北京市順義區(qū)、通州區(qū)2024屆高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題含解析

北京市順義區(qū)、通州區(qū)2024屆高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)雙曲線的左、右頂點分別為、，點在雙曲線上第一象限內(nèi)的點，若的三個內(nèi)角分別為、、且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.2．德國數(shù)學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點A、B是的ON邊上的兩個定點，C是OM邊上的一個動點，當C在何處時，最大？問題的答案是：當且僅當?shù)耐饨訄A與邊OM相切于點C時，最大．人們稱這一命題為米勒定理．已知點P、Q的坐標分別是（2，0），（4，0），R是y軸正半軸上的一動點，當最大時，點R的縱坐標為（）A.1 B.C. D.23．甲、乙、丙、丁共4名同學進行黨史知識比賽，決出第1名到第4名的名次（名次無重復），其中前2名將獲得參加市級比賽的資格，甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有獲得參加市級比賽的資格.”對乙說：“你當然不會是最差的.”從這兩個回答分析，4人的排名有（）種不同情況.A.6 B.8C.10 D.124．雙曲線的虛軸長為（）A. B.C.3 D.65．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，，則的形狀為（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6．若實數(shù)x，y滿足不等式組，則的最小值為（）A. B.0C. D.27．已知，是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若以為直徑的圓過點P，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.8．在數(shù)列中，，則（）A. B.C.2 D.19．已知等差數(shù)列的公差，若，，則該數(shù)列的前項和的最大值為（）A.30 B.35C.40 D.4510．展開式的第項為（）A. B.C. D.11．已知等差數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.12．已知拋物線上的點到該拋物線焦點的距離為，則拋物線的方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，若面積，則______14．若雙曲線的漸近線與圓相切，則該雙曲線的實軸長為______15．已知實數(shù)，，，滿足，，，則的最大值是______16．已知曲線在點處的切線的斜率為，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列中，，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出；（2）數(shù)列前項和為，求18．（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓與軸相切于點（1）求圓的標準方程；（2）若直線與圓相交于，兩點，求的面積19．（12分）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線上.（1）求拋物線的標準方程；（2）過點的直線交拋物錢C于A，B兩點，O為坐標原點，記直線OA，OB的斜率分別，，求證：為定值.20．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.21．（12分）設(shè)O為坐標原點，動點P在圓上，過點P作軸的垂線，垂足為Q且.（1）求動點D的軌跡E的方程；（2）直線與圓相切，且直線與曲線E相交于兩不同的點A、B，T為線段AB的中點.線段OA、OB分別與圓O交于M、N兩點，記的面積分別為，求的取值范圍.22．（10分）已知橢圓的離心率為，右焦點為F，且E上一點P到F的最大距離3（1）求橢圓E的方程；（2）若A，B為橢圓E上的兩點，線段AB過點F，且其垂直平分線交x軸于H點，，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】設(shè)點，其中，，求得，且有，，利用兩角和的正切公式可求得的值，進而可求得的值，即可得出該雙曲線的漸近線的方程.【題目詳解】易知點、，設(shè)點，其中，，且，，且，，，所以，，，因為，所以，，則，因此，該雙曲線漸近線方程為.故選：B.2、C【解題分析】由題意，借助米勒定理，可設(shè)出坐標，表示出的外接圓方程，然后在求解點R的縱坐標.【題目詳解】因為點P、Q的坐標分別是（2，0），（4，0）是x軸正半軸上的兩個定點，點R是y軸正半軸上的一動點，根據(jù)米勒定理，當?shù)耐饨訄A與y軸相切時，最大，由垂徑定理可知，弦的垂直平分線必經(jīng)過的外接圓圓心，所以弦的中點為（3，0），故弦中點的橫坐標即為的外接圓半徑，即，由垂徑定理可得，圓心坐標為，故的外接圓的方程為，所以點R的縱坐標為.故選：C.3、C【解題分析】由題可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分類討論可得答案.【題目詳解】若甲是最后一名，則其他三人沒有限制，4人排名即為，若甲是第三名，4人的排名為，所以4人的排名有種情況.故選：C4、D【解題分析】根據(jù)題意，由雙曲線的方程求出的值，即可得答案【題目詳解】因為，所以，所以雙曲線的虛軸長為.故選：D.5、B【解題分析】直接利用正弦定理以及已知條件，求出、、的關(guān)系，即可判斷三角形的形狀【題目詳解】解：在中，已知，，，分別為角，，的對邊），由正弦定理可知：，所以，解得，所以為等邊三角形故選：【題目點撥】本題考查三角形的形狀的判斷，正弦定理的應用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題6、A【解題分析】畫出可行域，令，則，結(jié)合圖形求出最小值，即可得解；【題目詳解】解：畫出不等式組，表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，由，解得，即，令，則．結(jié)合圖形可知當過點時，取得最小值，且，即故選：A7、B【解題分析】根據(jù)題意，在中，設(shè)，則，進而根據(jù)橢圓定義得，進而可得離心率.【題目詳解】在中，設(shè)，則，又由橢圓定義可知則離心率，故選：B.【題目點撥】本題考查橢圓離心率的計算，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的定義，在焦點三角形中根據(jù)邊角關(guān)系求解.8、A【解題分析】利用條件可得數(shù)列為周期數(shù)列，再借助周期性計算得解.【題目詳解】∵∴，，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，∴，故選：A.9、D【解題分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差以及首項，再由等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【題目詳解】等差數(shù)列，由，有，又，公差，所以，，得，，，∴當或10時，最大，，故選：D10、B【解題分析】由展開式的通項公式求解即可【題目詳解】因為，所以展開式的第項為，故選：B11、D【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出公差，再結(jié)合即可得的值.【題目詳解】因為是等差數(shù)列，設(shè)公差為，所以，即，所以，所以，故選：D.12、B【解題分析】由拋物線知識得出準線方程，再由點到焦點的距離等于其到準線的距離求出，從而得出方程.【題目詳解】由題意知，則準線為，點到焦點的距離等于其到準線的距離，即，∴，則故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解題分析】結(jié)合三角形面積公式與余弦定理得，進而得答案.【題目詳解】解：由三角形的面積公式得，所以，因為，所以，即，因為，所以故答案為：14、【解題分析】由雙曲線方程寫出漸近線，根據(jù)相切關(guān)系，結(jié)合點線距離公式求參數(shù)a，即可確定實軸長.【題目詳解】由題設(shè)，漸近線方程為，且圓心為，半徑為1，所以，由相切關(guān)系知：，可得，又，即，所以雙曲線的實軸長為.故答案為：15、10【解題分析】采用數(shù)形結(jié)合法，將所求問題轉(zhuǎn)化為兩點到直線的距離和的倍，結(jié)合梯形中位線性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系可求得答案.【題目詳解】由，，，可知，點在圓上，由，即為等腰直角三角形，結(jié)合點到直線距離公式可理解為圓心到直線的距離，變形得，即所求問題可轉(zhuǎn)化為兩點到直線的距離和的倍，作于于，中點為，中點為，由梯形中位線性質(zhì)可得，，作于，于，連接，則，當且僅當與重合，三點共線時，有最大值，由點到直線距離公式可得，由幾何性質(zhì)可得，，此時，故的最大值為.故答案為：10.16、【解題分析】對求導，根據(jù)題設(shè)有且，即可得目標式的值.【題目詳解】由題設(shè)，且定義域為，則，所以，整理得，又，所以，兩邊取對數(shù)有，得：，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，（2）【解題分析】（1）利用等差數(shù)列的定義可證是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式可求.（2）利用錯位相減法可求.【小問1詳解】因為，是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，.【小問2詳解】，，，.18、（1）（2）4【解題分析】（1）由已知設(shè)圓心，再由相切求圓半徑從而得解.（2）求弦長，再求點到直線的距離，進而可得解.【小問1詳解】因為圓心在直線上，所以設(shè)圓心，又圓與軸相切于點，所以，即圓與軸相切，則圓的半徑，于是圓的方程為【小問2詳解】圓心到直線的距離，則，又到直線的距離為，所以.19、（1）（2）證明見解析【解題分析】（1）將點代入拋物線方程即可求解；（2）當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達定理即可求出的值;當直線AB的斜率不存在時，由過點即可求出點和點的坐標,即可求出的值.【小問1詳解】將點代入得，，∴拋物線的標準方程為.【小問2詳解】當直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，，將聯(lián)立得，，由韋達定理得：，，，當直線AB的斜率不存在時，由直線過點,則，，，，綜上所述可知，為定值為.20、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的首項和公差，由此求得.（2）利用裂項求和法求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則,解得，.∴.【小問2詳解】由（1）知.∴.∴.21、（1）；（2）.【解題分析】(1)設(shè)出點D的坐標，借助向量運算表示出點P的坐標代入圓O的方程計算作答.(2)在直線的斜率存在時設(shè)出其方程，與軌跡E的方程聯(lián)立，借助韋達定理表示出，再利用二次函數(shù)性質(zhì)計算得解，然后計算直線的斜率不存在的值作答.【小問1詳解】設(shè)點，則，因，則有，又點P在圓上，即，所以動點D的軌跡E的方程是.【小問2詳解】當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為：，因直線與圓相切，則，即，而時，直線與橢圓E相切，不符合題意，因此，由消去x并整理得：，設(shè)，則，而點T是線段AB中點，則有：，令，則，而，當，即時，，當，即時，，而，于是得，當直線的斜率不存在時，直線，，此時，所以的取值范圍是.【題目點撥】思路點睛：圓錐曲線中的最值問題，往往需要利用韋達定理構(gòu)建目標的函數(shù)關(guān)系式，自變量可以斜率或點的橫、縱坐標等.而目標函數(shù)的最值可以通過二次函數(shù)或基本不等式或?qū)?shù)等求得.22、（1）；