2024學(xué)年安徽省合肥市廬陽區(qū)第六中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024學(xué)年安徽省合肥市廬陽區(qū)第六中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若命題為“，”，則為（）A.， B.，C.， D.，2．已知隨圓與雙曲線相同的焦點(diǎn)，則橢圓和雙曲線的離心，分別為（）A. B.C. D.3．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，直角三角形的兩直角邊與斜邊的長(zhǎng)分別稱“勾”“股”“弦”，且“”.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線交雙曲線左、右兩支于兩點(diǎn)，若恰好是的“勾”“股”，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.4．用1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字可寫出（）個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)A.24 B.12C.81 D.645．已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則實(shí)數(shù)的值是A. B.C. D.6．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次從高變低）5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，問這5個(gè)人各出多少錢？”在這個(gè)問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（）A.14 B.20C.18 D.167．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則=（）A. B.C. D.8．已知某班有學(xué)生48人，為了解該班學(xué)生視力情況，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本已知3號(hào)，15號(hào)，39號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中另外一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是（）A.26 B.27C.28 D.299．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，若（，），則（）A.2024 B.2022C.2021 D.202010．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，當(dāng)取最大時(shí)的值為（）A. B.C. D.11．如圖，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.12．設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，滿足約束條件，則的最小值為______.14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與的左、右支分別交于點(diǎn)、（、均在軸上方）.若直線、的斜率均為，且四邊形的面積為，則__________.15．若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則的取值范圍__________16．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________，的最小值為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求點(diǎn)B到平面PCD的距離；（2）求二面角的平面角的余弦值.18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率為，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1（1）求橢圓C方程；（2）設(shè)點(diǎn)P在直線上，過點(diǎn)P的兩條直線分別交曲線C于A，B兩點(diǎn)和M，N兩點(diǎn)，且，求直線AB的斜率與直線MN的斜率之和20．（12分）已知拋物線，過點(diǎn)作直線（1）若直線的斜率存在，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程（2）若直線過拋物線的焦點(diǎn)，且交拋物線于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)21．（12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)A，B是橢圓C的上，下頂點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線PA與橢圓C的另一交點(diǎn)為E，直線PB與橢圓C的另一交點(diǎn)為F．證明：直線EF過定點(diǎn)22．（10分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求的值；（2）是否存在常數(shù)，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意，恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】特稱命題的否定是全稱命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定.【題目詳解】“，”的否命題為“，”，故選：B2、B【解題分析】設(shè)公共焦點(diǎn)為，推導(dǎo)出，可得出，進(jìn)而可求得、的值.【題目詳解】設(shè)公共焦點(diǎn)為，則，則，即，故，即，，故選：B3、A【解題分析】根據(jù)雙曲線的定義及直角三角形斜邊的中線定理，再結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.【題目詳解】如圖所示由題意可知，根據(jù)雙曲線的定義知，是的中點(diǎn)且.在中，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以.所以是等邊三角形，.在中，.由雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.4、A【解題分析】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來全排列即可.【題目詳解】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來全排列，共可寫出個(gè)三位數(shù).故選：A5、C【解題分析】由方程表示雙曲線知，又雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，所以，即，所以故選C.考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).6、D【解題分析】根據(jù)題意，建立等差數(shù)列模型，結(jié)合等差數(shù)列公式求解即可.【題目詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數(shù)為.故選：D.7、D【解題分析】利用公式計(jì)算得到，得到答案【題目詳解】由已知得，即，而，所以故選：D8、B【解題分析】由系統(tǒng)抽樣可知抽取一個(gè)容量為4的樣本時(shí),將48人按順序平均分為4組,由已知編號(hào)可得所求的學(xué)生來自第三組,設(shè)其編號(hào)為,則,進(jìn)而求解即可【題目詳解】由系統(tǒng)抽樣可知,抽取一個(gè)容量為4的樣本時(shí),將48人分為4組,第一組編號(hào)為1號(hào)至12號(hào)；第二組編號(hào)為13號(hào)至24號(hào)；第三組編號(hào)為25號(hào)至36號(hào)；第四組編號(hào)為37號(hào)至48號(hào),故所求的學(xué)生來自第三組,設(shè)其編號(hào)為,則,所以,故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查系統(tǒng)抽樣的編號(hào),屬于基礎(chǔ)題9、C【解題分析】根據(jù)題意令可得，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式寫出，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，解方程即可.【題目詳解】因?yàn)?，令，得，又，，所以，有，解?故選：C10、B【解題分析】由已知條件及等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求基本量，再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)判斷取最大時(shí)的值.【題目詳解】令公差為，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：B11、A【解題分析】利用空間向量的三角形法則可得，結(jié)合平行六面體的性質(zhì)分析解答【題目詳解】平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，，，，則有：，所以.故選：A12、C【解題分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【題目詳解】因?yàn)椋裕瑒t曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，故所求切線的傾斜角為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解題分析】作出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，求解即可.【題目詳解】作出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，如下圖陰影部分，聯(lián)立，可得交點(diǎn)為，目標(biāo)函數(shù)可化為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，即.故答案為：0.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，分析可知四邊形為平行四邊形，可得出，設(shè)，可得出直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出的取值范圍，利用三角形的面積公式可求得的值，即可求得的值.【題目詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，如下圖所示：在雙曲線中，，，則，即點(diǎn)、，因?yàn)樵c(diǎn)為、的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，所以，且，因?yàn)椋?、、三點(diǎn)共線，所以，，故，由題意可知，，設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，所以，，可得，由韋達(dá)定理可得，，可得，，整理可得，即，解得或（舍），所以，，解得.故答案為：.15、【解題分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，可知二次項(xiàng)系數(shù)不為零、判別式大于零、兩根之和與兩根之積均大于零，據(jù)此構(gòu)造不等式組，解不等式組求得結(jié)果.詳解】將代入雙曲線方程整理可得：設(shè)直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，解得：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)直線與雙曲線位置關(guān)系求解參數(shù)范圍的問題，屬于基礎(chǔ)題.16、①.②.【解題分析】首先確定的正負(fù)，分別在和兩種情況下求得，代入即可求得；由可求得，分別在和兩種情況下結(jié)合一次函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性得到最小值，綜合可得最終結(jié)果.【題目詳解】令，解得：，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；；，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，當(dāng)時(shí)，；綜上所述：.故答案為：；.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查含絕對(duì)值的數(shù)列前項(xiàng)和的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠確定數(shù)列的變號(hào)項(xiàng)，從而以變號(hào)項(xiàng)為分類基準(zhǔn)進(jìn)行分類討論得到數(shù)列的前項(xiàng)和；求解數(shù)列中的最值問題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和來進(jìn)行求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)到面的距離公式即可算出答案；（2）先求出兩個(gè)面的法向量，然后用二面角公式即可.【小問1詳解】∵平面平面∴PB⊥AB,PB⊥BC,又兩兩互相垂直,所以，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，D(3,6,0),A(0,6,0)設(shè)平面的一個(gè)法向量所以n?PD令，可得記點(diǎn)到平面的距離為，則d=【小問2詳解】由(1)可知平面的一個(gè)法向量為平面的一個(gè)法向量為設(shè)二面角的平面角為由圖可知，18、（1）（2）.【解題分析】(1)由數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系即可完成.(2)由錯(cuò)位相減法即可解決此類“差比”數(shù)列的求和.【小問1詳解】由，得當(dāng)時(shí)，，上下兩式相減得，，又當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式；【小問2詳解】由（1）可知，所以，則，上下兩式相減得，所以.19、（1）（2）0【解題分析】（1）由條件得和，再結(jié)合可求解；（2）設(shè)直線AB的方程為：，與橢圓聯(lián)立，得到，同理得，再根據(jù)題中的條件化簡(jiǎn)整理可求解.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，所以①又因?yàn)檫^且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1，所以②，由①②可知，所以，，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P在直線上，所以設(shè)點(diǎn)，由題可知，直線AB的斜率與直線MN的斜率都存在所以直線AB的方程為：，即，直線MN的方程為：，即，設(shè)，，，，所以，消去y可得，，整理可得，且所以，，又因?yàn)?，，所以，同理可得，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，，都是長(zhǎng)度，所以，所以，整理可得，又因?yàn)?，所以，所以直線AB的斜率與直線MN的斜率之和為020、（1）或；（2）8【解題分析】（1）根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)公共點(diǎn)，則求解.（2）拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，再根據(jù)過拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式求解.【題目詳解】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，則，解得或，∴直線的方程為：或（2）拋物線的焦點(diǎn)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消去得，∴，∴【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，通過解方程組，即可求出答案.（2）法一：設(shè)，，；當(dāng)時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線PA的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；同理可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后即可求出直線EF的方程，從而證明直線EF過定點(diǎn).法二：首先根據(jù)時(shí)直線EF的方程為，可判斷出直線EF過的定點(diǎn)M必在y軸上，設(shè)為；然后同方法一，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，根據(jù)，即可求出的值.【小問1詳解】由題意，知，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】法一：設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，直線PA的方程為，由，得解得，所以．所以同理可得所以直線EF的斜率為，所以直線EF的方程為，整理得，所以直線EF過定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)在y軸上，EF的方程為，顯然過點(diǎn)綜上，直線EF過定點(diǎn)法二：當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，E，F(xiàn)分別與B，A重合，直線EF的方程為，若直線EF過定點(diǎn)M，則M必在y軸上，可設(shè)當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，設(shè)，，，則直線P