第三章冪級數(shù)展開

第三章冪級數(shù)展開1第一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四原級數(shù)成為這樣復(fù)級數(shù)歸結(jié)為兩個實級數(shù)，實級數(shù)的一些性質(zhì)可移用于復(fù)級數(shù)。二、收斂性問題1、收斂定義：部分和于有確定的極限，便稱級數(shù)收斂；極限不存在或，便稱級數(shù)發(fā)散。第二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四2、柯西收斂判據(jù)

（級數(shù)收斂的充分必要條件）：對于任給的小正數(shù)

，必有N存在，使得n>N時，式中p為任意正整數(shù)。3、絕對收斂級數(shù)若收斂，則絕對收斂。

a.絕對收斂級數(shù)改變先后次序，和不變；b.兩個絕對收斂級數(shù)逐項相乘，其和收斂，為兩級數(shù)和之積?！獮?N語言敘述的極限定義！第三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四第四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四三、函數(shù)項級數(shù)1、概念與收斂判據(jù)設(shè)是z平面上某區(qū)域B中的單值解析函數(shù)。如果函數(shù)項在B中（或某曲線l上）所有點上都收斂，則說級數(shù)在B中（或某曲線l上）收斂。第五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四柯西收斂判據(jù)（級數(shù)收斂的充分必要條件）：

對B內(nèi)每點z，任給小正數(shù)>0,必有N(,z)存在，使得當n>N(,z)時，式中p為任意正整數(shù)。N一般隨z不同而不同，但如果對任給小正數(shù)>0,存在與z無關(guān)的N(),

使得n>N()時，上式成立，便說在B內(nèi)一致收斂。

——為-N語言敘述的極限定義！第六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四2、一致收斂級數(shù)的性質(zhì)記級數(shù)和為（1）在B內(nèi)一致收斂的級數(shù)，如果級數(shù)的每一項都是B內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則級數(shù)的和也是B內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。（2）逐項求積分

在曲線l上一致收斂的級數(shù)，如果級數(shù)的每一項都是l上的連續(xù)函數(shù)，則級數(shù)的和也是l上的連續(xù)函數(shù)，而且級數(shù)可沿l逐項求積分。第七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四（3）逐項求導(dǎo)數(shù)（外氏－Weierstrass定理）

設(shè)級數(shù)在中一致收斂，在中單值解析，則級數(shù)的和也是中的單值解析函數(shù)，的各階導(dǎo)數(shù)可由逐項求導(dǎo)數(shù)得到，即：且最后的級數(shù)在內(nèi)的任意一個區(qū)域中一致收斂。第八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四3、級數(shù)一致收斂的外氏（Weierstrass）判別法，或優(yōu)級數(shù)判別法，或M判別法

若對于某區(qū)域B(或曲線l)上所有各點z,函數(shù)項級數(shù)各項的模（是與z無關(guān)的正數(shù))，而正的常數(shù)項級數(shù)收斂，則在區(qū)域B(或曲線l)上絕對且一致收斂。第九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四§3.2冪級數(shù)一、定義其中為復(fù)常數(shù)。這樣的級數(shù)叫作以z0為中心的冪級數(shù)。二、冪級數(shù)斂散性

1、比值判別法（達朗貝爾判別法）第十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四按比值判別法（達朗貝爾判別法）若則（3.2.2）收斂，而（3.2.1）絕對收斂。引入記號則即：若，則（3.2.1)絕對收斂。第十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四另一方面，若則級數(shù)發(fā)散即：收斂發(fā)散R：收斂半徑CR:

收斂圓收斂發(fā)散RCRz0第十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四 2、根式判別法：若（3.2.2）收斂，（3.2.1）絕對收斂級數(shù)發(fā)散(收斂半徑的另一公式)R：收斂半徑CR:

收斂圓收斂發(fā)散RCRz0第十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四3、收斂圓內(nèi)冪級數(shù)絕對且一致收斂作

在

有對

應(yīng)用比值判別法

有

冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對且一致收斂！R：收斂半徑CR:

收斂圓收斂發(fā)散RCRz0CR1R1第十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四三、例題例1求的收斂圓。t為復(fù)數(shù)若則解：第十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四例2求的收斂圓。z為復(fù)數(shù).解：R：收斂半徑CR:

收斂圓收斂發(fā)散RCRz0CR1R1第十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四四、冪級數(shù)所代表的函數(shù)的解析性質(zhì)1、冪級數(shù)每一項均是z的解析函數(shù)，而且在收斂圓內(nèi)任一閉區(qū)域中一致收斂，據(jù)外氏定理，這級數(shù)的和w(z)是收斂圓內(nèi)的一個解析函數(shù)2、冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項積分3、冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項求導(dǎo)第十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四4、冪級數(shù)的回路積分表示第十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四§3.3解析函數(shù)的泰勒（Taylor）級數(shù)展開：

定理：設(shè)

f(z)在以z0

為圓心的圓CR

內(nèi)解析，則對圓內(nèi)的任意z點,f(z)可展為冪級數(shù)，

其中展開系數(shù)為為圓CR內(nèi)包含z且與CR同心的圓。第十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四Itwasin1715thatTaylorpublished(withnoconsiderationofconvergence)hiswell-knownexpansiontheorem.In1717,Taylorappliedhisseriestothesolutionofnumericalequations.RecognitionofthefullimportanceofTaylor'sseriesawaiteduntil1755,whenEulerappliedtheminhisdifferentialcalculus,andstilllater,whenLagrangeusedtheserieswitharemainderasthefoundationofhistheoryoffunctions.TaylorwaseducatedatSt.John'sCollegeofCambridgeUniversityandearlyshowedgreatpromiseinmathematics.HewasadmittedtotheRoyalSocietyandbecameitssecretary,onlytoresignattheageofthirty-foursothathemightdenotehistimetowriting.BrookTaylor(Englishman,1685-1731)第二十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四證明:作展開由柯西公式（3.3.1）其中第二十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四將（3.3.3）代入（3.3.1）逐項積分即是以z0為中心的泰勒級數(shù)，展開是唯一的。（3.3.3）第二十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四例1、求ez在鄰域的Taylor展開。 解：因為 故收斂半徑第二十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四例2、求ez在z0=1鄰域的Taylor展開。解：因為故收斂半徑第二十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四例3、求和在z=0鄰域的Taylor展開。 解：

故第二十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四收斂半徑類似收斂半徑第二十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四例4、求1/(1-z)2在z=0鄰域的Taylor展開。 解：因為

而所以第二十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四 收斂半徑，級數(shù)在|z|<1時收斂！

一般而言,收斂半徑為展開中心至最近奇點之距離。此例收斂半徑R=1。事實上，該函數(shù)的奇點為z=1,等于z=0與z=1兩點間的距離。第二十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四二、多值函數(shù)的Taylor展開多值函數(shù)在確定了單值分支后，可象單值函數(shù)那樣在各單值分支上作泰勒展開。例5、在展開

第二十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四收斂半徑R=1。n=0的那一支為主值分支。?1oyx第三十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四例6、求在鄰域的Taylor展開（m不是整數(shù)）。 解：第三十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四從而m不是整數(shù)!此為非整數(shù)二項式定理第三十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四收斂半徑R=1。式中n=0為主值分支。三、無窮遠點鄰域內(nèi)的泰勒展開若存在R,使f(z)在以z=0為圓心，R為半徑的圓外（包括）解析，作變換有第三十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四§3.4解析延拓

解析延拓是解析函數(shù)理論中的一個重要概念第三十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四一、解析延拓的定義：

設(shè)已知一個函數(shù)f1(z)在區(qū)域B1中解析。如果在與B1有重疊部分b(可以是一條線)的另一區(qū)域B2內(nèi)存在一個解析函數(shù)f2(z),在b中稱f2(z)為f1(z)在B2中的解析延拓；反過來，f1(z)也是f2(z)在B1中的解析延拓。B2B1bf1(z)f2(z)第三十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四通常在兩類問題中用到解析延拓:(1)已知在某區(qū)域中有定義的解析函數(shù)，例如用級數(shù)、積分或者其他表達式來表達的函數(shù)，用解析延拓的方法擴大其定義域和解析范圍。

ex,sinx,cosx

ez,sinz,cosz(2)已知數(shù)學(xué)問題的解是某區(qū)域B內(nèi)(除了個別奇點外)的解析函數(shù)。但求解的方法只能給出在B的某一子區(qū)域B’內(nèi)才有效的函數(shù)表達式，利用解析延拓的方法，可以從這個表達式推算出解在B的其他子區(qū)域中的表達式。第三十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四二、延拓方法：原則上講，可通過泰勒展開進行。例：xy?i/2C1C2第三十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四

在上面的例子中，我們用函數(shù)的冪級數(shù)表達式作解析延拓．照那樣做下去，將得到有不同收斂圓的許多冪級數(shù)，這些冪級數(shù)的全體代表一個解析函數(shù)F(z)．每一個冪級數(shù)—常稱為F(z)的一個元素，在它自己的收斂圓內(nèi)代表F(z)的泰勒展開。

解析延拓是唯一的解析延拓唯一性的證明（略）第三十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四§3.5解析函數(shù)的洛朗（Laurent）展開

一、雙邊冪級數(shù)正冪部分有收斂半徑引入新變量負冪部分成為有收斂半徑，其在內(nèi)部收斂，即在的外部收斂。若級數(shù)第三十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四正冪部分收斂域負冪部分收斂域(白色)收斂環(huán)R2R1第四十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四在內(nèi)絕對且一致收斂。稱為級數(shù)的收斂環(huán)。若級數(shù)發(fā)散。二、洛朗展開定理

設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域 的內(nèi)部單值解析，則對環(huán)域上任一點z,f(z)可展為冪級數(shù)其中

路徑C

是位于環(huán)域內(nèi)按逆時針方向繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。第四十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四證：作z0R2R1CR1C’R1CR2C’R2zC證明請見本章ppt21頁4線構(gòu)成復(fù)聯(lián)通區(qū)域第四十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四z0R2R1CR1C’R1CR2C’R2zC第四十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四代入積分

第二和式換求和指標后成為換向改號第四十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四從而

其中C

是環(huán)區(qū)域內(nèi)按逆時針方向繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。函數(shù)在R1、R2圍成的閉區(qū)域內(nèi)解析，R1R2間同向積分環(huán)路半徑可以任意變化！第四十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四

1、正冪部分

稱為Laurent級數(shù)的解析部分，在

圓內(nèi)絕對且一致收斂；

2、負冪部分

稱為Laurent

級數(shù)的主要部分，在

圓外絕對且一致收斂； Laurent級數(shù)展開也是唯一的。因此可用各種方法求一個函數(shù)的級數(shù)展開。第四十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四

關(guān)于Laurent級數(shù)展開的注意點：1、盡管上式中含有(z-z0)的負冪次項，而這些項在z=z0點是奇異的，但z0點可以是，也可以不是函數(shù)f(z)的奇點；2、盡管求展開系數(shù)ak的公式與Taylor展

開系數(shù)的積分公式形式一樣，但

不論z0

是否f(z)的奇點。若z0為f(z)的奇點，則f(k)(z0)根本不存在；若z0不是f(z)的奇點，則f(k)(z0)存在，但ak還是不等于f(k)(z0)/k!區(qū)域上有f(z)的奇點（zz0),第四十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四因為成立的條件是在以C為邊界的區(qū)域上f(z)解析，而現(xiàn)在區(qū)域上有f(z)的奇點（若無奇點就無需考慮Laurent展開了）3、如果只有環(huán)心z0是f(z)的奇點，則內(nèi)圓半徑可以無限小，z可以無限接近z0,這時稱（3.5.3）為f(z)在它的孤立奇點z0鄰域上的Laurent展開式?？捎靡匝芯亢瘮?shù)在其孤立奇點附近的性質(zhì)。第四十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四PierreAlphonseLaurentBorn:18July1813inParis,FranceDied:2Sept1854inParis,France

PierreLaurentwasintheengineeringcorpsandspentsixyearsdirectingoperationsfortheenlargementoftheportofLeHavre.HesubmittedaworkfortheGrandPrizeof1842,unfortunatelyafterthefinaldateforsubmission.Cauchyreportedonhiswork,whichgivestheLaurentseriesforacomplexfunction,sayingthatitshouldbeapprovedbutitwasnot.AfterLaurent’sdeathhiswidowarrangedfortwomoreofhismemoirstobepresentedtotheAcademy.Onewasneverpublished,thesecondappearedin1863.第四十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四例1、在的鄰域?qū)?sinz)/z展開重新定義第五十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四例2、在的環(huán)域上將展開解：z=0并非f(z)奇點第五十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四例3、在的鄰域?qū)⒄归_解：其中于是第五十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四第五十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四例4、在的鄰域?qū)⒄归_解：第五十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四

例5：在求函數(shù)的Laurent展開。 解：利用指數(shù)函數(shù)的展開公式因此：

第五十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四第五十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四Jm(x):Besselfunction第五十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四例p60,§3.4(12)ctanz

在z=0鄰域的展開式？第五十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四第五十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四第六十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四第六十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四FriedrichWilhelmBessel[b.Minden,Prussia(Germany),July22,1784,d.K?nigsberg,Prussia(Kaliningrad,Russia),May17,1845]MathematiciansandphysicistsoftenuseBesselfunctions,developedbyBesseltoanalyzethemotionsofplanetsandstars.In1838Besselwasthefirsttomeasurethedistancetoastar[61Cygni(天鵝座)]usingparallax(視差)andaspecialinstrumentheinventedknownastheheliometer(太陽尺).WiththeheliometerBesselalsodiscoveredthatSirius（天狼星）hasanunseencompanionthatcausesitspositiontoshiftslightlyasthecompanionorbitsthelargerstar.第六十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四§3.6孤立奇點的分類在不同類型的奇點附近，函數(shù)具有不同的性質(zhì)

一、孤立奇點的定義:

若函數(shù)f(z)在某點z0不可導(dǎo)。而在z0的任意小鄰域內(nèi)除z0外處處可導(dǎo)，便稱z0為f(z)的孤立奇點。若在z0點的無論多么小的鄰域內(nèi)，總可以找到除z0以外的不可導(dǎo)的點，便稱z0為f(z)的非孤立奇點。例1:z=0是函數(shù)的孤立奇點，因為在以z=0為圓心，R<1的圓內(nèi)，除z=0外，無其他不可導(dǎo)點。第六十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四例2:z=0是函數(shù)1/sin(1/z)的非孤立奇點， 因為該函數(shù)的奇點為

zn=1/n,n=0,±1,±2...,函數(shù)的實部只要n足夠大，1/n可以任意接近于z=0,即在z=0的無論多么小的鄰域內(nèi)，總可以找到函數(shù)的其它奇點。第六十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四二、孤立奇點的分類:

設(shè)z0是單值函數(shù)f(z)的孤立奇點，則在以

z0

為圓心的一個環(huán)狀鄰域

0<|z-z0|<

內(nèi),可以展開成Laurent級數(shù)：正冪部分：解析部分，負冪部分：主要部分1、若展式不含負冪項：z0為f(z)的可去奇點2、若展式含有限個負冪項：z0為f(z)的極點3、若展式含無限個負冪項：z0為f(z)的本性奇點三、函數(shù)在孤立奇點鄰域的性質(zhì)1、可去奇點第六十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四有定義則為Taylor展開。f(z)在奇點z0的去心鄰域內(nèi)的Laurent級數(shù)無負冪項。2、極點如z0是f(z)的極點第六十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四有m：極點的階，一階極點稱單極點f(z)在奇點z0的去心鄰域內(nèi)f(z)=g(z)/(z-z0)m,g(z)解析，g(z0)0

3、本性奇點有與的方式有關(guān)，或稱無極限。與不存在極限的區(qū)別第六十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四例：z=0是函數(shù)e1/z

的本性奇點，在０<z<的環(huán)域內(nèi)，它的Laurent級數(shù)為當(1)z沿正實軸0時，1/z,故e1/z；(2)z沿負實軸0時，1/z－,故e1/z０；(3)z沿虛軸，按zi/(2n)0時，e1/z=e1/(i/2n)=e-i2n

1； 第六十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四

(4)z按序列第六十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四 由函數(shù)的圖形,可以清楚看出:z

沿不同方向

0時,函數(shù)的形態(tài)。u(x,y)=Re(e1/z)第七十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四v(x,y)=Im(e1/z)第七十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期四四、無窮遠點1、無窮遠點為孤立奇點的定義設(shè)無窮遠點是函數(shù)f(z)的奇點。以z=0為圓心，R為半徑作一圓CR，只要R足夠大,而在圓外除無窮遠點外f(z)別無奇點，則無窮遠點為f(z)的一個孤立奇點。此時f(z)在無窮遠點鄰域內(nèi)的洛朗展開也就是在中的洛朗展開(如果f(z)在