第七章 三維物體的表示

第七章三維物體的表示2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)1第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)27.1平面物體的表示

三維圖形物體中運(yùn)用邊界表示的最普遍的方式是使用一組包圍物體內(nèi)部的表面多邊形。很多圖形系統(tǒng)以一組表面多邊形來(lái)存儲(chǔ)物體的描述。由于所有表面以線性方程形式加以描述，因此會(huì)簡(jiǎn)化并加速物體的表面繪制和顯示。

第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)37.1.1多邊形表

如圖7.2所示，該方法闡述了一個(gè)物體表面的兩個(gè)相鄰多邊形。

圖7.2兩個(gè)相鄰多邊形小平面的幾何數(shù)據(jù)表表示

第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)47.1.1多邊形表為了加快信息的存取，可將邊表擴(kuò)充成包括指向多邊形表面表的指針，這樣兩個(gè)多邊形的公共邊可以很快地標(biāo)識(shí)，如圖7.3所示。

圖7.3上圖表面的邊表擴(kuò)充成包含指向多邊形表的指針

第四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)57.1.2平面方程

平面方程可以表示如下：

Ax+By+Cz+D=0運(yùn)用Cramer規(guī)則，可解出系數(shù)A、B、C和D，用行列式表示如下

：

第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)67.1.2平面方程展開行列式，平面方程中的系數(shù)為平面的空間方向用平面的法向量來(lái)表示，如圖7.4所示。

第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)77.1.2平面方程圖7.5示例了一個(gè)單位立方體中的一個(gè)平面。(陰影多邊形表面的平面方程為x-1=0，法向量為N＝(1,0,0)。第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)87.1.3多邊形網(wǎng)格

圖7.7表示了20個(gè)頂點(diǎn)形成12個(gè)四邊形的網(wǎng)格。

圖7.6

三角形帶由11個(gè)三角形和13個(gè)頂點(diǎn)相連而成圖7.7一個(gè)四邊形網(wǎng)格含有12個(gè)四邊形由5×4個(gè)頂點(diǎn)組成第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)97.2二

次

曲

面

二次曲面是一類常用的物體，這類表面使用二次方程進(jìn)行描述。其中包括球面、橢球面、環(huán)面、拋物面和雙曲面。二次曲面，尤其是球面和橢球面，是最基本的圖形場(chǎng)景，經(jīng)常作為圖元而用于圖形軟件包中，由此可以構(gòu)造更復(fù)雜的物體。

第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)107.2.1球面

用參數(shù)形式來(lái)描述球面，即使用緯度和經(jīng)度(如圖7.8所示)：

圖7.8參數(shù)坐標(biāo)位置(r,θ,φ)在半徑為r的球面上

第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)117.2.2橢球面

橢球面可以被看成是球面的擴(kuò)展，其中三條相互垂直的半徑具有不同的值(如圖7.10所示)。

橢球面中心在原點(diǎn)的笛卡兒表達(dá)式為

第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)127.2.2橢球面圖7.10中，使用緯度角φ和經(jīng)度角θ所表示的參數(shù)方程為

y=rycosφcosθz=rzsinφ

圖7.10中心在原點(diǎn)、半徑為的橢球面

第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)137.2.3環(huán)面

環(huán)面是輪胎狀的物體，如圖7.11所示?？梢詫h(huán)面看成是滿足下列方程的解集：

圖7.11環(huán)面，其圓剖面中心在坐標(biāo)原點(diǎn)處

第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)147.3孔斯(Coons)曲面

1964年S.A.Coons將Hermite多項(xiàng)式所描述的處理曲線的方法推廣用以處理曲面，提出一種曲面分片、拼合造型的思想。他用四條邊界構(gòu)造曲面片，并通過(guò)疊加修正曲面片，產(chǎn)生滿足用戶需要的曲面。

第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)157.3.1第一類Coons曲面

(1)對(duì)P(0,w)、P(1,w)在u向進(jìn)行線性插值，得到如圖7.12所示的直紋面。圖7.12

對(duì)P(0,w)、P(1,w)在u向進(jìn)行線性插值的直紋面

第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)167.3.1第一類Coons曲面(2)對(duì)P(u,0)、P(u,1)在w向進(jìn)行線性插值，得到如圖7.13所示的直紋面。圖7.13

對(duì)P(u,0)、P(u,1)在w向進(jìn)行線性插值的直紋面

第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)177.3.2第二類Coons曲面

第二類Coons曲面又稱為雙三次Coons曲面，是較為常用的Coons曲面。與第一類Coons曲面一樣，第二類Coons曲面也可看作是三張面的組合，即。區(qū)別在于第二類Coons曲面不僅插值于曲面的四條邊界，而且插值于給定邊界的斜率。

第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)187.4貝塞爾(Bezier)曲面

7.4.1Bezier曲面的定義

給定空間的個(gè)點(diǎn)(i=0,1,…,m；j=0,1,…,n)，稱如下形式的張量積參數(shù)曲面為次的Bezier曲面：

第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)197.4.1Bezier曲面的定義

Bezier曲面的矩陣表達(dá)式為當(dāng)m=n=3時(shí)，上述曲面片稱為雙三次Bezier曲面

第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)207.4.2Bezier曲面的性質(zhì)

(1)角點(diǎn)位置。

Bezier曲面的四個(gè)角點(diǎn)分別是其控制網(wǎng)格的四個(gè)角點(diǎn)，即

(2)邊界線。

第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)217.4.2Bezier曲面的性質(zhì)(3)角點(diǎn)切平面。在角點(diǎn)處，曲面的u向切矢量和w向切矢量分別為和，從而曲面在該點(diǎn)的切平面即為，，三個(gè)控制頂點(diǎn)確定的平面。(4)角點(diǎn)法矢量。(5)凸包性。曲面包含于其控制頂點(diǎn)Pij(i=0,1,…,m；j=0,1,…,n)的凸包之內(nèi)。

第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)227.4.2Bezier曲面的性質(zhì)(6)平面再生性。

當(dāng)所有的控制頂點(diǎn)落于一張平面內(nèi)時(shí)，由凸包性，Bezier曲面也落于該平面內(nèi)。

(7)仿射不變性。

曲面的某些幾何性質(zhì)不隨坐標(biāo)變換而變化，并且對(duì)任一仿射變換，對(duì)曲面作變換等價(jià)于對(duì)其控制頂點(diǎn)作變換。

(8)擬局部性。

當(dāng)修改一個(gè)控制頂點(diǎn)時(shí)，曲面上距離它近的點(diǎn)受影響大，距離它遠(yuǎn)的點(diǎn)受影響小。

第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)237.5B樣條曲面

給定空間個(gè)點(diǎn)(i=0,1,…,m；j=0,1,…,n)和u,w參數(shù)軸上的節(jié)點(diǎn)向量，，稱下面張量積參數(shù)曲面為階B樣條曲面。，

第二十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)247.5B樣條曲面當(dāng)，為均勻節(jié)點(diǎn)向量時(shí)，稱為均勻B樣條曲面，否則稱為非均勻B樣條曲面。B樣條曲面公式也可寫成如下矩陣形式：Pyz

(u,w)=UkMkPkhMThWTh

，，

B樣條曲面具有局部性、凸凹性、仿射不變性等性質(zhì)。

第二十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)257.5B樣條曲面已知曲面的控制點(diǎn)(i,j=0,1,2,3)，參數(shù)u,w且，則構(gòu)造雙三次B樣條曲面的步驟如下：(1)沿w(或u)向構(gòu)造均勻三次B樣條曲線(i=0,1,2,3)：

第二十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2023/6/21計(jì)算機(jī)圖形學(xué)267.5B樣條曲面(2)再沿u(或w