2022-2023學(xué)年吉林省長春實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

長春實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022—2023學(xué)年度下學(xué)期高一年級期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分審題人：高一數(shù)學(xué)組一、單選1.若復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的定義得共軛復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得解.【詳解】∵，∴，∴在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)為．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2.已知AD為的中線，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算可直接求得結(jié)果.【詳解】為中線，，即.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量線性運(yùn)算問題，屬于基礎(chǔ)題.3.已知在中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用余弦定理可解得，由此可知為直角三角形，所以.【詳解】由余弦定理可得，

解得，所以，所以為直角三角形，則在中，．故選：A.4.已知為單位向量，，向量的夾角為，則在上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量定義即可求得在上的投影向量.【詳解】在上的投影向量是故選：B5.某河流南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸，假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)B在A的正北方向，游船正好到達(dá)B處時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)船的實(shí)際速度為，則，由題意可得，即，代入計(jì)算即可求出答案．【詳解】解：設(shè)船的實(shí)際速度為，則，北岸的點(diǎn)在的正北方向，游船正好到達(dá)處，則，所以，即，解得，故選：D．6.為了得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A.向左平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位【答案】C【解析】【分析】由，再根據(jù)平移規(guī)則，得到答案．【詳解】由，所以為了得到函數(shù)的圖像，函數(shù)需要向右平移個(gè)單位，即，故選：C．7.已知，則下列描述中正確的是（）A.函數(shù)周期B.當(dāng)，函數(shù)最大值是C.直線不是該函數(shù)的一條對稱軸D.當(dāng)，函數(shù)沒有最小值【答案】B【解析】【分析】由三角恒等變換化簡函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對稱性判定選項(xiàng)即可.【詳解】，顯然周期,故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，(時(shí)取得)，故B正確；由B知，時(shí)函數(shù)取得最值，則是該函數(shù)的一條對稱軸，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有最小值，在時(shí)取得，故D錯(cuò)誤.故選：B.8.在中，角所對的邊分別為，且.若，則的最大值是（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理和已知求出，再利用正弦定理求得，在中，運(yùn)用余弦定理和的范圍可得答案.【詳解】由正弦定理、可得，因?yàn)?，所以，所以，為三角形的?nèi)角，，由正弦定理可得，其中為的外接圓半徑，，，在中，運(yùn)用余弦定理，可得，化簡，可得，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，.故選：C.二、多選9.下列說法錯(cuò)誤的有（）A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.平面外兩點(diǎn)A、B可確定一個(gè)平面與平面平行C.三個(gè)平面相交，交線平行D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長后必交與一點(diǎn)【答案】ABC【解析】【分析】利用平面的基本性質(zhì)判斷選項(xiàng)A；舉反例判斷選項(xiàng)BC；利用棱臺(tái)的定義判斷選項(xiàng)D即得解.【詳解】A.不在同一條直線上的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.平面外兩點(diǎn)A、B在平面的垂線上，則經(jīng)過A、B不能確定一個(gè)平面與平面平行，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.三個(gè)平面相交，交線不一定平行，如三棱錐的三個(gè)側(cè)面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長后必交與一點(diǎn)，所以該選項(xiàng)正確.故選：ABC10.下列命題為真命題的是（）A.若復(fù)數(shù)，則B.若i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，則C.若，則D.若，其中a，b為實(shí)數(shù)，a=1，b=-1【答案】AD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)A；通過計(jì)算判斷選項(xiàng)BD；舉反例判斷選項(xiàng)C即得解.【詳解】A.若復(fù)數(shù)，則,所以該選項(xiàng)正確；B.若i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，則，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.若，則不一定成立，如，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.若，其中a，b為實(shí)數(shù)，則.所以該選項(xiàng)正確.故選：AD11.在中，角所對的邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則為銳角三角形B.若為銳角三角形，則C.若，則為等腰三角形D.若，則是等腰三角形【答案】BD【解析】【分析】對于A，用余弦定理可以判定；對于B，利用正弦函數(shù)單調(diào)性及誘導(dǎo)公式即可判定；對于C，由正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角即可判定；對于D，利用正弦定理及兩角和的正弦公式即可判定.【詳解】對于A，由余弦定理可得，即，但無法判定A、C的范圍，故A錯(cuò)誤；對于B，若為銳角三角形，則有，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，故B正確；對于C，若，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得或，又，故或，所以C錯(cuò)誤；對于D，若，由正弦定理可得，結(jié)合兩角和的正弦公式得又，所以，故，所以D正確故選：BD12.已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，則以下說法正確的是（）A.B.若為偶函數(shù)，則C.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為D.若的一個(gè)對稱中心為，則【答案】BC【解析】【分析】求得的值判斷選項(xiàng)A；求得的值判斷選項(xiàng)B；求得的最大值判斷選項(xiàng)C；求得的值判斷選項(xiàng)D.【詳解】，由圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，可得周期，則.則.選項(xiàng)A：由可得選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若為偶函數(shù)，則，則或，又，則.判斷正確；選項(xiàng)C：由，可得，又，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解之得，則的最大值為.判斷正確；選項(xiàng)D：由的一個(gè)對稱中心為，可得，則，又，則.判斷錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題13.復(fù)數(shù)____.【答案】##【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法即可求得的化簡結(jié)果.【詳解】故答案為：14.如圖，已知的斜二測畫法的直觀圖是腰長為2的等腰直角，則的面積為________【答案】【解析】【分析】根據(jù)直觀圖畫出原圖，求出即得解.【詳解】根據(jù)直觀圖畫出原圖，如圖所示，,,所以.故答案為：15.已知正三棱錐側(cè)棱長為，底面邊長為6，則該正三棱錐外接球的表面積是________.【答案】【解析】【分析】正棱錐的外接球的球心在頂點(diǎn)向底面做投影所在的直線上，先求底面外接圓的半徑，再由勾股定理求錐的高，由勾股定理求出外接球的半徑，由球的表面積公式求出表面積.【詳解】解析：過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，記球心為.∵在正三棱錐中，底面邊長為6，側(cè)棱長為，∴，∴.∵球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑長，∴，.在中，，即，解得，∴外接球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查正三棱錐的外接球的表面積以及計(jì)算能力，屬于中檔題.16.已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_____________【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，，即，所以，即，又由，可得，解得，即，因?yàn)?，所以，即，令，解得，即函?shù)的遞減區(qū)間為.故答案為：.四、解答題17.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為.（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值；（2）若點(diǎn)在第三象限，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化簡，再利用為純虛數(shù)列方程組即可求解（2）依題意的實(shí)部和虛部均小于，解此不等式組即可求解【小問1詳解】由題意得，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得.【小問2詳解】復(fù)數(shù)在平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.如圖，在梯形中，為的中點(diǎn)，，，，．（1）求的值；（2）求與夾角的余弦值．【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）首先由已知條件得出為等邊三角形，，把和作為一組基向量，分別表示出和，直接計(jì)算即可．（2）把和作為一組基向量，表示出，結(jié)合（1），由代入計(jì)算即可．【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，，在中，由得，所以，所以，由，，則．【小問2詳解】由（1）得，，，又，，則，又，，所以．19.在中，已知，，．（1）求面積；（2）求內(nèi)切圓半徑．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由三角形面積計(jì)算公式，代入計(jì)算即可；（2）首先由余弦定理求出，再由等面積法即可求出內(nèi)切圓半徑．【小問1詳解】因?yàn)椋?，，所以．【小?詳解】由，解得，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，所以，故內(nèi)切圓半徑為．20.如圖，棱長為6的正方體，截去八個(gè)一樣的四面體，得到一個(gè)新的多面體，（1）求新多面體的體積；（2）新多面體的表面積是多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正方體的體積減去八個(gè)四面體的體積即可求解；（2）分別求出新多面體每個(gè)側(cè)面的面積，相加即可.【小問1詳解】由題意正方體的體積，截去的每個(gè)四面體的體積，所以新多面體的體積.【小問2詳解】由圖可知新多面體的側(cè)面由6個(gè)正方形和8個(gè)正三角形組成，正方形的邊長和正三角形的棱長均為，正三角形的高為，所以正方形面積，三角形面積，所以新多面體的表面積.21.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式及對稱中心坐標(biāo)：（2）先把的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最高點(diǎn)可求得的值，即可得的解析式，由正弦函數(shù)的對稱中心可得對稱中心；（2）由圖象的平移變換求得的解析式，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得的值域，令的取值為的值域，解不等式即可求解.【小問1詳解】由題意可得：，可得，所以，因?yàn)?，所以，可得，所以，由可得，因?yàn)椋?，，所?令可得，所以對稱中心為.【小問2詳解】由題意可得：，當(dāng)時(shí)，，，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則有