

回顧與反思對(duì)于拋物線

y=g(x+2)2,當(dāng)x

時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大

而減?。划?dāng)x時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取得最值,

最值y=

探索拋物線y=；(x+2尸和拋物線丫=；(、_21分別是由拋物線y=；/向左、向右平

11,

移兩個(gè)單位得到的.如果要得到拋物線y=］(x-4產(chǎn)，應(yīng)將拋物線y=作怎樣的平

移？

例2.不畫出圖象，你能說明拋物線y=—3/與y=—3(%+2)2之間的關(guān)系嗎?

解拋物線y=—3,的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)；拋物線y=—3。+2y的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0).

因此，拋物線y=—3/與y=—3(x+2>形狀相同，開口方向都向下，對(duì)稱軸分別是y軸

和直線x=-2.拋物線y=—3(x+2)2是由y=-3x2向左平移2個(gè)單位而得的.

回顧與反思y-a(x-h)2(a、h是常數(shù)，aWO)的圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)

歸納如下：

一開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y=a(x-h')2a>0

a<0

［當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)］

1.畫圖填空：拋物線y=(x-1)2的開口,對(duì)稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，

它可以看作是由拋物線y=/向平移個(gè)單位得到的.

2.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象.

y=-2x2,y=—2(x—3)2,y=-2(x+3)2,并指出它們的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐

標(biāo).

［本課課外作業(yè)］

A組

1.已知函數(shù)曠=-5/，y=--(x+1)2.y=--(x-iy.

(1)在同一直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象；

(2)分別說出各個(gè)函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)分別討論各個(gè)函數(shù)的性質(zhì).

2.根據(jù)上題的結(jié)果，試說明：分別通過怎樣的平移，可以由拋物線y=得到拋物線

1,1,

y————(x+1)-和y————(jc—1)"?

3.函數(shù)y=—3。+1產(chǎn)，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小.當(dāng)x時(shí)，函

數(shù)取得最—值，最一值丫=.

4.不畫出圖象，請(qǐng)你說明拋物線y=5/與y=5(x—4下之間的關(guān)系.

B組

5.將拋物線y=ax2向左平移后所得新拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2,且新拋物線經(jīng)過點(diǎn)

(1,3),求a的值.

［本課學(xué)習(xí)體會(huì)］

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(4)

［本課知識(shí)要點(diǎn)］

1.掌握把拋物線y=ad平移至y=q(x一〃產(chǎn)+k的規(guī)律；

2.會(huì)畫出y=a(x—/z)2+k這類函數(shù)的圖象，通過比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì).

［MM及創(chuàng)新思維］

由前面的知識(shí)，我們知道，函數(shù)y=2,的圖象，向上平移2個(gè)單位，可以得到函數(shù)

y=2,+2的圖象；函數(shù)y=2,的圖象，向右平移3個(gè)單位，可以得到函數(shù)y=2(x—3產(chǎn)

的圖象，那么函數(shù)y=2/的圖象，如何平移，才能得到函數(shù)y=2(x—3>+2的圖象呢？

［實(shí)踐與探索］

例1.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象.

y=-x2,y=L(x—l)2,y='(x-l)2—2,并指出它們的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐

222

標(biāo).

它們的開口方向都對(duì)稱軸分別

為、、，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、.請(qǐng)

同學(xué)們完成填空，并觀察三個(gè)圖象之間的關(guān)系.

回顧與反思二次函數(shù)的圖象的上下平移，只影響二次函數(shù)y=a(x-/?)2+k中k的值；左

右平移，只影響h的值，拋物線的形狀不變，所以平移時(shí)，可根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的改變，確定平

移前、后的函數(shù)關(guān)系式及平移的路徑.此外，圖象的平移與平移的順序無關(guān).

探索你能說出函數(shù)y=a（x—〃>+k（a、h、k是常數(shù)，aWO）的圖象的開口方向、對(duì)稱

軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？試填寫下表.

開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y—?(x—Zz)2+ka>0

a<0

例2.把拋物線y=%2+bx+c向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到拋物線y=%2,

求b、c的值.

分析拋物線y=Y的頂點(diǎn)為（0,0）,只要求出拋物線y=x2+"c+c的頂點(diǎn)，根據(jù)頂點(diǎn)

坐標(biāo)的改變，確定平移后的函數(shù)關(guān)系式，從而求出b、c的值.

初2,21b2b2,久2〃

保fy=x+Z?x+c=x+hx~\------------c=（xH—）+c-------.

4424

bh2

向上平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)=（x+—尸+c——+2,

24

人力2

再向左平移4個(gè)單位，得到y(tǒng)=（x+：+4）2+c—（+2,

其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（一2一4,。—，+2），而拋物線y的頂點(diǎn)為（0,0）,則

-2-4=0

2

c--+2=0

4

4=-8

解得

(?=14

探索把拋物線了=/+人》+。向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到拋物線

y=x2,也就意味著把拋物線y=/向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到拋物

線yuf+bx+c.那么，本題還可以用更簡(jiǎn)潔的方法來解，請(qǐng)你試一試.

［當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)］

1.將拋物線y=2（尤—4>-1如何平移可得到拋物線y=2x2()

A.向左平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位

B.向左平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位

C.向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位

D.向右平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位

2.把拋物線曠=-］一向左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，所得的拋物線的函數(shù)關(guān)

系式為?

3.拋物線丁=1+2%-］/可由拋物線y=—］x2向平移個(gè)單位，再向平

移個(gè)單位而得到.

［本課課外作業(yè)］

A組

1.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象.

>'=-3x2,y=—3(X+2)2,y=—3(X+2)2—1,并指出它們的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)

坐標(biāo).

2.將拋物線y=—/+2x+5先向下平移1個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，求平移后的拋

物線的函數(shù)關(guān)系式.

3.將拋物線丫=一2/+X+］如何平移，可得到拋物線y=-/x2+2尤+3?

B組

4.把拋物線了=/+/^+。向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到拋物線

y=x2-3x+5,則有()

A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=21

5.拋物線丁=一3/+/^+。是由拋物線y=—3X2—"C+1向上平移3個(gè)單位，再向左平

移2個(gè)單位得到的，求b、c的值.

6.將拋物線丫=以2(4不0)向左平移帆個(gè)單位，再向上平移同個(gè)單位，其中h>0,k<0,

求所得的拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

［本課學(xué)習(xí)體會(huì)］

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(5)

［本課知識(shí)要點(diǎn)］

1.能通過配方把二次函數(shù)曠=。犬+匕%+?；裳?。5一〃)2+1<的形式，從而確定開口方

向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

2.會(huì)利用對(duì)稱性畫出二次函數(shù)的圖象.

［MM及創(chuàng)新思維］

我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)y=2(x—3尸+1的圖象，可以由函數(shù)y=2/的圖象先向

平移一個(gè)單位，再向—平移一個(gè)單位得到，因此，可以直接得出：函數(shù)y=2(x-3了+1

的開口,對(duì)稱軸是,頂點(diǎn)坐標(biāo)是.那么，對(duì)于任意一個(gè)二次函數(shù),

如y=一%2+3%-2,你能很容易地說出它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出圖象嗎？

［實(shí)踐與探索］

例1.通過配方，確定拋物線y=—2/+4x+6的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，再描點(diǎn)

畫圖.

解y=-2x2+4x+6

=—2(/一2x)+6

=-2(x2-2x+l-l)+6

=-[2(1)2-l]+6

=—2(x—l)2+8

因此，拋物線開口向下，對(duì)稱軸是直線x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,8).

由對(duì)稱性列表:

X???-2-101234

y——2x2+4%+6…-1006860-10

描點(diǎn)、連線，如圖26.2.7所示.

回顧與反思(1)列表時(shí)選值，應(yīng)以對(duì)稱軸x=l為中心，函數(shù)值可由對(duì)稱性得到，.

(2)描點(diǎn)畫圖時(shí)，要根據(jù)已知拋物線的特點(diǎn)，一般先找出頂點(diǎn)，并用虛線畫對(duì)稱軸，然后

再對(duì)稱描點(diǎn)，最后用平滑曲線順次連結(jié)各點(diǎn).

探索對(duì)于二次函數(shù)y=aW+Ax+c,你能用配方法求出它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？請(qǐng)你

完成填空：對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo).

例2.已知拋物線y一g+2)x+9的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，求a的值.

分析頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上有兩種可能：(1)頂點(diǎn)在x軸上，則頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于0；(2)頂點(diǎn)

在y軸上，則頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于0.

解y=x2-(a+2)x+9=(x-^^)2+9-^—^,

則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是空二,9—"2)二

_24

當(dāng)頂點(diǎn)在X軸上時(shí)，有一^—=0,

2

解得a=-2.

當(dāng)頂點(diǎn)在y軸上時(shí)，有9-絲土生=0,

4

解得。=4或。=一8.

所以，當(dāng)拋物線)=%2一(〃+2)x+9的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，a有三個(gè)值，分別是-2,4,

8.

［當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)］

1.(1)二次函數(shù)y=—，-2x的對(duì)稱軸是.

(2)二次函數(shù)y=2——2x—1的圖象的頂點(diǎn)是，當(dāng)x時(shí)，y隨x的增

大而減小.

(3)拋物線y=ax2—4x—6的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是-2,則。=.

2.拋物線曠=。幺+2%+。的頂點(diǎn)是(；,—1),則a、c的值是多少？

［本課課外作業(yè)］

A組

1，5

1.己知拋物線y=+求出它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出函數(shù)的圖象.

2.利用配方法，把下列函數(shù)寫成y=a(x—0)2+k的形式，并寫出它們的圖象的開口方向、

對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

(1)y--x2+6x+1(2)y—2x2—3x+4

(3)y--x2+nx(4)y—x1+px+q

3.已知y=(左+2)1?'2*-6是二次函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大.

(1)求k的值；(2)求開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.

B組

4.當(dāng)。＜()時(shí)，求拋物線曠=/+2,次+1+2“2的頂點(diǎn)所在的象限.

5.已知拋物線y=》2—4x+〃的頂點(diǎn)A在直線y=-4x—l上，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

［本課學(xué)習(xí)體會(huì)］

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6)

［本課知識(shí)要點(diǎn)］

1.會(huì)通過配方求出二次函數(shù)y=a%2+bx+c(a#0)的最大或最小值；

2.在實(shí)際應(yīng)用中體會(huì)二次函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型的作用，會(huì)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求實(shí)際問

題中的最大或最小值.

［MM及創(chuàng)新思維］

在實(shí)際生活中，我們常常會(huì)碰到一些帶有“最”字的問題，如

問題：某商店將每件進(jìn)價(jià)為80元的某種商品按每件100元出售，一天可銷出約100件.該

店想通過降低售價(jià)、增加銷售量的辦法來提高利潤(rùn).經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價(jià)每降

低1元，其銷售量可增加約10件.將這種商品的售價(jià)降低多少時(shí)，能使銷售利潤(rùn)最大？

在這個(gè)問題中，設(shè)每件商品降價(jià)x元，該商品每天的利潤(rùn)為y元，則可得函數(shù)關(guān)系式為二次

函數(shù)y=-10x2+10（k+2000那么，此問題可歸結(jié)為：自變量x為何值時(shí)函數(shù)y取得最

大值？你能解決嗎？

［實(shí)踐與探索］

例1.求下列函數(shù)的最大值或最小值.

（1）y-2x——3x—5；（2）y———3元+4.

分析由于函數(shù)丁=2尤2—3x—5和y=—3x+4的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，

所以只要確定它們的圖象有最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，就可以確定函數(shù)有最大值或最小值.

解（1）二次函數(shù)y=2/一3%—5中的二次項(xiàng)系數(shù)2>0,

因此拋物線y=2/一3%一5有最低點(diǎn)，即函數(shù)有最小值.

349

因?yàn)閥=2x"—3x—5=2（x————,

3,49

所以當(dāng)x時(shí)，函數(shù)^=2%2-3%一5有最小值是一；.

48

（2）二次函數(shù)y=-Y-3%+4中的二次項(xiàng)系數(shù)T<0,

因此拋物線y=—/-3x+4有最高點(diǎn)，即函數(shù)有最大值.

因?yàn)閥=-丁-3X+4=-（X+，）2+，,

24

所以當(dāng)x=—三時(shí)，函數(shù)y=-/_3x+4有最大值是三.

24

回顧與反思最大值或最小值的求法，第一步確定a的符號(hào)，a>0有最小值，aVO有最大

值；第二步配方求頂點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)的最大值或最小值.

探索試一試，當(dāng)2.5WxW3.5時(shí)，求二次函數(shù)y=/-2%-3的最大值或最小值.

例2.某產(chǎn)品每件成本是120元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y

（件）之間關(guān)系如下表:

X（元）130150165

y（件）705035

若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù),要獲得最大銷售利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)定為多少元?

此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少？

分析日銷售利潤(rùn)=日銷售量X每件產(chǎn)品的利潤(rùn)，因此主要是正確表示出這兩個(gè)量.

解由表可知x+y=200,

因此，所求的一次函數(shù)的關(guān)系式為y=—x+200.

設(shè)每日銷售利潤(rùn)為s元，則有

s=y(x-12Q)=—(x—1602+160C.

因?yàn)橐粁+20020,x—12020,所以120Wx?2(X).

所以，當(dāng)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)定為160元時(shí)，銷售利潤(rùn)最大，最大銷售利潤(rùn)為1600元.

回顧與反思解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)先分析問題中的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式，再研究所得

的函數(shù)，得出結(jié)果.

例3.如圖26.2.8,在Rt/ABC中，ZC=90°,BC=4,AC=8,點(diǎn)D在斜邊AB上，分別作

DE±AC,DF±BC,垂足分別為E、F,得四邊形DECF,設(shè)DE=x,DF=y.

(1)用含y的代數(shù)式表示AE；

(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；

(3)設(shè)四邊形DECF的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出S

的最大值.

解(1)由題意可知，四邊形DECF為矩形，因此

AE=AC-DF=8-y.

(2)由DE〃BC,得竺=必，即2=互工，

BCAC48

圖26.2.8

所以，y=8-2x,x的取值范圍是0<x<4.

(3)5-xy-x(8—2x)——2x2+8x=—2(x—2)2+8,

所以，當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值8.

［當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)］

1.對(duì)于二次函數(shù)y=f-2%+加，當(dāng)x=時(shí)，y有最小值.

2.已知二次函數(shù)y=a(x—1y+〃有最小值-1,則a與b之間的大小關(guān)系是()

A.a<bB.a=bC.a>bD.不能確定

3.某商場(chǎng)銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，為了擴(kuò)大銷售，增加盈

利，盡快減少庫存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降

價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件.

(1)若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？

(2)每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)平均每天盈利最多？

［本課課外作業(yè)］

A組

1.求下列函數(shù)的最大值或最小值.

(1)y=-x2-2x；(2)y=2x2—2x+1.

2.已知二次函數(shù)y=x?—6x+/n的最小值為1,求m的值

3.心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x(單位：分)之間滿

足函數(shù)關(guān)系：y=-0.1x2+2.6x+43(0WxW30).y值越大，表示接受能力越強(qiáng).

(l)x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降

低？

(2)第10分時(shí)，學(xué)生的接受能力是多少？

(3)第幾分時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？

B組

4.不論自變量x取什么數(shù)，二次函數(shù)y=2——6x+加的函數(shù)值總是正值，求m的取值范

圍.

5.如圖，有長(zhǎng)為24m的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度a為10m),圍成中間隔有一

道籬笆的長(zhǎng)方形花圃.設(shè)花圃的寬AB為xm,面積為Sm?.

(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式；I

(2)如果要圍成面積為45n?的花圃，AB的長(zhǎng)是多少米？

(3)能圍成面積比45m?更大的花圃嗎？如果能，請(qǐng)求出

最大面積，并說明圍法；如果不能，請(qǐng)說明理由.

6.如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,線段EF在對(duì)角線AC上,

EG±AD,FH±BC,垂足分別是G、H,且EG+FH=EF.

(1)求線段EF的長(zhǎng)；

(2)設(shè)EG=x,/AGE與/CFH的面積和為S,

寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，

并求出S的最小值.

［本課學(xué)習(xí)體會(huì)］

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(7)

［本課知識(shí)要點(diǎn)］

會(huì)根據(jù)不同的條件，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式.

［MM及創(chuàng)新思維］

一般地，函數(shù)關(guān)系式中有幾個(gè)獨(dú)立的系數(shù)，那么就需要有相同個(gè)數(shù)的獨(dú)立條件才能求出

函數(shù)關(guān)系式.例如：我們?cè)诖_定一次函數(shù)丁=日+雙人聲0)的關(guān)系式時(shí)，通常需要兩個(gè)獨(dú)

k

立的條件：確定反比例函數(shù)y=w0)的關(guān)系式時(shí)，通常只需要一個(gè)條件：如果要確定

x

二次函數(shù)y=+bx+c(awO)的關(guān)系式，又需要幾個(gè)條件呢？

［實(shí)踐與探索］

例1.某涵洞是拋物線形，它的截面如圖26.