2024學(xué)年安徽省合肥市廬陽區(qū)第六中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析_第1頁
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2024學(xué)年安徽省合肥市廬陽區(qū)第六中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若命題為“,”,則為()A., B.,C., D.,2.已知隨圓與雙曲線相同的焦點(diǎn),則橢圓和雙曲線的離心,分別為()A. B.C. D.3.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,第九章“勾股”,講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用,直角三角形的兩直角邊與斜邊的長(zhǎng)分別稱“勾”“股”“弦”,且“”.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),直線交雙曲線左、右兩支于兩點(diǎn),若恰好是的“勾”“股”,則此雙曲線的離心率為()A. B.C.2 D.4.用1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字可寫出()個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)A.24 B.12C.81 D.645.已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則實(shí)數(shù)的值是A. B.C. D.6.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著,書中有如下問題:“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士,凡五人,共出百銭.欲令高爵出少,以次漸多,問各幾何?”意思是:“有大夫、不更、簪褭、上造、公士(大夫爵位最高,爵位依次從高變低)5個(gè)人共出100錢,按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列,問這5個(gè)人各出多少錢?”在這個(gè)問題中,若公士出28錢,則不更出的錢數(shù)為()A.14 B.20C.18 D.167.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,則=()A. B.C. D.8.已知某班有學(xué)生48人,為了解該班學(xué)生視力情況,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào),用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本已知3號(hào),15號(hào),39號(hào)學(xué)生在樣本中,則樣本中另外一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是()A.26 B.27C.28 D.299.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,公差,若(,),則()A.2024 B.2022C.2021 D.202010.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,當(dāng)取最大時(shí)的值為()A. B.C. D.11.如圖,在平行六面體中,M為與的交點(diǎn),若,,,則下列向量中與相等的向量是()A. B.C. D.12.設(shè),則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,滿足約束條件,則的最小值為______.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、,直線與的左、右支分別交于點(diǎn)、(、均在軸上方).若直線、的斜率均為,且四邊形的面積為,則__________.15.若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn),則的取值范圍__________16.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,記數(shù)列的前項(xiàng)和為,則__________,的最小值為__________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面ABCD為直角梯形,,平面ABCD,,.(1)求點(diǎn)B到平面PCD的距離;(2)求二面角的平面角的余弦值.18.(12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19.(12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,,離心率為,過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1(1)求橢圓C方程;(2)設(shè)點(diǎn)P在直線上,過點(diǎn)P的兩條直線分別交曲線C于A,B兩點(diǎn)和M,N兩點(diǎn),且,求直線AB的斜率與直線MN的斜率之和20.(12分)已知拋物線,過點(diǎn)作直線(1)若直線的斜率存在,且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),求直線的方程(2)若直線過拋物線的焦點(diǎn),且交拋物線于兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)21.(12分)已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),且離心率為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知點(diǎn)A,B是橢圓C的上,下頂點(diǎn),點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn),直線PA與橢圓C的另一交點(diǎn)為E,直線PB與橢圓C的另一交點(diǎn)為F.證明:直線EF過定點(diǎn)22.(10分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)求的值;(2)是否存在常數(shù),使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意,恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】特稱命題的否定是全稱命題,把存在改為任意,把結(jié)論否定.【題目詳解】“,”的否命題為“,”,故選:B2、B【解題分析】設(shè)公共焦點(diǎn)為,推導(dǎo)出,可得出,進(jìn)而可求得、的值.【題目詳解】設(shè)公共焦點(diǎn)為,則,則,即,故,即,,故選:B3、A【解題分析】根據(jù)雙曲線的定義及直角三角形斜邊的中線定理,再結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.【題目詳解】如圖所示由題意可知,根據(jù)雙曲線的定義知,是的中點(diǎn)且.在中,是的中點(diǎn),所以,因?yàn)橹本€的斜率為,所以,所以.所以是等邊三角形,.在中,.由雙曲線的定義,得,所以雙曲線的離心率為.故選:A.4、A【解題分析】由題意,從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來全排列即可.【題目詳解】由題意,從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來全排列,共可寫出個(gè)三位數(shù).故選:A5、C【解題分析】由方程表示雙曲線知,又雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,所以,即,所以故選C.考點(diǎn):雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).6、D【解題分析】根據(jù)題意,建立等差數(shù)列模型,結(jié)合等差數(shù)列公式求解即可.【題目詳解】解:根據(jù)題意,設(shè)每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列,公差為,前項(xiàng)和為,則由題可得,解得,所以不更出的錢數(shù)為.故選:D.7、D【解題分析】利用公式計(jì)算得到,得到答案【題目詳解】由已知得,即,而,所以故選:D8、B【解題分析】由系統(tǒng)抽樣可知抽取一個(gè)容量為4的樣本時(shí),將48人按順序平均分為4組,由已知編號(hào)可得所求的學(xué)生來自第三組,設(shè)其編號(hào)為,則,進(jìn)而求解即可【題目詳解】由系統(tǒng)抽樣可知,抽取一個(gè)容量為4的樣本時(shí),將48人分為4組,第一組編號(hào)為1號(hào)至12號(hào);第二組編號(hào)為13號(hào)至24號(hào);第三組編號(hào)為25號(hào)至36號(hào);第四組編號(hào)為37號(hào)至48號(hào),故所求的學(xué)生來自第三組,設(shè)其編號(hào)為,則,所以,故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查系統(tǒng)抽樣的編號(hào),屬于基礎(chǔ)題9、C【解題分析】根據(jù)題意令可得,結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式寫出,進(jìn)而得到關(guān)于的方程,解方程即可.【題目詳解】因?yàn)?,令,得,又,,所以,有,解?故選:C10、B【解題分析】由已知條件及等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求基本量,再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)判斷取最大時(shí)的值.【題目詳解】令公差為,則,解得,所以,當(dāng)時(shí),取最大值.故選:B11、A【解題分析】利用空間向量的三角形法則可得,結(jié)合平行六面體的性質(zhì)分析解答【題目詳解】平行六面體中,M為與的交點(diǎn),,,,則有:,所以.故選:A12、C【解題分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【題目詳解】因?yàn)椋裕瑒t曲線在點(diǎn)處的切線斜率為,故所求切線的傾斜角為.故選:C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、0【解題分析】作出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí),取得最小值,求解即可.【題目詳解】作出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域,如下圖陰影部分,聯(lián)立,可得交點(diǎn)為,目標(biāo)函數(shù)可化為,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí),取得最小值,即.故答案為:0.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),連接,分析可知四邊形為平行四邊形,可得出,設(shè),可得出直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、,將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,求出的取值范圍,利用三角形的面積公式可求得的值,即可求得的值.【題目詳解】解:設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),連接,如下圖所示:在雙曲線中,,,則,即點(diǎn)、,因?yàn)樵c(diǎn)為、的中點(diǎn),則四邊形為平行四邊形,所以,且,因?yàn)椋?、、三點(diǎn)共線,所以,,故,由題意可知,,設(shè),則直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、,聯(lián)立,可得,所以,,可得,由韋達(dá)定理可得,,可得,,整理可得,即,解得或(舍),所以,,解得.故答案為:.15、【解題分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程,可知二次項(xiàng)系數(shù)不為零、判別式大于零、兩根之和與兩根之積均大于零,據(jù)此構(gòu)造不等式組,解不等式組求得結(jié)果.詳解】將代入雙曲線方程整理可得:設(shè)直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn),解得:本題正確結(jié)果:【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)直線與雙曲線位置關(guān)系求解參數(shù)范圍的問題,屬于基礎(chǔ)題.16、①.②.【解題分析】首先確定的正負(fù),分別在和兩種情況下求得,代入即可求得;由可求得,分別在和兩種情況下結(jié)合一次函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性得到最小值,綜合可得最終結(jié)果.【題目詳解】令,解得:,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;;,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,,,當(dāng)時(shí),;綜上所述:.故答案為:;.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查含絕對(duì)值的數(shù)列前項(xiàng)和的求解問題,解題關(guān)鍵是能夠確定數(shù)列的變號(hào)項(xiàng),從而以變號(hào)項(xiàng)為分類基準(zhǔn)進(jìn)行分類討論得到數(shù)列的前項(xiàng)和;求解數(shù)列中的最值問題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和來進(jìn)行求解.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,用點(diǎn)到面的距離公式即可算出答案;(2)先求出兩個(gè)面的法向量,然后用二面角公式即可.【小問1詳解】∵平面平面∴PB⊥AB,PB⊥BC,又兩兩互相垂直,所以,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,D(3,6,0),A(0,6,0)設(shè)平面的一個(gè)法向量所以n?PD令,可得記點(diǎn)到平面的距離為,則d=【小問2詳解】由(1)可知平面的一個(gè)法向量為平面的一個(gè)法向量為設(shè)二面角的平面角為由圖可知,18、(1)(2).【解題分析】(1)由數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系即可完成.(2)由錯(cuò)位相減法即可解決此類“差比”數(shù)列的求和.【小問1詳解】由,得當(dāng)時(shí),,上下兩式相減得,,又當(dāng)時(shí),滿足上式,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式;【小問2詳解】由(1)可知,所以,則,上下兩式相減得,所以.19、(1)(2)0【解題分析】(1)由條件得和,再結(jié)合可求解;(2)設(shè)直線AB的方程為:,與橢圓聯(lián)立,得到,同理得,再根據(jù)題中的條件化簡(jiǎn)整理可求解.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為,所以,所以①又因?yàn)檫^且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1,所以②,由①②可知,所以,,所以橢圓C的方程為【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P在直線上,所以設(shè)點(diǎn),由題可知,直線AB的斜率與直線MN的斜率都存在所以直線AB的方程為:,即,直線MN的方程為:,即,設(shè),,,,所以,消去y可得,,整理可得,且所以,,又因?yàn)?,,所以,同理可得,又因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,,,都是長(zhǎng)度,所以,所以,整理可得,又因?yàn)?,所以,所以直線AB的斜率與直線MN的斜率之和為020、(1)或;(2)8【解題分析】(1)根據(jù)題意設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消去得,因?yàn)橹挥幸粋€(gè)公共點(diǎn),則求解.(2)拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消去得,再根據(jù)過拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式求解.【題目詳解】(1)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消去得,則,解得或,∴直線的方程為:或(2)拋物線的焦點(diǎn)為,則直線的方程為,設(shè),聯(lián)立,消去得,∴,∴【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.21、(1);(2)證明見解析.【解題分析】(1)根據(jù)題意,列出的方程組,通過解方程組,即可求出答案.(2)法一:設(shè),,;當(dāng)時(shí),根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線PA的方程,與橢圓方程聯(lián)立,可求出點(diǎn)的坐標(biāo);同理可求出點(diǎn)的坐標(biāo),然后即可求出直線EF的方程,從而證明直線EF過定點(diǎn).法二:首先根據(jù)時(shí)直線EF的方程為,可判斷出直線EF過的定點(diǎn)M必在y軸上,設(shè)為;然后同方法一,求出點(diǎn),的坐標(biāo),根據(jù),即可求出的值.【小問1詳解】由題意,知,解得,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】法一:設(shè),,,當(dāng)時(shí),直線PA的方程為,由,得解得,所以.所以同理可得所以直線EF的斜率為,所以直線EF的方程為,整理得,所以直線EF過定點(diǎn)當(dāng)時(shí),點(diǎn)E,F(xiàn)在y軸上,EF的方程為,顯然過點(diǎn)綜上,直線EF過定點(diǎn)法二:當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí),E,F(xiàn)分別與B,A重合,直線EF的方程為,若直線EF過定點(diǎn)M,則M必在y軸上,可設(shè)當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí),設(shè),,,則直線P

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