四節(jié)點矩形單元有限元分析演示文稿

四節(jié)點矩形單元有限元分析演示文稿本文檔共32頁；當前第1頁；編輯于星期日\11點52分本節(jié)內(nèi)容提要1、分析提高有限元法求解精度的途徑2、簡要回顧三節(jié)點三角形單元有限元分析過程3、全面介紹四節(jié)點矩形單元有限元分析過程4、總結TianjinUniversity本文檔共32頁；當前第2頁；編輯于星期日\11點52分分析提高有限元求解精度的途徑

TianjinUniversity一、三節(jié)點三角形單元的缺點三節(jié)點三角形單元精度低，收斂慢，由于單元內(nèi)應力和應變均為常量，故在單元內(nèi)不能很好地反映應力和應變的變化。該單元只有三個節(jié)點，單元自由度少，單元位移插值函數(shù)（位移模式）只能是線性函數(shù)，描述單元內(nèi)位移變化的能力差。本文檔共32頁；當前第3頁；編輯于星期日\11點52分分析提高有限元求解精度的途徑

TianjinUniversity二、提高有限元求解精度的途徑第一個途徑是對某一種特定類型的單元采用網(wǎng)格劃分加密，依靠單元的收斂性提高求解精度。第二個途徑是對一定的單元網(wǎng)格和單元尺寸，采用高精度單元來提高求解精度。本文檔共32頁；當前第4頁；編輯于星期日\11點52分分析提高有限元求解精度的途徑

TianjinUniversity三、建立高精度單元的原理和途徑原理：提高單元位移插值函數(shù)多項式的階次，從而提單元擬合局部區(qū)域位移、應力變化的能力。途徑：增加單元的節(jié)點數(shù)目。對于平面有限元問題，除三節(jié)點三角形單元外，還可以考慮六節(jié)點三角形單元和四節(jié)點矩形單元。

本文檔共32頁；當前第5頁；編輯于星期日\11點52分三節(jié)點三角形單元有限元分析過程設位移函數(shù)求位移函數(shù)中的未知量代入函數(shù)中整理可得形函數(shù)（性質(zhì)？）幾何方程求解應變（幾何矩陣）物理方程求解應力（彈性矩陣應力矩陣）運用虛功原理求解由合成(方法？)建立節(jié)點荷載列陣（方法？處理位移約束條件（方法？）組成？)TianjinUniversity本文檔共32頁；當前第6頁；編輯于星期日\11點52分

TianjinUniversity四節(jié)點矩形單元有限元分析過程一、四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)單元節(jié)點編號為k，l，m，n（逆時針）單元節(jié)點位移列陣為：設位移函數(shù)為：或寫為：本文檔共32頁；當前第7頁；編輯于星期日\11點52分

TianjinUniversity四節(jié)點矩形單元有限元分析過程二、求解位移函數(shù)中的未知系數(shù)將節(jié)點坐標代入函數(shù)中，并寫成矩陣形式：解上述方程組可得：本文檔共32頁；當前第8頁；編輯于星期日\11點52分

TianjinUniversity四節(jié)點矩形單元有限元分析過程三、將所求值代入位移函數(shù)中本文檔共32頁；當前第9頁；編輯于星期日\11點52分

TianjinUniversity四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四、整理位移函數(shù)可得形函數(shù)展開上式可得：本文檔共32頁；當前第10頁；編輯于星期日\11點52分四節(jié)點矩形單元有限元分析過程其中，形函數(shù)為：

TianjinUniversity本文檔共32頁；當前第11頁；編輯于星期日\11點52分四節(jié)點矩形單元有限元分析過程單元位移插值函數(shù)可以由單元形狀函數(shù)與節(jié)點位移值的乘積表示：即可以表示為：

TianjinUniversity本文檔共32頁；當前第12頁；編輯于星期日\11點52分四節(jié)點矩形單元有限元分析過程由此可見，位移插值函數(shù)完全由形函數(shù)決定；因此拋開節(jié)點位移，只討論形函數(shù)的性質(zhì)，就可以了解單元的變形性質(zhì)。例如：四節(jié)點矩形單元，若則由可得：因此可以看出，單元變形完全由形函數(shù)決定。

TianjinUniversity本文檔共32頁；當前第13頁；編輯于星期日\11點52分四節(jié)點矩形單元有限元分析過程另外，可以驗證形函數(shù)另外兩個性質(zhì)：（1）同理對于其余三個形函數(shù)

TianjinUniversity本文檔共32頁；當前第14頁；編輯于星期日\11點52分四節(jié)點矩形單元有限元分析過程

TianjinUniversity（2）即在單元內(nèi)任意一點處的形函數(shù)之和等于1。本文檔共32頁；當前第15頁；編輯于星期日\11點52分四節(jié)點矩形單元有限元分析過程

TianjinUniversity五、幾何方程求解應變將位移插值函數(shù)代入幾何方程中：形函數(shù)矩陣經(jīng)過微分算子矩陣作用后得到3×8幾何矩陣：本文檔共32頁；當前第16頁；編輯于星期日\11點52分四節(jié)點矩形單元有限元分析過程

TianjinUniversity六、物理方程求解應力由平面問題物理方程可得：其中：因此，應力矩陣為：本文檔共32頁；當前第17頁；編輯于星期日\11點52分四節(jié)點矩形單元有限元分析過程

TianjinUniversity結論：

對于平面四節(jié)點矩形單元，其單元上的應力、應變不再是常數(shù)，而是在一定程度上呈線性變化，即：方向的正應力和正應變隨坐標線性變化；方向的正應力和正應變隨坐標線性變化；剪應力沿坐標和坐標均成線性變化。因此，若在彈性體中采用相同數(shù)目的節(jié)點時，矩形單元的精度要比常應變?nèi)切螁卧木雀摺?/p>

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TianjinUniversity七、運用虛功原理求解由虛功原理，節(jié)點力在節(jié)點的虛位移上所做的虛功應等于單元內(nèi)部應力在虛應變上所做的虛功，即內(nèi)力虛功=外力虛功，也即：

將和代入上式，可得：由此，可得：本文檔共32頁；當前第19頁；編輯于星期日\11點52分四節(jié)點矩形單元有限元分析過程

TianjinUniversity本文檔共32頁；當前第20頁；編輯于星期日\11點52分四節(jié)點矩形單元有限元分析過程

TianjinUniversity引入無量綱坐標：本文檔共32頁；當前第21頁；編輯于星期日\11點52分四節(jié)點矩形單元有限元分析過程

TianjinUniversity由幾何方程可得單元應變場表達式：可記為：本文檔共32頁；當前第22頁；編輯于星期日\11點52分四節(jié)點矩形單元有限元分析過程

TianjinUniversity幾何矩陣可表示成分塊形式：其中：本文檔共32頁；當前第23頁；編輯于星期日\11點52分四節(jié)點矩形單元有限元分析過程

TianjinUniversity由應力與應變關系，可得單元應力場表達式：應力矩陣可表示成分塊形式：其中：對于平面應變問題：本文檔共32頁；當前第24頁；編輯于星期日\11點52分四節(jié)點矩形單元有限元分析過程

TianjinUniversity其中：即：單元剛度矩陣：本文檔共32頁；當前第25頁；編輯于星期日\11點52分四節(jié)點矩形單元有限元分析過程

TianjinUniversity其中：本文檔共32頁；當前第26頁；編輯于星期日\11點52分四節(jié)點矩形單元有限元分析過程

TianjinUniversity八、由合成剛度集成法：首先求出各單元的貢獻矩陣，然后將它們疊加形成整體剛度矩陣。但是由于編程時需先將各單元的貢獻矩陣儲存起來，而貢獻矩陣的階數(shù)與整體剛度矩陣階數(shù)相同，因此占用非常大空間，不利于節(jié)約空間資源。單元定位數(shù)組法：將單元的節(jié)點位移編碼按照節(jié)點順序排成一行形成一維數(shù)組，利用各單元的定位數(shù)組，采用“邊定位，邊累加”的方法。

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TianjinUniversity九、建立節(jié)點荷載列陣節(jié)點荷載列陣的組成：

其中，為節(jié)點荷載，為等效節(jié)點荷載。

可按照虛功等效原則求解，即將單元內(nèi)的荷載移置到節(jié)點上后，應當與原荷載所作虛功等效。集中力、分布體力（均質(zhì)等厚單元自重）、分布面力（均布側壓、X方向均布荷載、X方向三角形荷載）

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TianjinUniversity十、處理位移約束條件（1）降階法：若第r個自由度方向位移分量為0，則將整體剛度矩陣第r行，第r列劃掉，后一行上移，右一列左移，這樣總剛減少一階，未知數(shù)減少一個。

例：

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TianjinUniversity（2）對角元素置1法：

例：已知位移邊界條件（可為零）

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TianjinUniversity（3）對角元素乘大數(shù)法：

例：已知位移邊界條件（可為零）

略去小量有即本文檔共32頁；當前第31頁；編輯于星期日\11點52分總結

TianjinUniversity四節(jié)點矩形單元采用雙線性位移插值函數(shù)，應力和應變沿坐標軸呈線性變化，因而求解精度比三節(jié)點三角形