第三章矩陣的特征值與特征向量

第三章矩陣的特征值與特征向量第一頁，共十五頁，編輯于2023年，星期四歷史點滴1743年，法國數(shù)學家達朗貝爾（1717-1783）在研究常系數(shù)線性微分組的解的問題時提出“特征值”的概念1820’初，法國數(shù)學家柯西首先用“特征值”的方法對實二次型進行研究，后據(jù)此提出了實對稱矩陣的“標準形理論”1878年，法國數(shù)學家弗羅貝尼烏斯（1849-1917）首先定義了矩陣的“相似”與“合同”的概念并證明了它們的一些主要性質(zhì)第二頁，共十五頁，編輯于2023年，星期四一.特征值與特征向量的概念與計算(一)概念與計算設A是n階矩陣,若對于數(shù)λ0,存在非零的n維列向量α,使得Aα=λ0α,則稱λ0是A的一個特征值,并稱α是A的屬于特征值λ0的一個特征向量稱行列式|λE-A|為A的特征多項式,且|λE-A|=λ?-Tr(A)λ?ˉ1+…+(-1)?|A||λE-A|=0

稱為A的特征方程,其根為A的特征值(λ0E-A)X=0

稱為A的特征方程組,其非零解為A的屬于特征值λ0的特征向量第三頁，共十五頁，編輯于2023年，星期四(二)特征值與特征向量的性質(zhì)設A是n階矩陣,則A與A有相同的特征值n階矩陣A可逆的充分必要條件是A的每個特征值均不為零若λ是可逆矩陣A的特征值,則λ是A的特征值n階矩陣A的屬于不同特征值的特征向量必線性無關n階矩陣A的所有特征值的和為Tr(A),且其所有特征值的積為|A|第四頁，共十五頁，編輯于2023年，星期四二.相似矩陣與可對角化矩陣定義(相似矩陣)性質(zhì):(1)矩陣的相似關系具有反身性﹑對稱性和傳遞性(2)相似矩陣有相同的特征多項式(特征值)、行列式、可逆性(3)相似矩陣的任意矩陣多項式也相似(4)n階矩陣A相似于n階對角矩陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量第五頁，共十五頁，編輯于2023年，星期四二.相似矩陣與可對角化矩陣(5)設λi是A的一個ni重特征值,則A的屬于λi的線性無關特征向量的個數(shù)≤ni,i=1,2,…,s.(6)n階矩陣A相似于n階對角矩陣的充分必要條件是對于A的每個ni重特征值λi,特征矩陣(λiE-A)的秩為n-ni,i=1,2,…,s.第六頁，共十五頁，編輯于2023年，星期四若爾當標準形任一階矩陣A都與一個若爾當矩陣JA相似,其中

JA的主對角線元素恰好是A的全部特征值,且JA是由s個ni階若爾當塊Jλi構成的準對角矩陣,

n=.若爾當塊（矩陣）Jλi=

ni若爾當（C.Jordan,1838-1921）n階矩陣A可對角化的充要條件是A的最小多項式?jīng)]有重根.第七頁，共十五頁，編輯于2023年，星期四三.實對稱矩陣的特征值性質(zhì)：(1)實對稱矩陣的特征多項式的根都是實數(shù)(2)實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量彼此正交(3)設A為n階實對稱矩陣，則存在n階正交矩陣Q,使得

QAQ=QAQ為實對角矩陣正交矩陣Q的求法：(1)求出A的n個線性無關的特征向量α1,α2,…,αn

(2)用施密特正交化方法將α1,α2,…,αn化為正交向量組后再單位(標準)化為β1,β2,…,βn,則Q=(β1,β2,…,βn)即為所求.第八頁，共十五頁，編輯于2023年，星期四*四.矩陣級數(shù)矩陣序列和矩陣級數(shù)的收斂性--與常數(shù)(函數(shù))序列和常數(shù)(函數(shù))級數(shù)的收斂定義類似矩陣冪級數(shù)的收斂性(1)設A是n階矩陣,則A→0(k→∞)的充分必要條件是A的任一特征值的模都小于1(2)設A是n階矩陣,則矩陣冪級數(shù)

A=E+A+A2+…+A+…

收斂的充分必要條件是A→0(k→∞)第九頁，共十五頁，編輯于2023年，星期四五.特征值與特征向量的應用污染與工業(yè)發(fā)展的工業(yè)增長模型萊斯利(Leslie)種群模型投入產(chǎn)出數(shù)學模型——非負矩陣---完全消耗系數(shù)---價值型投入產(chǎn)出數(shù)學模型---實物型投入產(chǎn)出數(shù)學模型非負矩陣:設A=(aij)n×n,如果|aij|<1,或者

|aij|<1,則A的所有特征值的模均小于1價值型直接消耗系數(shù)矩陣A與對應的實物型直接消耗系數(shù)矩陣A?相似第十頁，共十五頁，編輯于2023年，星期四第十一頁，共十五頁，編輯于2023年，星期四可逆矩陣的特征性質(zhì)

n階矩陣A為可逆矩陣的充分必要條件是

(1)存在n階矩陣B,使得

AB=E.或者(2)存在n階矩陣C,使得

CA=E.或者(3)|A|0.或者(3’)A的轉(zhuǎn)置矩陣A為可逆矩陣.或(4)|A*|0.或者(4’)A的伴隨矩陣A*為可逆矩陣.或(5)秩(A)=n.或者(7’)A等價于n階單位矩陣.或(6)A可經(jīng)有限次行(列)初等變換化為n階單位矩陣.或(7)A可表示為有限個初等矩陣的乘積.或者(8)A的行(列)向量組線性無關.或者(9)對任意的n維列向量β,n元線性方程組AX=β都有唯一解.或者(10)對任意的n×t矩陣B,線性矩陣方程AX=B都有唯一解.或者

第十二頁，共十五頁，編輯于2023年，星期四

(11)n元齊次線性方程組AX=0只有零解.或(12)線性矩陣方程AX=0只有零解.或者(13)A的特征多項式的根均不為0.或者(14)A的特征多項式的常數(shù)項不為0.或者(15)A的最小多項式的常數(shù)項不為0.或者(16)A相似于可逆的上(下)三角矩陣.或者

第十三頁，共十五頁，編輯于2023年，星期四范例講解設n階矩陣A、B滿足條件r(A)+r(B)<n,證明:A與B有公共的特征值和公共的特征向量.證明:若λ≠0是m階矩陣Am×nBn×m

的特征值,則λ也是n階矩陣

Bn×mAm×n的特征值.證明:若A是n階正交矩陣,且|A|=-1

,則-1是A的一個特征值.設A,B均為n階矩陣,則AB與BA有相同的特征多項式,但AB與BA未必相似.設n階矩陣A滿足條件A2-4A+3E=0,證明:A的特征值只能是1或是3.第十四頁，共十五頁，編輯于2