河南省各地2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

河南省各地2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.2．命題“若，都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是A.若是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)B.若是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)C.若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)D.若不是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)3．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.4．如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中①與平行；②與是異面直線；③與成60°角；④與是異面直線以上四個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④5．甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為（）A.0.26 B.0.28C.0.72 D.0.986．已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.7．球O為三棱錐的外接球，和都是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面PBC平面ABC，則球的表面積為（）A. B.C. D.8．已知直線與平行，則的值為（）A. B.C. D.9．已知F是雙曲線的右焦點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線交E于A，B兩點(diǎn)，若E的漸近線上恰好存在四個(gè)點(diǎn)，，，，使得，則E的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.10．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的概率是A. B.C. D.11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上第一象限的點(diǎn)，若，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.12．如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小張?jiān)贒處觀測(cè)，測(cè)得A，B分別在D處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛10海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（）海里.A. B.C. D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的弦AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線AB的斜率與直線OM的斜率之積等于_________14．設(shè)數(shù)列滿足，則an＝________15．已知直線與垂直，則m的值為______16．若平面法向量，直線的方向向量為，則與所成角的大小為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為18．（12分）籃天技校為了了解車床班學(xué)生的操作能力，設(shè)計(jì)了一個(gè)考查方案；每個(gè)考生從道備選題中一次性隨機(jī)抽取道題，按照題目要求獨(dú)立完成零件加工，規(guī)定：至少正確加工完成其中個(gè)零件方可通過．道備選題中，考生甲有個(gè)零件能正確加工完成，個(gè)零件不能完成；考生乙每個(gè)零件正確完成的概率都是，且每個(gè)零件正確加工完成與否互不影響（1）分別求甲、乙兩位考生正確加工完成零件數(shù)的概率分布列（列出分布列表）；（2）試從甲、乙兩位考生正確加工完成零件數(shù)的數(shù)學(xué)期望及兩人通過考查的概率分析比較兩位考生的操作能力19．（12分）已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）以橢圓的短軸為直徑作圓，若點(diǎn)M是第一象限內(nèi)圓周上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓的切線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，橢圓C的右焦點(diǎn)為，試判斷的周長(zhǎng)是否為定值．若是，求出該定值20．（12分）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和21．（12分）在①，；②，，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并解決問題問題：設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，________________，若，判斷是否存在最大值，若存在，求出取最大值時(shí)的值；若不存在，說明理由注：如果選擇多個(gè)條件分別解答．按第一個(gè)解答記分22．（10分）已知雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且它的一條漸近線方程為.（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】利用函數(shù)的奇偶性求出，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用點(diǎn)斜式即可求出結(jié)果【題目詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，若為奇函?shù)，則則，即，所以，所以函數(shù)，可得；所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即故選：C2、C【解題分析】命題的逆否命題是將條件和結(jié)論對(duì)換后分別否定，因此“若都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)考點(diǎn)：四種命題3、B【解題分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)除法與加法運(yùn)算求解得，再求共軛復(fù)數(shù)及其虛部.【題目詳解】解：，所以其共軛復(fù)數(shù)為，其虛部為故選：B4、C【解題分析】根據(jù)平面展開圖可得原正方體，根據(jù)各點(diǎn)的分布逐項(xiàng)判斷可得正確的選項(xiàng).【題目詳解】由平面展開圖可得原正方體如圖所示：由圖可得：為異面直線，與不是異面直線，是異面直線，故①②錯(cuò)誤，④正確.連接，則為等邊三角形，而，故或其補(bǔ)角為與所成的角，因?yàn)?，故與所成的角為，故③正確.綜上，正確命題的序號(hào)為：③④.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查正方體的平面展開圖，注意展開圖中的點(diǎn)與正方體中的頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，本題屬于容易題.5、A【解題分析】依據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率即可求得甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率.【題目詳解】記甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中兩種情況，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為故選：A6、A【解題分析】作出可行域，利用代數(shù)式的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合可求得的最大值.【題目詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立可得，即點(diǎn)，代數(shù)式的幾何意義是連接可行域內(nèi)一點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)在可行域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線的傾斜角為銳角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線的傾斜角最大，此時(shí)取最大值，即.故選：A.7、B【解題分析】取中點(diǎn)為T，以及的外心為，的外心為，依據(jù)平面平面可知為正方形，然后計(jì)算外接球半徑，最后根據(jù)球表面積公式計(jì)算.【題目詳解】設(shè)中點(diǎn)為T，的外心為，的外心為，如圖由和均為邊長(zhǎng)為的正三角形則和的外接圓半徑為，又因?yàn)槠矫鍼BC平面ABC，所以平面，可知且，過分別作平面、平面的垂線相交于點(diǎn)即為三棱錐的外接球的球心，且四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，所以外接球半徑，則球的表面積為，故選：B8、C【解題分析】由兩直線平行可得，即可求出答案.【題目詳解】直線與平行故選：C.9、D【解題分析】由題意以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則必有，又當(dāng)圓M經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)此時(shí)以AB為直徑的圓M上與雙曲線E的漸近線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，不滿足，從而得出答案.【題目詳解】由題意，由得，雙曲線的漸近線方程為所以，由，可知，，，在以AB為直徑的圓M上，圓的半徑為即以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個(gè)不同的交點(diǎn)當(dāng)圓M與漸近線相切時(shí)，圓心到漸近線的距離，則必有，即，則雙曲線E的離心率，所以又當(dāng)圓M經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，，解得E的離心率為，此時(shí)以AB為直徑圓M與雙曲線E的漸近線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，不滿足條件.所以E的離心率的取值范圍是.故選：D10、D【解題分析】若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，，故方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的概率是，故選D.11、C【解題分析】設(shè)點(diǎn)，其中，，根據(jù)拋物線的定義求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得直線的斜率，即可得解.【題目詳解】設(shè)點(diǎn)，其中，，則，可得，則，所以點(diǎn)，故，因此，直線的傾斜角為.故選：C.12、C【解題分析】分別在和中，求得的長(zhǎng)度，再在中，利用余弦定理，即可求解.【題目詳解】如圖所示，可得，所以，在中，可得，在直角中，因?yàn)椋?，在中，由余弦定理可得，所?故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據(jù)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求解.【題目詳解】設(shè)，且，則，（1），（2）得：，，.又，，.故答案為：14、【解題分析】先由題意得時(shí)，，再作差得，驗(yàn)證時(shí)也滿足【題目詳解】①當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，②①②得，當(dāng)也成立.即故答案為：15、0或-9##-9或0【解題分析】根據(jù)給定條件利用兩直線互相垂直的性質(zhì)列式計(jì)算即得.【題目詳解】因直線與垂直，則有，解得或，所以m的值為0或-9.故答案為：0或-916、##【解題分析】設(shè)直線與平面所成角為，則，直接利用直線與平面所成的角的向量計(jì)算公式，即可求出直線與平面所成的角【題目詳解】解：已知直線的方向向量為，平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，，，所以直線與平面所成角為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析;（2）.【解題分析】（1）由已知得，當(dāng)時(shí)，兩式作差整理得，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得證；（2）由（1）求得，，再運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得答案.【小問1詳解】證明：因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)……②，則①-②可得，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列【小問2詳解】解：由（1）知，即，因?yàn)樗?，則……①，①得……②，①-②得，所以.18、（1）分布列見解析（2）甲的試驗(yàn)操作能力較強(qiáng)，理由見解析【解題分析】（1）設(shè)考生甲、乙正確加工完成零件的個(gè)數(shù)分別為、，則的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，計(jì)算出兩個(gè)隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出這兩個(gè)隨機(jī)變量的概率分布列；（2）計(jì)算出、、、的值，比較、的大小，以及、的大小，由此可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)考生甲、乙正確加工完成零件的個(gè)數(shù)分別為、，則的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，，，，所以，考生甲正確加工完成零件數(shù)的概率分布列如下表所示：，，，，所以，考生乙正確加工完成零件數(shù)的概率分布列如下表所示：【小問2詳解】解：，，，，所以，，從做對(duì)題的數(shù)學(xué)期望分析，兩人水平相當(dāng)；從通過考查的概率分析，甲通過的可能性大，因此可以判斷甲的試驗(yàn)操作能力較強(qiáng).19、（1）（2）周長(zhǎng)是定值，且定值為4【解題分析】（1）首先求出直線與軸的交點(diǎn)，即可求出，再根據(jù)離心率求出，最后根據(jù)求出，即可得解；（2）：設(shè)直線的方程為、、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，即可表示出弦的長(zhǎng)，再根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，即可得到，再求出、，最后根據(jù)計(jì)算即可得解；【小問1詳解】解：因?yàn)榻?jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，令，則，所以橢圓的右焦點(diǎn)為，可得：，又，可得：，由，所以，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】解：設(shè)直線的方程為，由得：，所以，設(shè)，，則：，所以.因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即，所以，因?yàn)椋?，所以，同?所以，即的周長(zhǎng)是定值，且定值為420、（1）；（2）.【解題分析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”計(jì)算作答.(2)由(1)求出，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得解.【小問1詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是【小問2詳解】由(1)知，，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和21、答案不唯一，具體見解析【解題分析】選①：易得，法一：令求n，即可為何值時(shí)取最大值；法二：寫出，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)判斷為何值時(shí)有最大值；選②：由數(shù)列前n項(xiàng)和及等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)易得、即可確定有最大值時(shí)值；選③：由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式易得、即可確定有最大值時(shí)值；【題目詳解】選①：設(shè)數(shù)列的公差為，，，解得，即，法一：當(dāng)時(shí)，有，得，∴當(dāng)時(shí)，；，；時(shí)，，∴或時(shí)，取最大值法二：，對(duì)稱軸，∴或時(shí)，取最大值選②：由，得，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)有，即，由，得，∴，故，∴當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故時(shí)，取最大值