第三章靜電場分析ppt

第三章靜電場分析ppt第一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四噴墨打印機工作原理選礦器硫酸鹽礦石英含石英硫酸鹽礦靜態(tài)場的工程應(yīng)用第二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四均勻電場中帶電粒子的軌跡陰極射線示波器原理第三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四磁分離器回旋加速器第四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四磁懸浮列車第五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四磁錄音原理：第六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四

3.1靜電場分析3.1.1靜電場的基本方程

靜電場是一個無旋、有源場，靜止電荷就是靜電場的源。這兩個重要特性用簡潔的數(shù)學形式為：解：根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質(zhì),

例3.1已知試判斷它能否表示個靜電場？對應(yīng)靜電場的基本方程

，矢量

A可以表示一個靜電場。能否根據(jù)矢量場的散度來判斷該矢量場是否是靜電場?第七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3.1.2電位函數(shù)

在靜電場中可通過求解電位函數(shù)(Potential)，再利用上式可方便地求得電場強度E。式中負號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。2)

已知電荷分布，求電位：點電荷群連續(xù)分布電荷1)電位的引出以點電荷為例推導電位：根據(jù)矢量恒等式第八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3)泊松方程與拉普拉斯方程推導微分方程的基本出發(fā)點是靜電場的基本方程：泊松方程泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質(zhì)。例27列出求解區(qū)域的微分方程拉普拉斯方程——拉普拉斯算子三個不同媒質(zhì)區(qū)域的靜電場第九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四4)E與的微分關(guān)系

在靜電場中，任意一點的電場強度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標系中：？()？()5)

E與的積分關(guān)系設(shè)P0為參考點根據(jù)

E與的微分關(guān)系，試問靜電場中的某一點圖1E與的積分關(guān)系第十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四6)

電位參考點的選擇原則

場中任意兩點的電位差與參考點無關(guān)。同一個物理問題，只能選取一個參考點。

選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單，且要有意義。例如：點電荷產(chǎn)生的電場：表達式無意義

電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠處為參考點；

電荷分布在無窮遠區(qū)時，選擇有限遠處為參考點。第十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四以分界面上點P作為觀察點，作一小扁圓柱高斯面（）。2、電場強度E的銜接條件以點P作為觀察點，作一小矩形回路（）。3.1.3分界面上的銜接條件1、電位移矢量D的銜接條件分界面兩側(cè)

E的切向分量連續(xù)。分界面兩側(cè)的

D的法向分量不連續(xù)。當時，D的法向分量連續(xù)。圖3在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用環(huán)路定律則有根據(jù)根據(jù)則有圖2在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用高斯定律第十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四表明：（1）導體表面是一等位面，電力線與導體表面垂直，電場僅有法向分量；（2）導體表面上任一點的D就等于該點的自由電荷密度。當分界面為導體與電介質(zhì)的交界面時，分界面上的銜接條件為：圖4導體與電介質(zhì)分界面在交界面上不存在時，E、D滿足折射定律。折射定律圖5分界面上E線的折射第十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四因此表明:在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。3、用電位函數(shù)表示分界面上的銜接條件設(shè)點1與點2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d，,則表明:一般情況下,電位的導數(shù)是不連續(xù)的。圖6電位的銜接條件對于導體與理想介質(zhì)分界面，用電位表示的銜接條件應(yīng)是如何呢？第十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四解：忽略邊緣效應(yīng)圖（a）圖（b）例1如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知和,圖(a)已知極板間電壓U0

,圖(b)已知極板上總電荷,試分別求其中的電場強度。（a）（b）圖7平行板電容器

第十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3.1.4電容及部分電容電容只與兩導體的幾何形狀、尺寸、相互位置及導體周圍的介質(zhì)有關(guān)。電容的計算思路：

工程上的實際電容：電力電容器，電子線路用的各種小電容器。1.電容定義：單位：

例2試求球形電容器的電容。解：設(shè)內(nèi)導體的電荷為,則同心導體間的電壓球形電容器的電容當時（孤立導體球的電容）圖8球形電容器第十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四2多導體系統(tǒng)、部分電容1)已知導體的電荷，求電位和電位系數(shù)中的其余帶電體，與外界無任何聯(lián)系，即

?

靜電獨立系統(tǒng)——D線從這個系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng)?

線性、多導體(三個以上導體)組成的系統(tǒng)；?

部分電容概念以接地導體為電位參考點,導體的電位與各導體上的電荷的關(guān)系為圖9三導體靜電獨立系統(tǒng)第十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四以此類推（n+1)個多導體系統(tǒng)只有n個電位線性獨立方程，即電位系數(shù)，表明各導體電荷對各導體電位的貢獻；——

自有電位系數(shù)，表明導體上電荷對導體電位的貢獻；——互有電位系數(shù)，表明導體上的電荷對導體電位的貢獻；——寫成矩陣形式為（非獨立方程）注：

的值可以通過給定各導體電荷,計算各導體的電位而得。第十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四2)已知帶電導體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù)——靜電感應(yīng)系數(shù)，表示導體電位對導體電荷的貢獻；——自有感應(yīng)系數(shù)，表示導體電位對導體電荷的貢獻；——互有感應(yīng)系數(shù)，表示導體電位對導體電荷的貢獻。

通常，的值可以通過給定各導體的電位，測量各導體的電荷而得。第十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四

3)已知帶電導體間的電壓，求電荷和部分電容（矩陣形式）式中：C——部分電容，它表明各導體間電壓對各導體電荷的貢獻；（互有部分電容）；（自有部分電容）。部分電容性質(zhì):?

所有部分電容都是正值，且僅與導體的形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的值有關(guān)；?互有部分電容，即為對稱陣；?

(n+1)個導體靜電獨立系統(tǒng)中，共應(yīng)有個部分電容；?

部分電容是否為零,取決于兩導體之間有否電力線相連。第二十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四

例3試計算考慮大地影響時，二線傳輸線的各部分電容及二線輸電線的等效電容。已知如圖示：解:部分電容個數(shù),如圖(b)。由對稱性得線電荷與電位的關(guān)系為圖10兩線輸電線及其電容網(wǎng)絡(luò)靜電網(wǎng)絡(luò)與等效電容第二十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四

令則利用鏡像法，輸電線兩導體的電位圖11兩線輸電線對大地的鏡像第二十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四聯(lián)立解之得二線間的等效電容：圖12兩線輸電線及其電容網(wǎng)絡(luò)

美國有一腿斷的殘廢軍人，用電子儀器駕駛汽車，有一次，路過高壓輸電線時，突然翻車了，為什么？第二十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3.1.5靜電能量與力

(1)帶電體系統(tǒng)中的靜電能量

靜電能量是在電場的建立過程中，由外力作功轉(zhuǎn)化而來的。1)連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電能量假設(shè)：?電荷系統(tǒng)中的介質(zhì)是線性的；1靜電能量?電場的建立與充電過程無關(guān),導體上電荷與電位的最終值為、,在充電過程中，與的增長比例為

m，。?建立電場過程緩慢（忽略動能與能量輻射）。第二十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四這個功轉(zhuǎn)化為靜電能量儲存在電場中。體電荷系統(tǒng)的靜電能量

t

時刻，場中P點的電位為若將電荷增量從無窮遠處移至該點，外力作功t時刻電荷增量為即電位為

第二十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四?式中是元電荷所在處的電位，積分對源進行。?點電荷的自有能為無窮大。自有能互有能

自有能是將許多元電荷“壓緊”構(gòu)成q所需作的功?；ビ心苁怯捎诙鄠€帶電體之間的相互作用引起的能量。自有能與互有能的概念?

?是所有導體（含K號導體）表面上的電荷在K號導體產(chǎn)生的電位。第二十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四(2)靜電能量的分布及能量密度V——擴大到無限空間，S——所有帶電體表面。將式(2)代入式(1),得應(yīng)用散度定理得矢量恒等式（焦耳）靜電能量圖13推導能量密度用圖能量密度：凡是靜電場不為零的空間都儲存著靜電能量。結(jié)論第二十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四例4試求真空中體電荷密度為，半徑為的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。有限，應(yīng)用高斯定理，得解法一由微分方程法得電位函數(shù)為解法二第二十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四

例5一個原子可以看成是由帶正電荷的原子核和被總電量等于

且均勻分布于球形體積內(nèi)的負電荷云包圍，如圖所示。試求原子結(jié)合能。解：表示將正負電荷從無窮遠處移來置于原子中位置時外力必須做的功。圖14原子結(jié)構(gòu)模型：正電荷從無窮遠處移至此處不需要電場力作功,故原子結(jié)合能未包括原子核正電荷本身的固有能量。注意第二十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四2靜電力2)虛位移法(VirtualDisplacementMethod)虛位移法是基于虛功原理計算靜電力的方法。

廣義坐標：距離、面積、體積、角度。廣義力：企圖改變某一個廣義坐標的力。廣義力的正方向為廣義坐標增加的方向。二者關(guān)系：廣義坐標距離面積體積角度廣義力機械力表面張力壓強轉(zhuǎn)矩（單位）（N）（N/m）（N/m2）N?m廣義力×廣義坐標=功1)由電場強度E的定義求靜電力，即第三十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四常電荷系統(tǒng)（K打開）：

它表示取消外源后，電場力做功必須靠減少電場中靜電能量來實現(xiàn)。常電位系統(tǒng)（K合上）：外源提供能量的增量靜電能量的增量

外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。

設(shè)(n+1)個導體組成的系統(tǒng),只有P號導體發(fā)生位移，此時系統(tǒng)中帶電體的電壓或電荷將發(fā)生變化，其功能關(guān)系為外源提供能量靜電能量增量=+電場力所作功圖15多導體系統(tǒng)第三十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四?上述兩個公式所得結(jié)果是相等的例6試求圖示平行板電容器的電場力。解法一：常電位系統(tǒng)解法二：常電荷系統(tǒng)可見，兩種方法計算結(jié)果相同，電場力有使d減小的趨勢，即電容增大的趨勢。?兩個公式所求得的廣義力是代數(shù)量。還需根據(jù)“±”號判斷其方向。圖16平行板電容器第三十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四

例7

圖示一球形薄膜帶電表面，半徑為，其上帶電荷為，試求薄膜單位面積所受的電場力。解：表示廣義力的方向是廣義坐標增大的方向，即為膨脹力。單位面積上的力：（N/m2）圖17球形薄膜第三十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3）法拉第觀點法拉第認為，沿通量線作一通量管，沿其軸向受到縱張力，垂直于軸向方向受到側(cè)壓力，（1)可定性分析、判斷帶電體的受力情況。圖19根椐場圖判斷帶電體受力情況其大小為圖18a電位移管受力情況圖18b物體受力情況第三十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四2)對某些特殊情況可進行定量計算。例8試求圖示(a)、(b)平行板電容器中，兩種介質(zhì)分界面上每單位面積所受到的力。圖20平行板電容器答：氣泡向E小的方向移動。氣泡向哪個方向移動？：

媒質(zhì)分界面受力的方向總是由值較大的媒質(zhì)指向值較小的媒質(zhì)。結(jié)論第三十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四電力電容第三十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四電力電容第三十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四高壓沖擊實驗第三十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四電力電容第三十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四高壓實驗大廳第四十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四電力電纜第四十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四單芯電力電纜第四十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四三相電力電纜（中間地線、右側(cè)測量線）第四十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四電力電纜第四十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四屏蔽室門第四十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四屏蔽室門第四十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四第四十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3.2.1恒定電場的基本方程3.2導電媒質(zhì)中的恒定電場分析在恒定電場中散度定理恒定電場是一個無源場，電流線是連續(xù)的。故電荷守恒定律1.J的散度第四十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四?恒定電場是無源無旋場。2.E的旋度恒定電場是無旋場。所取積分路徑不經(jīng)過電源，則

斯托克斯定理得3.恒定電場（電源外）的基本方程第四十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3.2.2分界面的銜接條件

說明分界面上電場強度的切向分量是連續(xù)的，電流密度法向分量是連續(xù)的。折射定律為圖21電流線的折射分界面上的銜接條件例9兩種特殊情況分界面上的電場分布。由折射定理得，則解：a)媒質(zhì)1是良導體，，媒質(zhì)2是不良導體,。土壤

它表明，只要，電流線垂直于良導體表面穿出，良導體表面近似為等位面。第五十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四b）媒質(zhì)1是導體，媒質(zhì)2是理想介質(zhì)情況。表明1導體表面是一條電流線。

表明2導體與理想介質(zhì)分界面上必有恒定（動態(tài)平衡下的）面電荷分布。表明3電場切向分量不為零，導體非等位體，導體表面非等位面。若（理想導體），導體內(nèi)部電場為零，電流分布在導體表面，導體不損耗能量。導體周圍介質(zhì)中的電場圖22導體與理想介質(zhì)分界面圖23載流導體表面的電場第五十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3.2.3恒定電場的邊值問題分界面銜接條件很多恒定電場問題的解決，都可以歸結(jié)為一定條件下，求出拉普拉斯方程的解答（邊值問題）。拉普拉斯方程得常數(shù)由基本方程出發(fā)恒定電場中是否存在泊松方程？第五十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四例10試用邊值問題求解電弧片中電位、電場及面電荷的分布？區(qū)域）電位00解：選用圓柱坐標，邊值問題為：場域邊界條件區(qū)域）銜接條件電場強度電荷面密度E,

與無關(guān)，是的函數(shù)。圖24不同媒質(zhì)弧形導電片第五十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3.2.4導電媒質(zhì)中恒定電場與靜電場的比擬1靜電比擬表2兩種場對應(yīng)物理量靜電場導電媒質(zhì)中恒定電場（電源外）EEDJIq表1兩種場所滿足的基本方程和重要關(guān)系式

導電媒質(zhì)中恒定電場（電源外）靜電場

兩種場各物理量所滿足的方程一樣，若邊界條件也相同，那么，通過對一個場的求解或?qū)嶒炑芯?，利用對?yīng)量關(guān)系便可得到另一個場的解。第五十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四?兩種場的電極形狀、尺寸與相對位置相同（相擬）;?

相應(yīng)電極的電壓相同;2靜電比擬的條件?若兩種場中媒質(zhì)分布片均勻，只要分界面具有相似的幾何形狀，且滿足條件時，則這兩種場在分界面處折射情況仍然一樣，相擬關(guān)系仍成立。

1)靜電場便于計算——用靜電比擬方法計算恒定電場若為土壤為空氣則。3靜電比擬的應(yīng)用圖25靜電場與恒定電流場的鏡像法比擬靜電場第五十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四2)恒定電場便于實驗—某些靜電場問題可用恒定電流場實驗?zāi)M固體模擬（媒質(zhì)為固體，如平行板靜電場造型）實驗?zāi)M方法液體模擬（媒質(zhì)為液體，如電解槽模擬）靜電場——電極表面近似為等位面；工程上的實驗?zāi)M裝置。工程近似在兩種場的模擬實驗中，工程上往往采用近擬的邊界條件處理方法恒定電流場——電極表面近似為等位面（條件）。電極媒質(zhì)圖26靜電場平行板造型圖示恒定電流場對應(yīng)什么樣的靜電場？比擬條件？第五十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四1電導的計算1)直接用電流場計算當恒定電場與靜電場邊界條件相同時，用靜電比擬法，由電容計算電導。靜電系統(tǒng)的部分電容可與多導體電極系統(tǒng)的部分電導相互比擬。（自學）3.2.5電導與接地電阻2)靜電比擬法設(shè)設(shè)即第五十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四

例11求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為R1、R2，長度為,中間媒質(zhì)的電導率為，介電常數(shù)為。解法一

直接用電流場的計算方法設(shè)電導絕緣電阻解法二

靜電比擬法由靜電場解得則根據(jù)關(guān)系式得同軸電纜電導絕緣電阻圖27同軸電纜橫截面第五十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四例12求圖示電導片的電導，已知給定。方程通解為，代入邊界條件，可得電流密度電流電導電位函數(shù)解：取圓柱坐標系，，邊值問題：圖28弧形導電片第五十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四1)深埋球形接地器解：深埋接地器可不考慮地面影響,其電流場可與無限大區(qū)域的孤立圓球的電流場相似。2接地電阻圖28深埋球形接地器接地電阻安全接地與工作接地的概念接地器電阻接地器與土壤之間的接觸電阻土壤電阻（接地電阻以此電阻為主）解法一

直接用電流場的計算方法解法二

靜電比擬法接地電阻越大越好嗎？第六十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四2)直立管形接地器解：考慮地面的影響，可用鏡像法。實際電導即由靜電比擬法

圖29直立管形接地器

則3)非深埋的球形接地器解：考慮地面的影響，可用鏡像法處理。圖30非深埋的球形接地器第六十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四為保護人畜安全起見（危險電壓取40V)在電力系統(tǒng)的接地體附近，要注意危險區(qū)。相應(yīng)為危險區(qū)半徑2.5.3跨步電壓圖32半球形接地器的危險區(qū)以淺埋半球接地器為例實際電導接地器接地電阻4)淺埋半球形接地器解：考慮地面的影響用鏡像法處理。此時由靜電比擬圖31淺埋半球形接地器第六十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四屏蔽室接地電阻（深度20米）第六十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四高壓大廳網(wǎng)狀接地電阻（深度1米）第六十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四

3.3恒定磁場分析3.3.1恒定磁場的基本方程媒質(zhì)的性能方程

例13試判斷能否表示為一個恒定磁場？F2不可能表示恒定磁場。恒定磁場的基本方程表示為（磁通連續(xù)原理）（安培環(huán)路定律）（無源）（有旋）恒定磁場是有旋無源場,電流是激發(fā)磁場的渦旋源F1可以表示為恒定磁場。解：第六十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3.3.2分界面上的銜接條件1.B

的銜接條件在媒質(zhì)分界面上，包圍P點作一小扁圓柱，令，則根據(jù),可得B

的法向分量連續(xù)2.H

的銜接條件

H

的切向分量不連續(xù)H

的切向分量連續(xù)當K=03.分界面上的折射定律當兩種媒質(zhì)均勻、各向同性，且分界面無自由電流線密度K，則折射定律圖33分界面上

B

的銜接條件圖34分界面上

H

的銜接條件在媒質(zhì)分界面上，包圍P點作一矩形回路。令,根據(jù)可得第六十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四例14分析鐵磁媒質(zhì)與空氣分界面上磁場的折射情況。解：

它表明只要鐵磁物質(zhì)側(cè)的B不與分界面平行，在空氣側(cè)的B可認為近似與分界面垂直。圖35鐵磁媒質(zhì)與空氣分界面上磁場的折射即A/mT解：圖36含有K的分界面銜接條件

例15設(shè)x=0平面是兩種媒質(zhì)的分界面。,分界面上有面電流A/m，且A/m，試求B1，B2與

H2

的分布。?若面電流,答案有否變化，如何變？ 第六十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3.3.3磁矢位及其邊值問題1磁矢位

A

的引出由磁矢位A也可直接從BiotSavartLaw導出。2磁矢位

A的邊值問題1）微分方程及其特解(泊松方程)(拉普拉斯方程)

當J=0時

A稱磁矢位(Magneticvectorpotential)，單位：wb/m（韋伯/米）。庫侖規(guī)范使得A唯一確定。A是否具有物理意義是一個仍在爭論的問題。第六十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四令無限遠處A的量值為零（參考磁矢位），則各式的特解分別為可見，每個電流元產(chǎn)生的磁矢位

A

與此元電流Idl，KdS，JdV具有相同的方向。矢量合成后，得在直角坐標系下，可以展開為面電流與線電流引起的磁矢位為第六十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四a）圍繞

P點作一矩形回路，則當時,即b）圍繞P點作一扁圓柱，則當時，即

綜合兩個結(jié)論，有

表明在媒質(zhì)分界面上磁矢位

A是連續(xù)的。根據(jù)有對于平行平面場，則可寫成2）分界面上的銜接條件圖37磁矢位

A

分界面上的銜接條件第七十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四根據(jù)由于，

3磁矢位

A的應(yīng)用

1)矢量積分求A解：取圓柱坐標

例16空氣中有一長度為，截面積為

S

，位于

z軸上的短銅線，電流

I

沿z軸方向，試求離銅線較遠處（R>>）的磁感應(yīng)強度。

·能否用安培環(huán)路定律來求解此問題?圖38位于坐標原點的短銅線第七十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四例17應(yīng)用磁矢位

A，求空氣中一長直載流細導線的磁場。解：例18應(yīng)用磁矢位分析兩線輸電線的磁場。解：這是一個平行平面磁場。由上例計算結(jié)果,兩導線在P點的磁矢位圖39長直載流細導線的磁場圖40圓截面雙線輸電線第七十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3.3.4磁位及其邊值問題1磁位的引出恒定磁場無電流區(qū)域——標量磁位，簡稱磁位（MagneticPotential），單位：A（安培）。?

磁位僅適合于無自由電流區(qū)域，且無物理意義。磁位的特點：

?等磁位面（線）方程為常數(shù)，等磁位面（線）與磁場強度

H線垂直。?的多值性則在恒定磁場中，設(shè)B

點為參考磁位，由安培環(huán)路定律，得推論多值性圖41磁位與積分路徑的關(guān)系

為了克服多值性，規(guī)定積分路徑不得穿過從電流回路為周界的

S面（磁屏障面）。這樣，就成為單值函數(shù)，兩點之間的磁壓與積分路徑無關(guān)。第七十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四2磁位的邊值問題在直角坐標系中2】分界面上的銜接條件推導方法與靜電場類似，由推導得3】的應(yīng)用（適用于無自由電流區(qū)域）1】微分方程

磁位是否滿足泊松方程?第七十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四圖3.5.8恒定磁場與恒定電流場的比擬3磁位、磁矢位

A與電位的比較位函數(shù)比較內(nèi)容引入位函數(shù)的依據(jù)位與場的關(guān)系微分方程位與源的關(guān)系電位磁位磁矢位（A）(有源或無源）(無源）(有源或無源）答：可以。下述兩個場能進行磁電比擬嗎？第七十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3.3.5電感1自感

在線性各向同性媒質(zhì)中，L僅與回路的幾何尺寸、媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)，與回路的電流無關(guān)。自感計算的一般步驟：設(shè)回路的電流與該回路交鏈的磁鏈的比值稱為自感。即單位：H（亨利）

自感又分為內(nèi)自感Li

和外自感

L0

?！獌?nèi)自感是導體內(nèi)部僅與部分電流交鏈的磁鏈與回路電流比值。——外自感是導體外部閉合的磁鏈與回路電流的比值。圖42內(nèi)磁鏈與外磁鏈第七十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四解：總自感設(shè)安培環(huán)路包圍部分電流，則有磁鏈中的匝數(shù)，可根據(jù)因此，有內(nèi)自感例19試求圖示長為的同軸電纜的自感

L。圖44同軸電纜內(nèi)導體縱截面穿過寬度為,長度為的矩形面積的磁通為圖43同軸電纜截面1)內(nèi)導體的內(nèi)自感

第七十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四工程上視同軸電纜外導體為面分布的電流，故忽略此部分的內(nèi)自感。3）內(nèi)、外導體間的外自感

故總電感為2）外導體內(nèi)自感

第七十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四

例20

設(shè)傳輸線的長度為,試求圖示兩線傳輸線的自感。解：總自感設(shè)設(shè)總自感為內(nèi)自感解法一解法二圖45兩線傳輸線的自感計算第七十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四2互感式中，M21

為互感，單位：H（亨利）

互感是研究一個回路電流在另一個回路所產(chǎn)生的磁效應(yīng)，它不僅與兩個回路的幾何尺寸和周圍媒質(zhì)有關(guān)，還和兩個回路之間的相對位置有關(guān)。

在線性媒質(zhì)中，回路1的電流產(chǎn)生與回路2相交鏈的磁鏈與成正比。同理，回路2對回路1的互感可表示為可以證明計算互感的一般步驟：設(shè)圖46電流I1產(chǎn)生與回路2交鏈的磁鏈第八十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四例21試求圖示兩對傳輸線的互感。解：根據(jù)互感定義，只需假設(shè)一對傳輸線的電流方向；另一對傳輸線的回路方向。導線

B

的作用由于這兩個部分磁通方向相同導線

A的作用圖47兩對傳輸線的互感

若回路方向相反，互感會改變嗎？它反映了什么物理意義？第八十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3聶以曼公式應(yīng)用磁矢位

A

計算互感與自感的一般公式。1】求兩導線回路的互感將式（1）代入式（2）得則兩細導線回路間的互感若回路1、2分別由N1、N2

細線密繞，互感為設(shè)回路1通以電流I1，則空間任意點的磁矢位為穿過回路2的磁通為圖48兩個細導線電流回路第八十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四2】用聶以曼公式計算回路的外自感外自感

設(shè)導體的半徑

R

遠小于導線回路的曲率半徑，且認為電流均勻分布，則內(nèi)自感總自感電流I在上產(chǎn)生的磁矢位為與交鏈的磁通為設(shè)回路中有電流

I

，總磁通=外磁通+內(nèi)磁通；計算外磁通時，可以認為電流是集中在導線的軸線上，而磁通則是穿過外表面輪廓所限定的面積。圖49單回路的自感第八十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3.3.6磁場能量與力

磁場作為一種特殊的物質(zhì)，和電場一樣具有能量。有專家預(yù)測，21世紀將是以磁力（磁能）作為能源代表的時代。

高溫超導體磁場特性的發(fā)現(xiàn)與利用，使夢想中之能源——受控熱聚變,磁流體發(fā)電，太陽能衛(wèi)星電站，逐步成為現(xiàn)實，利用磁能作為驅(qū)動力的超導體磁懸浮列車和超導磁動力船己向我們馳來。?

媒質(zhì)為線性；?

磁場建立無限緩慢（不考慮渦流及輻射）；?

系統(tǒng)能量僅與系統(tǒng)的最終狀態(tài)有關(guān)，與能量的建立過程無關(guān)。假設(shè)：1恒定磁場中的能量第八十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四磁場能量的推導過程推廣自有能互有能?是回路k獨存在時的能量，稱為自有能量。自有能量始終大于零。2磁場能量的分布及磁能密度

磁場能量是在建立回路電流的過程中形成的，分布于磁場所在的整個空間中。?與兩回路的電流及互感系數(shù)有關(guān)，稱為互有能。當兩個載流線圈產(chǎn)生的磁通是相互增加的，互有能為正；反之為負。?對于單一回路第八十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四時，第一項為0上式表明磁能是以磁能密度的形式儲存在整個場域中。單位：J（焦耳）磁能密度單位：式中為導電媒質(zhì)體積元所占體積，為導電媒質(zhì)的總體積。由矢量恒等式得考慮到磁通可以用磁矢位

A表示，則磁能

Wm可表示為————利用的關(guān)系，第八十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四例22長度為,內(nèi)外導體半徑分別為

R1與

R2

的同軸電纜，通有電流

I

，試求電纜儲存的磁場能量與自感。解：由安培環(huán)路定律，得磁能為自感圖50同軸電纜截面第八十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3磁場力磁場能量的宏觀效應(yīng)就是載流導體或運動的電荷在磁場中要受到力的作用。仿照靜電場，磁場力的計算也有三種方法。1】安培力例23試求兩塊通有電流I的無限大平行導板間的相互作用力。B板產(chǎn)生的磁場解：由安培力定律，得A板產(chǎn)生的磁場兩板間的磁場A板受力圖51兩平行導板間的磁力第八十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四2】虛位移法（Methodoffalsedisplacement)電源提供的能量=磁場能量的增量+磁場力所做的功?常電流系統(tǒng)?常磁鏈系統(tǒng)

表明外源提供的能量，一半用于增加磁場能量，另一半提供磁場力作功，即

假設(shè)系統(tǒng)中n個載流回路分別通有電流I1，I2，……In，仿照靜電場，當回路僅有一個廣義坐標發(fā)生位移，該系統(tǒng)中發(fā)生的功能過程是

由于各回路磁鏈保持不變，故各回路沒有感應(yīng)電動勢，電源不提供（增加的）能量，即，所以，只有減少磁能來提供磁場力作功，故有由此得廣義力由此得廣義力第八十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四?在實際問題中，若求相互作用力，只需求出互有磁能，并以相對位置為廣義坐標，利用上式即可得到相應(yīng)的廣義力。本例的結(jié)果完全適用于磁偶極子，也是電磁式儀表的工作原理。?兩種假設(shè)結(jié)果相同，即

例24

試求圖示載流平面線圈在均勻磁場中受到的轉(zhuǎn)距。設(shè)線圈中的電流I1，線圈的面積為

S，其法線方向與外磁場

B

的夾角為。解：系統(tǒng)的相互作用能為選為廣義坐標，對應(yīng)的廣義力是轉(zhuǎn)距，即式中m=IS為載流回路的磁偶極矩；

表示廣義力（轉(zhuǎn)矩）企圖使廣義坐標減小，使該回路包圍盡可能多的磁通。用矢量表示為圖54外磁場中的電流回路第九十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四解：設(shè)作用力為F，在這個力的作用下，試棒沿x方向移動dx，則磁場能量變化為

表示磁場對試棒的作用力為吸力，即

F是從磁導率大的媒質(zhì)指向磁導率小的方向（可與靜電場的情況類比）。圖55磁路對磁導率為試棒的作用力例25試求圖示磁場對磁導率為的試棒的作用力，試棒的截面積為。要加多大的外力才能將試棒從磁場中拉出？第九十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3】法拉弟觀點應(yīng)用法拉弟觀點，有時能簡便算出磁場力和分析回路受力情況。例26試判斷置于鐵板上方載流導體及電磁鐵的受力情況。

按照法拉弟觀點，沿磁感應(yīng)線作通量管，沿其軸向方向受到縱張力，同時在垂直方向受到側(cè)壓力。其量值都等于單位：N/m2圖56載流導體位于鐵板上方圖57電磁鐵第九十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四無感電阻第九十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四無感電阻第九十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3.4靜態(tài)場邊值問題唯一性定理3.4.1泊松方程與拉普拉斯方程推導微分方程的基本出發(fā)點是靜電場的基本方程：泊松方程泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質(zhì)。拉普拉斯方程——拉普拉斯算子3.4.2靜電場的邊值問題第九十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四

為什么說第二類邊界條件與導體上給定電荷分布或邊界是電力線的條件是等價的？已知場域邊界上各點電位值圖59邊值問題框圖自然邊界條件參考點電位有限值邊值問題微分方程邊界條件場域邊界條件分界面銜接條件第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件已知場域邊界上各點電位的法向?qū)?shù)一、二類邊界條件的線性組合，即第九十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四邊值問題研究方法計算法實驗法作圖法解析法數(shù)值法實測法模擬法定性定量積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法有限差分法有限元法邊界元法矩量法模擬電荷法數(shù)學模擬法物理模擬法圖60邊值問題研究方法框圖第九十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四

例28

圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長為2b的正方形，芯皮半徑為a，內(nèi)外導體之間電介質(zhì)的介電常數(shù)為，并且在兩導體之間接有電源U0，試寫出該電纜中靜電場的邊值問題。

解：根據(jù)場分布對稱性，確定場域。（陰影區(qū)域）場的邊值問題圖61纜心為正方形的同軸電纜橫截面第九十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四邊界條件積分之，得通解

例29設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場。解:采用球坐標系,分區(qū)域建立方程參考點電位圖62體電荷分布的球形域電場第九十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四解得電場強度（球坐標梯度公式）：

對于一維場（場量僅僅是一個坐標變量的函數(shù)），只要對二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由得到電場強度E的分布。電位：第一百頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四2】唯一性定理的重要意義

可判斷靜電場問題的解的正確性：例1.4.1

圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？答案：（C）

唯一性定理為靜電場問題的多種解法(試探解、數(shù)值解、解析解等）提供了思路及理論根據(jù)。圖63平板電容器外加電源U03.4.3唯一性定理第一百零一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3.5鏡像法與電軸法3.5.1

鏡像法邊值問題：（導板及無窮遠處）（除

q所在點外的區(qū)域）（S為包圍

q的閉合面）1】平面導體的鏡像

鏡像法:用虛設(shè)的電荷分布等效替代媒質(zhì)分界面上復雜電荷分布,虛設(shè)電荷的個數(shù)、大小與位置使場的解答滿足唯一性定理。圖64平面導體的鏡像上半場域邊值問題：（除

q所在點外的區(qū)域）（導板及無窮遠處）（S為包圍q的閉合面）第一百零二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四（方向指向地面）整個地面上感應(yīng)電荷的總量為例30

求空氣中一個點電荷在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況。解:設(shè)點電荷離地面高度為h，則圖65點電荷在地面引起的感應(yīng)電荷的分布第一百零三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四2】導體球面鏡像設(shè)在點電荷附近有一接地導體球，求導體球外空間的電位及電場分布。1)邊值問題：（除q點外的導體球外空間)圖66點電荷對接地導體球面的鏡像第一百零四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四由疊加原理，接地導體球外任一點P的電位與電場分別為圖68點電荷位于接地導體球附近的場圖

鏡像電荷不能放在當前求解的場域內(nèi)。鏡像電荷等于負的感應(yīng)電荷圖67接地導體球外的電場計算第一百零五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四

在接地球的基礎(chǔ)上判斷鏡像電荷的個數(shù)、大小與位置解:邊值問題：(除q點外的導體球外空間）(S為球面面積)例31試計算不接地金屬球附近放置一點電荷時的電場分布。任一點電位及電場強度為：圖69點電荷對不接地金屬球的鏡像感應(yīng)電荷分布及球?qū)ΨQ性，在球內(nèi)有兩個等效電荷。正負鏡像電荷絕對值相等。正鏡像電荷只能位于球心。第一百零六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四試確定用鏡像法求解下列問題時，其鏡像電荷的個數(shù)，大小與位置?補充題：圖71點電荷對導體球面的鏡像圖70點電荷位于不接地導體球附近的場圖不接地導體球面上的正負感應(yīng)電荷的絕對值等于鏡像電荷

嗎?為什么？第一百零七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3】不同介質(zhì)分界面的鏡像邊值問題：(下半空間)(除q點外的上半空間)圖72點電荷對無限大介質(zhì)分界面的鏡像和第一百零八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四

?

中的電場是由決定，其有效區(qū)在下半空間，是等效替代自由電荷與極化電荷的作用。

即圖73點電荷位于不同介質(zhì)平面上方的場圖

?

中的電場是由與共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間，是等效替代極化電荷的影響。圖74點電荷與分別置于與區(qū)域中為求解圖示與區(qū)域的電場，試確定鏡像電荷的個數(shù)、大小與位置。第一百零九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3.5.2電軸法邊值問題：

（導線以外的空間）根據(jù)唯一性定理，尋找等效線電荷——電軸。1】問題提出75長直平行圓柱導體傳輸線能否用高斯定理求解？第一百一十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四2】兩根細導線產(chǎn)生的電場以y軸為參考點,C=0,則

當K取不同數(shù)值時,就得到一族偏心圓。圖76兩根細導線的電場計算a、h、b三者之間的關(guān)系滿足等位線方程為：圓心坐標圓半徑第一百一十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四應(yīng)該注意到,線電荷所在的兩個點,對每一個等位圓的圓心來說,互為反演。即根據(jù)及E線的微分方程，得E線方程為

圖77兩細導線的場圖?

若在金屬圓柱管內(nèi)填充金屬，重答上問。

?

若在任一等位面上放一無厚度的金屬圓柱殼，是否會影響電場分布？感應(yīng)電荷是否均勻分布？第一百一十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3】電軸法例32試求圖示兩帶電長直平行圓柱導體傳輸線的電場及電位分布。(以軸為電位為參考點)

用置于電軸上的等效線電荷,來代替圓柱導體面上分布電荷,從而求得電場的方法,稱為電軸法。解：圖78平行圓柱導體傳輸線電場的計算第一百一十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四

例33已知兩根不同半徑,相互平行,軸線距離為d的帶電長直圓柱導體。試決定電軸位置。注意：1）參考電位的位置；2）適用區(qū)域。例34試確定圖示偏心電纜的電軸位置。解：確定b,h1,h2圖79不同半徑傳輸線的電軸位置圖80偏心電纜電軸位置第一百一十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四

例35已知一對半徑為a,相距為d的長直圓柱導體傳輸線之間電壓為，試求圓柱導體間電位的分布。

解得圖81電壓為U0的傳輸線電場的計算a)確定電軸的位置第一百一十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四鏡像法（電軸法）小結(jié)

鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是靜電場唯一性定理；

鏡像法（電軸法）的實質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計算場域為無限大均勻介質(zhì)；

鏡像法（電軸法）的關(guān)鍵是確定鏡像電荷（電軸）的個數(shù)（根數(shù)），大小及位置；

應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時，注意：鏡像電荷（電軸）只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域。作業(yè)：3.25,3.26第一百一十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3.6分離變量法

分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程法，它適用于求解一類具有理想邊界條件的典型邊值問題。一般情況下,采用正交坐標系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動方程的通解，而只有當場域邊界與正交坐標面重合或平行時，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問題的解。3.6.1解題的一般步驟：

根據(jù)邊界的幾何形狀和場的分布特征選定坐標系，寫出對應(yīng)的邊值問題（微分方程和邊界條件）；

分離變量，將一個偏微分方程，分離成幾個常微分方程；

解常微分方程，并疊加各特解得到通解；

利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。3.6.2應(yīng)用實例1】直角坐標系中的分離變量法（二維場）第一百一十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四例36

圖示一無限長金屬槽，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為，金屬槽截面為正方形（邊長為a），試求金屬槽內(nèi)電位的分布。解：選定直角坐標系（D域內(nèi)）（1）（2）（3）（4）(5）邊值問題第一百一十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四2)分離變量代入式（1）有根據(jù)可能常微分方程的取值，可有6個設(shè)稱為分離常數(shù),可以取值第一百一十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期四3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。

圖83雙曲函數(shù)第一百二十頁，共一百三十三頁，編輯于